2017-2018學年2-21.1.3導數(shù)的幾何意義教案

1、 1.1.3 數(shù)的幾何意義教學目標：1 . 了解平均變化率與割線斜率之間的關系；2 .理解曲線的切線的概念；3 .通過函數(shù)的圖像直觀地理解導數(shù)的幾何意義，并會用導數(shù)的幾何意義解題；教學重點：曲線的切線的概念、切線的斜率、導數(shù)的幾何意義；教學難點：導數(shù)的幾何意義.教學過程：新課講授一(一)曲線的切線及切線的斜率：如圖3.1-2,當P/Xn,f僅n)(n 123) 沿著曲線f (x)趨近于點P(Xo,f(Xo)時，割線PR的變化趨勢是什么？我們發(fā)現(xiàn)，當點P,沿著曲線無pM接近點 P即Ax- 0時，割線PP,趨近于確定的位置，這個 確定位置的直線 PT稱為曲線在點P處的切線.問題：割線PP的斜率kn

2、與切線PT的斜率k有什么關系？切線pt的斜率k為多少？容易知道，割線PR的斜率是kn = f(Xn)- f(Xo)，當點R沿著曲線無限接近點 P時，kn Xn -Xo無限趨近于切線PT的斜率k,即k =雪X0-f(X0) = f(X0)說明：(1)設切線的傾斜角為 那么當Ax- 0時，割線PQ的斜率，稱為曲線在點P處的切線 的斜率.這個概念：提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法切線斜率的本質 一函數(shù)在x = X0處的導數(shù).(2)曲線在某點處的切線：1)與該點的位置有關；2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限，則在此點有切線，且切線是唯一的；如不存在，則在此點處無切線；3)曲線的切

3、線 并不一定與曲線只有一個交點，可以有多個，甚至可以無窮多個.(二)導數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)等于在該點(x0, f (x0)處的切線的斜率,f (x0) = lim0f (xo：x) - f (xo)二 k說明：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟求出P點的坐標；求出函數(shù)在點 小處的變化率 f(x0)= 魁工(x一g)Nxn = k ，得到曲線在點(xo, f (xo)的切線的斜率；利用點斜式求切線方程(二)導函數(shù)：由函數(shù)f(x)在x=xo處求導數(shù)的過程可以看到，當時，f(x0)是一個確定的數(shù)，那么，當x變化時，便是x的一個函數(shù)，我們叫它為f(x)的導函數(shù).記作：f (

4、x)或y,即:f (x)=y = limxof (x x) - f (x)二 x注：在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)也簡稱導數(shù).(三)函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f(x0)、導函數(shù)f(x)、導數(shù) 之間的區(qū)別與聯(lián)系。(1)函數(shù)在一點處的導數(shù) f (%),就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)。(2)函數(shù)的導數(shù)，是指某一區(qū)間內任意點x而言的，就是函數(shù)f(x)的導函數(shù)Q - .、 -(3)函數(shù)f(x)在點小處的導致f (%)就是導函數(shù)f (x)在x=%處的函數(shù)值，這也是 求函 數(shù)在點x0處的導數(shù)的方法之一。.典例分析例1: (1)求曲線y=f(x)=x2+i在點P(1,2

5、)處的切線方程.(2)求函數(shù)y=3x2在點(1,3)處的導數(shù).(1)y|x廣已(1 . ：x)2 1 -(12 1)x_22lx 二 xlx=2,所以，所求切線的斜率為 2,因此，所求的切線方程為y2 = 2(x1)即2x y = 0(2)因為 yixm=iim3x2 一3 12x -1=lim3( x 1) =6所以，所求切線的斜率為 6,因此，所求的切線方程為y 3 = 6(x-1)即6x-y3 = 0(2)求函數(shù)fx)=-x2+x在x =-1附近的平均變化率，并求出在該點處的導數(shù).【解析】：也=一(一x)2+(-1 +口一2=33 lxlxf (一1)亦0Ly _ (1 Lx)2 ( -

6、1 Lx) - 2xx=lim(3 Tx)-3例2.(課本例2)如圖3.1-3,它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)2h(x) = Y.9x2+6.5x+10 ,根據(jù)圖像，請描述、比較曲線h(t)在t。、t、t2附近的變化情況.例3.(課本例3)如圖3.1-4,它表示人體血管中藥物濃度c=f(t)(單位：mg/mL)隨時間t (單位：min )變化的圖象.根據(jù)圖像，估計t =0.2,0.4,0.6,0.8時，血管中藥物濃度的瞬時變化率(精確到0.1 ) .【解析】：血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率，就是藥物濃度f(t)在此時刻的導數(shù)，從圖像上看，它表示曲線f (t)在此點處的切線的斜率.如圖3.1-4,畫出曲線上某點處的切線，利用網格估計這條切線的斜率，可以得到此時 刻藥物濃度瞬時變化率的近似值.作t=0.8處的切線，并在切線上去兩點，如 (0.7,0.91) , (1.0,0.48),則它的斜率為:k =04831.4 所以1.0 -0.7f (0.8) : -1.4卜表給出了藥物濃度瞬時變