初中圓的定理和公式匯總

1、7 / 10初中圓的定理和公式匯總1不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。圓：由定點(diǎn)到定長(zhǎng)點(diǎn)的集合叫做圓。符號(hào)。0弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。弦：c經(jīng)過(guò)圓心的弦叫直徑半徑不同，圓心相同的兩個(gè)圓叫做同心圓同圓、等圓或半徑相同的叫做等圓兩個(gè)完全重合的弧叫等弧 經(jīng)過(guò)平面上一點(diǎn)可畫(huà)無(wú)數(shù)個(gè)圓；經(jīng)平面上二點(diǎn)可畫(huà)無(wú)數(shù)個(gè)圓； 在三角形外畫(huà)一個(gè)圓的圓心叫做此三角形的外心，此圓為三角形 的外接圓。外心：三角形三條中垂線的交點(diǎn)。 三角形三個(gè)頂點(diǎn)在圓上，這個(gè)三角形叫圓的內(nèi)接三角形。2垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧 推論1平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的 兩條弧 弦的垂直平分

2、線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另 一條弧推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等3圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形4圓是定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合5圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合6圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合7同圓或等圓的半徑相等8到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半 徑的圓9定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦 相等，所對(duì)的弦的弦心距相等10推論 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等11定理 圓的內(nèi)

3、接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角12直線l和。相交dr13切線的判定定理： 經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是 圓的切線14切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑15推論1經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)16推論2經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心17切線長(zhǎng)定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線 平分兩條切線的夾角18圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等19弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角20推論如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等30相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積 相等31推論

4、如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的 兩條線段的比例中項(xiàng)32切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割 線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)33推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn) 的兩條線段長(zhǎng)的積相等34如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上35 兩圓外離 dr+r 兩圓外切 d=r+r兩圓相交r-rdr) 兩圓內(nèi)切 d=r-r(rr) 兩圓內(nèi)含dr)36定理 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦37定理 把圓分成n(n 3): 依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形 經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正

5、n邊形38定理 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓39正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于(n-2) m80/n40定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角 三角形41正n邊形的面積sn=pnrn /2 p表示正n邊形的周長(zhǎng)42正三角形面積，3針4 a表示邊長(zhǎng)43如果在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有k個(gè)正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為360 ,因此 knn-2)180 /n=360 化為(n-2) (k-2)=444弧長(zhǎng)計(jì)算公式：l=n兀r/18045扇形面積公式：s扇形=n兀ra2/360=lr/246內(nèi)公切線長(zhǎng)=d-(r-r)外公切線長(zhǎng)=d-(r+r)47定理一條弧所對(duì)的圓周角

6、等于它所對(duì)的圓心角的一半48推論1同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等49推論2半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角；90。的圓周角所 對(duì)的弦是直徑切線長(zhǎng)定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理 以及與圓有關(guān)的比例線段1 .切線長(zhǎng)概念切線長(zhǎng)是在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度，切線長(zhǎng)”是切線上一條線段的長(zhǎng)，具有數(shù)量的特征，而切線”是一條直線，它不可以度量長(zhǎng)度。2 .切線長(zhǎng)定理如圖1對(duì)于切線長(zhǎng)定理，應(yīng)明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長(zhǎng)相等； （2）若 已知兩條切線平行， 則圓上兩個(gè)切點(diǎn)的連線為直徑；（3）經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，連結(jié)兩個(gè)

7、切點(diǎn)可得到一個(gè)等腰三角形；（4）經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線的夾角與過(guò)切3.弦切角（如圖2）:頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。點(diǎn)的兩個(gè)半徑的夾角互補(bǔ)；（5）圓外一點(diǎn)與圓心的連線， 平分過(guò)這點(diǎn)向圓引的兩條切線所夾 的角。apd, bpd, bpcapc= cdp 等直線ab切。o4.弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對(duì)的圓周角。即如上圖中證明：如圖2,連接cd、oc、op,因?yàn)?cpo= pco,所以 cop=180-2 cpo而cpo=90- apc,故 cop=2 apc,即 cdp= apc。5.弄清和圓有關(guān)的角： 圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。6.遇到圓的切線

8、，可聯(lián)想角”弦切角， 線”切線的性質(zhì)定理及切線長(zhǎng)定理。7.與圓有關(guān)的比例線段定理圖形已知結(jié)論證法相交 弦定 理oo中， ab、cd 為弦，交 于p.pa pb= pc pd連zac、bd , c= b, a= d, 所以 apca dpb相交 弦定 理的 推論oo中， ab為直 徑， cdxab 于p.pc2 = pa.pb用相交弦定理.切割 線定 理zg1oo中，pt 切。o 于t,割 線pb交 。于apt2 = pa.pb連zta、tb ,貝u / pta= / b （弦 切角等于同弧圓周角）所以 pta s pbt ,所以pt2=pa.pb切割 線定 理推 論bi)pb、pd 為。o的

9、兩條割 線，交 。于a、cpa pb= pc pd過(guò)p作pt切。于t,用兩次切 割線定理oo中，延長(zhǎng)po交。于m ,延長(zhǎng) op割線pb交。于n,用相交弦定理證；圓哥 定理交。o于a, cd 為 弦pc pd=r2-op2pa pb=op2-r2r為。o的半徑過(guò)p作切線用切割線定理勾股定 理證8.圓哥定理：過(guò)一定點(diǎn)p向。o作任一直線，交。o于兩點(diǎn)，則自定點(diǎn) p到兩交點(diǎn)的兩條線 段之積為常數(shù)qp-ri（r為圓半徑），因?yàn)椤Ｊ?氏，叫做點(diǎn)對(duì)于。o的哥，所以將上 述定理統(tǒng)稱為圓哥定理。例1.如圖1,正方形abcd的邊長(zhǎng)為1,以bc為直徑。在正方形內(nèi)作半圓 。，過(guò)a作半圓 切線，切點(diǎn)為 f,交cd于e,

10、求de: ae的值。例2.0o中的兩條弦 ab與cd相交于 e,若ae = 6cm, be = 2cm, cd = 7cm,求ce。圖2例3.已知pa是圓的切線，pcb是圓的割線，則 ab2：ac2 pb ：圖3例4.如圖3, p是。外一點(diǎn)，pc切。于點(diǎn)c, pab是。的割線，交。o于a、b兩點(diǎn),cm 。如果pa:pb=1:4,pc= 12cm,。0的半徑為10cm,則圓心。到ab的距離是圖6# / 10例5.如圖4, ab為。o的直徑，過(guò) b點(diǎn)作。的切線bc, oc交。于點(diǎn)e, ae的延長(zhǎng)線交 bc 于點(diǎn) d,求證：(1) ce2 cd ?cb ; (2)若 ab = bc = 2厘米，求

11、ce、cd 的長(zhǎng)。例6.如圖5, ab為。o的直徑，弦 cd / ab , ae切。于a ,交cd的延長(zhǎng)線于 e。求證:bc2 ab? de圖5例7.如圖6, pa、pc切。于a、c, pdb為害u線。求證:ad- bc= cd ab例8.如圖7,在直角三角形 abc中，/ a = 90,以ab邊為直徑作。o,交斜邊bc于點(diǎn)d, 過(guò)d點(diǎn)作。o的切線交 ac于e。求證：bc= 2oe。例9.如圖8,在正方形abcd中，ab = 1, ac是以點(diǎn)b為圓心，ab長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧。點(diǎn)e是邊ad上的任意一點(diǎn)（點(diǎn) e與點(diǎn)a、d不重合），過(guò)e作ac所在圓的切線，交 邊dc于點(diǎn)f, g為切點(diǎn)。當(dāng)/ def

12、=450時(shí)，求證：點(diǎn)g為線段ef的中點(diǎn)；圖8圖211 / 10【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）、選擇題1 .已知：pa、pb切。o于點(diǎn)a、b,連結(jié)ab , a.20/3b.25/32 .下列圖形一定有內(nèi)切圓的是（）a.平行四邊形c.菱形若ab = 8,弦ab的弦心距3,則pa=()c. 5d. 8b.矩形d.梯形3.已知：如圖1直線 mn與。相切于c,ab為直徑，/ cab =40 ,則/ mca的度數(shù)（圖1a. 50 b. 40 c. 60 d. 55 4 .圓內(nèi)兩弦相交，一弦長(zhǎng)8cm且被交點(diǎn)平分，另一弦被交點(diǎn)分為1:4,則另一弦長(zhǎng)為（） a. 8cmb. 10cmc. 12cmd.16c

13、m5 .在 abc 中，d 是 bc 邊上的點(diǎn)，ad= 25/2 cm, bd = 3cm, dc = 4cm,如果 e 是 ad 的延長(zhǎng)線與 abc的外接圓的交點(diǎn)，那么 de長(zhǎng)等于（）a. 2mcmb. 3v/2 cmc. 2v 2 cmd.3 v3 cm6 . pt切。于t, ct為直徑，d為oc上一點(diǎn)，直線 pd交。于b和a, b在線段pd 上，若 cd = 2, ad =3, bd = 4,則 pb 等于（）a. 20b. 10c. 5d.&5二、填空題7 . ab、cd是。切線，ab /cd, ef是。的切線，它和 ab、cd分別交于 e、f,則度。/eof =8 .已知：o。和不在。上的一點(diǎn) 巳過(guò)p的直線交。于a、b兩點(diǎn)，若 pa fb=24op =5,則o o的半徑長(zhǎng)為9 .若pa為。的切線，a為切點(diǎn)，pbc割線交。于b、c,若bc = 20, pa=則pc的長(zhǎng)為10 .正 abc內(nèi)接于。o, m、n分別為ab、ac中點(diǎn)，延長(zhǎng)mn交。于點(diǎn)d,連結(jié)bdpc交ac于p,則=pa三、解答題11.