n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布要點

1、第八節(jié)n次獨立重復(fù)試驗與二項分布備考方向要明了 償望國益i等盤窗聞網(wǎng)圜博南曲等面甯軟國考什么怎么考1 . 了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念.2 .理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二 項分布，并能解決一些簡單的實際問 題.相互獨立事件、n次獨立重復(fù)試驗的概率求法是每年 高考的熱點，特別是相互獨立事件、n次獨立重復(fù)試 驗及二項分布的綜合更是高考命題的重中之重，如 2012年山東t19等.歸納知識整合1.條件概率及其性質(zhì)條件概率的定義條件概率的性質(zhì)設(shè)a、b為兩個事件，且 p(a0,稱p(b|a) =p ab ，,d 為在事件a發(fā)生條件下，事件 b發(fā)生的p a條件概率(1)0 f(b| a)1(2)如

2、果b和c是兩個互斥事件，則p(buc|a) = rbia) +p(c|a)2 .事件的相互獨立性(1)定義：設(shè)a、b為兩個事件，如果 p(ab = p(a) rb),則稱事件 a與事件b相互獨 立.(2)性質(zhì)：若事件 a與 b相互獨立，則 rb|a) = p(jbl ra|b) = p(a), rab =ra)p(b) .如果事件 a與b相互獨立，那么 a與b , a與b, a與b也相互獨立.探究1.“相互獨立”和“事件互斥”有何不同？提示：兩事件互斥是指兩事件不可能同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響，兩個事件相互獨立不一定互斥.3 .獨立重復(fù)試驗與二

3、項分布獨立重復(fù)試驗二項分布定義在相同條件卜重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗在n次獨立重復(fù)試驗中，用x表示事件a發(fā)生的次數(shù)， 設(shè)每次試驗中事件 a發(fā)生的概率是p,此時稱隨機(jī)變 量x服從二項分布，記作 xb( n, p),并稱p為成功 概率計算公式a(i=1,2,，n)表小第i次試驗結(jié)果，則raaa-a)=ra)p(a)ra)在n次獨立重復(fù)試驗中，事件a恰好發(fā)生k次的概率為 rx= k) = dpk(1 - p)n k(k=0, 1,2 ,，n)探究2.二項分布的計算公式和二項式定理的公式有何聯(lián)系？提示：如果把p看成a, 1 p看成b,則ckpk(1 p)nk就是二項式定理中的通項.自測牛刀小

4、試 一1 一1.若事件e與f相互獨立，且 p(e)=rf) = 4,則ref)的值等于()a. 01c.41 d.2解析：選b ef代表e與f同時發(fā)生,41故 p(ed=p(e) p(f)=-13 一 ，一2.已知 p(b| a) = -, p(ae)=-,則 p(a)等于()283 a. 1613b.163c.41d.4解析：選 c 由rae)=ra)p(b|a)可得p(a)=3.3.有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.9 ,在兩批種子中各取一粒，則恰有粒種子能發(fā)芽的概率是()a. 0.26b. 0.08c. 0.18d. 0.72解析：選 a p= 0.8 x 0.1 +0.2 x

5、0.9 = 0.26.4 .擲一枚不均勻的硬幣，正面朝上的概率為|,若將此硬幣擲4次，則正面朝上3次的3概率是解析：設(shè)正面朝上 x次，則xb，3；3281.rx= 3) = c4 調(diào)=答案：328 15 .某人一周晚上值班 2次，在已知他周日一定值班的條件下，則他在周六晚上值班的 概率為.解析：設(shè)事件 a為“周日值班”，事件 b為“周六值班”， c61 皿p ab 1則 p(a)= c7, rab = g,故 rb|a)= p a =6.- i答案：a6國錨窟品圖崎eh四他宸閱即陽| s3- 1條件概率例1 (1)甲、乙兩地都位于長江下游，根據(jù)天氣預(yù)報的記錄知，一年中下雨天甲市占20%乙市占1

6、8%兩市同時下雨占12%.則甲市為雨天，乙市也為雨天的概率為()a. 0.6b. 0.7c. 0.8d. 0.66(2)市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%乙廠產(chǎn)品占30%甲廠產(chǎn)品的合格率是95%乙廠產(chǎn)品的合格率是80%則從市場上買到一個是甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的概率是 .自主解答(1)甲市為雨天記為事件a乙市為雨天記為事件b,則ra) = 0.2, p(b)0.120.2= 0.6.= 0.18 , p(ab =0.12 ,、p ab故 p(ba) = -z- p a.(2)記八=“甲廠產(chǎn)品，b= “合格產(chǎn)品”，則ra) = 0.7, rb|a)=0.95.故ra =f(a) - rb| a)

7、=0.7 x0.95= 0.665.答案(1)a(2)0.665在本例2中條件改為“甲廠產(chǎn)品的合格率是95%其中60啾/一級品”，求甲廠產(chǎn)品中任選一件為一級品的概率.解：設(shè)甲廠產(chǎn)品合格為事件 a 一級品為事件 b,則甲廠產(chǎn)品中任一件為一級品為ab所以 p(ab) =p(a)p(b| a)=95%- - 1相互獨立事件的概率例2某果園要用三輛汽車將一批水果從所在城市e運(yùn)至銷售城市f,已知從城市e到城市f有兩條公路.統(tǒng)計表明: 1 9 3汽車走公路i堵車的概率為 ,不堵車的概率為 石；走公路n堵車的概率為 不堵車 101052的概率為5,若甲、乙兩輛汽車走公路i,第三輛汽車丙由于其他原因走公路n運(yùn)

8、送水果, 且三輛汽車是否堵車相互之間沒有影響.(1)求甲、乙兩輛汽車中恰有一輛堵車的概率；(2)求三輛汽車中至少有兩輛堵車的概率.自主解答記“汽車甲走公路i堵車”為事件 a,“汽車乙走公路i堵車”為事件b.“汽車丙走公路n堵車”為事件c.(1)甲、乙兩輛汽車中恰有一輛堵車的概率為r=ra, b)+ra, b) =/x 二;+二;x菰.10 10 10 10 50(2)甲、乙、丙三輛汽車中至少有兩輛堵車的概率為p2=ra- b-石)+ ra. -b q + r： a b- c) + ra- b- c) =2 x410 10 5 10 10391311359x -十 x -x- + -x -x -

9、=.5 10 10 5 10 10 5 500 求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面計算較繁或難以入手時，可從其對立事件入手計算.|磔式uh練2 .紅隊隊員甲、乙、丙與藍(lán)隊隊員 a b c進(jìn)行圍棋比賽，甲對 a乙對r丙對c 各一盤，已知甲勝 a乙勝b、丙勝c的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立.(1)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；(2)求紅隊隊員獲勝總盤數(shù)為1的概率.解：(1)設(shè)甲勝a為事件d,乙勝b為事件e,丙勝c為事件f,則5, e, f分別表示事件甲不勝 a、事件乙不勝 r事件丙不勝 c.因為f(d)= 0.6

10、 ,p(e)= 0.5 ,p(f) = 0.5 ,由對立事件的概率公式知 r d) = 0.4 ,p(e)= 0.5 , p( f) = 0.5.紅隊至少兩人獲勝的事件有：def , def, def, def由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為p= p( def) + r d_e f) + p( d ef) + r def=0.6 x 0.5 x 0.5 + 0.6 x 0.5 x 0.5 + 0.4 x 0.5 x 0.5 + 0.6 x 0.5 x 0.5 =0.55.(2)由題意知w可能的取值為0,1,2,3.又由(1)知d日f、 d e f、

11、de f是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結(jié)果相互獨立.re=1) = p( d ef)+r def)+rde f)=0.4 x 0.5 x 0.5 + 0.4 x 0.5 x 0.5 + 0.6 x 0.5 x 0.5 =0.35.即紅隊隊員獲勝1盤的概率為0.35.1 ilj獨立重段試驗與一項分布例3甲、乙、丙三臺機(jī)床各自獨立地加工同一種零件，已知甲、乙、丙三臺機(jī)床加工的零件是一等品的概率分別為0.7、0.6、0.8,乙、丙兩臺機(jī)床加工的零件數(shù)相等，甲機(jī)床加工的零件數(shù)是乙機(jī)床加工的零件數(shù)的二倍.(1)從甲、乙、丙三臺機(jī)床加工的零件中各取一件檢驗，求至少有一件一等品的概率；(2)將甲、乙、丙三臺機(jī)

12、床加工的零件混合到一起，從中任意地抽取一件檢驗，求它是一等品的概率；(3)將甲、乙、丙三臺機(jī)床加工的零件混合到一起，從中任意地抽取4件檢驗，其中一等品的個數(shù)記為 x,求x的分布列.自主解答(1)設(shè)從甲、乙、丙三臺機(jī)床加工的零件中任取一件是一等品分別為事件a, b, c,則 p(a)=0.7, p(b)=0.6, rq=0.8.所以從甲、乙、丙三臺機(jī)床加工的零件中各取一件檢驗，至少有一件一等品的概率為p= 1-f( a) f( b)r c) = 1 0.3 x0.4 x0.2 = 0.976.(2)將甲、乙、丙三臺機(jī)床加工的零件混合到一起，從中任意地抽取一件檢驗，它是等品的概率為p2 =2x0.

13、7 + 0.6 +0.84= 0.7. 依題意抽取的4件樣品中一等品的個數(shù)x的可能取值為0,1,2,3,4 ，則p(x= 4) =dx 0.7 16. = 0.2401 ,rx= 3) =c4x0.3 x0.7 3=0.4116 ,p(x= 2) =c4x 0.3 2x 0.7 2= 0.2646 ,p(x= 1) =c!x 0.3 3x0.7 = 0.0756 , rx= 0) =dx 0.3 4 = 0.0081.1- x的分布列為：x43210p0.24010.41160.26460.07560.0081 二項分布滿足的條件(1)每次試驗中，事件發(fā)生的概率是相同的.(2)各次試驗中的事件

14、是相互獨立的.(3)每次試驗只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.(4)隨機(jī)變量是這n次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù).|年式uii練3.如圖，一圓形靶分成 a, b, c三部分，其面積之比為 1 ： 1 ： 2.某同 學(xué)向該靶投擲3枚飛鏢，每次1枚.假設(shè)他每次投擲必定會中靶，且投中靶 (凡 占)內(nèi)各點是隨機(jī)的.(1)求該同學(xué)在一次投擲中投中a區(qū)域的概率；(2)設(shè)x表示該同學(xué)在3次投擲中投中 a區(qū)域的次數(shù)，求 x的分布列；(3)若該同學(xué)投中a, b, c三個區(qū)域分別可得 3分，2分，1分，求他投擲3次恰好得4 分的概率. 1解：(1)設(shè)該同學(xué)在一次投擲中投中a區(qū)域的概率為 ra),依題意，p(

15、a) =；.4(2)依題意識，xb?, 4 !；從而x的分布列為：x0123p2727964646464(3)設(shè)b表示事件“第i次擊中目標(biāo)時，擊中b區(qū)域”，c表示事件“第i次擊中目標(biāo)1 1 1時，擊中 c 區(qū)域”，i = 1,2,3.依題意知 p(bgg)+rgb2g) + p(cgb3)=3xzx2x2 =通法歸納領(lǐng)悟1個技巧一一抓住關(guān)鍵詞求解相互獨立事件的概率在應(yīng)用相互獨立事件的概率公式時，要找準(zhǔn)關(guān)鍵字句，對含有“至多有一個發(fā)生”，“至少有一個發(fā)生”，“恰有一個發(fā)生”的情況，要結(jié)合對立事件的概率求解.1個明確一一明確常見詞語的含義解題過程中要明確事件中“至少有一個發(fā)生” “至多有一個發(fā)生”

16、 “恰有一個發(fā) 生” “都發(fā)生” “都不發(fā)生” “不都發(fā)生”等詞的意義.已知兩個事件a, b,則(1) a, b中至少有一個發(fā)生的事件為au b;(2) a, b都發(fā)生的事件為 ab;b；a-b u 7 b;a-b u abu a 百.a, b都不發(fā)生的事件為7(4) a, b恰有一個發(fā)生的事件為(5) a, b至多一個發(fā)生的事件為閱思邈閭短處口右知臉信口靜圖拿解碳易誤警示一一獨立事件概率求法中的易誤點2典例(2012 珠海模擬)某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是. 且各次射擊的結(jié)果互3不影響.(1)假設(shè)這名射手射擊 5次，求恰有2次擊中目標(biāo)的概率；(2)假設(shè)這名射手射擊 5次，求有3次連續(xù)擊中目

17、標(biāo)，另外 2次未擊中目標(biāo)的概率；(3)假設(shè)這名射手射擊 3次，每次射擊，擊中目標(biāo)得 1分，未擊中目標(biāo)得 。分，在3次 射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外 1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加 3分，記e為射手射擊3次后的總的分?jǐn)?shù)，求 e的分布列.解(1)設(shè)x為射手在5次射擊中目標(biāo)的次數(shù)，則xbj5, 31在5次射擊中，恰有2次擊中目標(biāo)的概率為_2 2 22 3 40rx= 2) =c2xjx 1 - 3=.口 )0，i 3 243(2)設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)”為事件 a(i=1,2,3,4,5); “射手在5次射擊中，有3 次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外 2次未擊中目標(biāo)”為事件 a則p(a)

18、=p( aia2a3a 4a 5)+p(a1a2aa a5)+p(a1 a2aaa5)=眇6)，眇3+眇身喘(3)由題意可知，工的所有可能取值為0,1,2,3,6r e =0) = p( ai a2 a3)=p227;21 21211 2 2pr =1) = ra a2 a3)+p( a1a2 a3) + r a1 aax3x 3 j+3x3x-+ ijx- =2.92 12 4p( e =2) = p( a a2a5) =x 3x3=27,r e = 3) = p( aa2 a3) + p( a 1a2a3)=r e = 6) = p( aaas)=所以e的分布列為:0123612488p2

19、79272727易誤辨析1.本題第(2)問因不明獨立事件與獨立重復(fù)試驗的區(qū)別，誤認(rèn)為是n次獨立重復(fù)試驗,3 2 31 2 80可導(dǎo)致求得p= c513x ；，=而這一錯誤結(jié)果；3 3 2432 .本題第(2)問中因忽視連續(xù)三次擊中目標(biāo)，另外兩次未擊中導(dǎo)致分類不準(zhǔn)確；3 .正確區(qū)分相互獨立事件與 n次獨立重復(fù)試驗是解決這類問題的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練13.某中學(xué)在運(yùn)動會期間舉行定點投籃比賽，規(guī)定每人投籃4次，投中一球得2分，沒有投 中得0分，假設(shè)每次投籃投中與否是相互獨立的.已知小明每次投籃投中的概率都是(1)求小明在投籃過程中直到第三次才投中的概率；(2)求小明在4次投籃后的總得分e的分布列.解：(1

20、)設(shè)小明第i次投籃投中為事件 a,則小明在投籃過程中直到第三次才投中的概 率為2 2 14p= p( a ) p( a ) p：a3)=-x-x-=.33 3 2 7(2)由題意知e的可能取值為0,2,4,6,8 ,則p( e =0)=16; p( e =2)=以x3 81 b.門 ,c 243x f|)=32； p e =4)=c2x 第x |)=p e =6)=c4x 6tx 弓；工微;p(衛(wèi)=8)=0；3 81 3 3 27 3 3 81 34_1= 8i.所以e的分布列為：02468p16328818181278181演維h喃粉環(huán) 產(chǎn)因痢等0瘠春國彘庭回號私篦o償一、選擇題（本大題共6

21、小題，每小題5分，共30分）1 .甲、乙兩人同時報考某一所大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6,乙被錄取的概率為 0.7,兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為（）a. 0.12b. 0.42c. 0.46d. 0.88解析：選 d由題意知，甲、乙都不被錄取的概率為（1 -0.6） - （1 0.7） = 0.12.故至少有一人被錄取的概率為1 0.12 = 0.88.2. （2013 濟(jì)南模擬）位于直角坐標(biāo)原點的一個質(zhì)點p按下列規(guī)則移動：質(zhì)點每次移動，、一，一12一一個單位，移動的方向向左或向右，并且向左移動的概率為向右移動的概率為則質(zhì)點33p移動五次后位于點（1,0）的概率是（）a

22、. -b.-8-80 d.二 24324324340 c. 243解析：選d依題意得，質(zhì)點 p移動五次后位于點（1,0）,則這五次移動中必有某兩次向左移動，另三次向右移動，因此所求的概率等于c51 22 3_3 j廠243,803a. -163. （2013 荊州質(zhì)檢）已知隨機(jī)變量工 服從二項分布eb243c 80d.243解析：選 d 已知 e bf，3 ；, re =k) = ckpkqn k,當(dāng) e =2, n=6, p=3 時，有 p(七=2)= c62 80= 243.4.從1,2,3,4,5 中任取2個不同的數(shù)，事件a= 取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”， 事彳b=取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，

23、則 rb|a） = （）1a.81b.42c. 一51 d.2解析：選b p（a） =c3+c242_2c510 5c21叱 b)=3=w.1p an b10 1由條件概率計算公式，得 p( b| a) = pda八b = -r = 1.p a4 4105.將一枚硬幣連擲 5次，如果出現(xiàn)k次正面向上的概率等于出現(xiàn)k+1次正面向上的概率，那么k的值為（）a. 0b. 1=2.c. 2d. 3解析：選c由c5k = d+1i1k+1(j 5c5 i?；豮 1,即 c5= ck+1,故 k+(k+1) = 5,即 k6.某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率,16，

24、、一為2?則該隊員每次罰球的命中率為（）3a.51b.54c.52d.5解析：選a 設(shè)該隊員每次罰球的命中率為p（其中0p1）,則依題意有1p2：16，p225=;9.又 0p1,因此有 p = 3.255二、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）7.有一批種子的發(fā)芽率為0.9 ,出芽后的幼苗成活率為0.8,在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率為 .解析：設(shè)種子發(fā)芽為事件 a,種子成長為幼苗為事件 蛻發(fā)芽，又成活為幼苗)出芽后的 幼苗成活率為：p(b|a)=0.8, ra) = 0.9.根據(jù)條件概率公式rab = rb| a) p(a)=0.9 x 0.8 = 0.

25、72 ,即這粒種子能成長為幼苗的概率為0.72.答案：0.728.某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18、19、20層?？?若該電梯在底層載有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為1用e表示這5位乘客在第203層下電梯的人數(shù)，則 r e =4) =.解析：考察一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗，這是5次獨立重復(fù)試驗，故e8.5, a i,即有 p( e =k) = d%)x %) k, k=0,1,2,3,4,5.3 3 3用 p/ n 4、 d 1 4 x 2 110故p(e =4)=g引飛廠243.10答案：2439.有一批書共100本，其中文科書40本，理科書60本，

26、按裝潢可分精裝、平裝兩種， 精裝書70本，某人從這100本書中任取一書，恰是文科書，放回后再任取1本，恰是精裝書，這一事件的概率是 .解析：設(shè)“任取一書是文科書”的事件為a, “任取一書是精裝書”的事件為b,則ab是相互獨立的事件，所求概率為ra.402707據(jù)題意可知四=荷=5, 口日=而，一 一 一 277故 p(ab = p(a) . p(b)=5x 170=25. 50 n57答案：去25三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10 .在一次數(shù)學(xué)考試中，第21題和第22題為選做題.規(guī)定每位考生必須且只須在其中1選做一題.設(shè)4名考生選做每一道題的概率均為 2.(1)求其中甲、

27、乙兩名學(xué)生選做同一道題的概率；(2)設(shè)這4名考生中選做第22題的學(xué)生個數(shù)為 e ,求e的概率分布.解：(1)設(shè)事件a表示“甲選做第21題”，事件b表示“乙選做第21題”，則甲、乙. . . . . 一一 . . . .兩名學(xué)生選做同一道題的事件為ab+ a b”，且事件 a b相互獨立.故 p(a拼 a b)=ra)p(b) + p( a)p( b)11=-x |-22卜(1妥2.(2)隨機(jī)變量七的可能取值為0,1,2,3,4；k2i(k=0,1,2,3,4)且七b3 2)則 p( e = k) = c4 4 k m 2故變量e的分布列為：01234p11311164841611 .下圖是某城

28、市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量(單位：噸)的頻率分布直方圖.頻率/蛆距0390370j-02x0.1。，琲o 12345月均用水址，噸(1)求直方圖中x的值；(2)若將頻率視為概率，從這個城市隨機(jī)抽取3位居民(看作有放回的抽樣)，求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)x的分布列.解：(1)依題意及頻率分布直方圖知，0.02 +0.1 +x+0.37 +0.39 = 1,解得x=0.12.(2)由題意知，xb(3,0.1)因此 rx= 0)=c3x0.9 3= 0.729,p(x= 1) =c3x0.1 x0.9 2=0.243 ,p(x= 2) =dx0.1 2x0.9 = 0.027 ,p(x

29、= 3) =c3x0.1 3 = 0.001.故隨機(jī)變量x的分布列為：x0123p0.7290.2430.0270.00112 . “石頭、剪刀、布”是一種廣泛流傳于我國民間的古老游戲，其規(guī)則是：用三種不同的手勢分別表示石頭、 剪刀、布；兩個玩家同時出示各自手勢 1次記為1次游戲，“石頭” 勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，“布”勝“石頭”；雙方出示的手勢相同時， 不分勝負(fù).現(xiàn) 假設(shè)玩家甲、乙雙方在游戲時出示三種手勢是等可能的.（1）求出在1次游戲中玩家甲勝玩家乙的概率;（2）若玩家甲、乙雙方共進(jìn)行了3次游戲，其中玩家甲勝玩家乙的次數(shù)記作隨機(jī)變量x,解：（1）玩家甲、乙雙方在1次游戲中出示手勢的所有可能結(jié)果（石頭、石頭）；（