第1章 運動學 楊宏春 (1)

1、力學 質(zhì)點運動學 授課教師 楊宏春 研究對象：研究對象：描述描述物體運動狀態(tài)及研究物體運動狀態(tài)發(fā)生物體運動狀態(tài)及研究物體運動狀態(tài)發(fā)生改變的原因改變的原因 適用條件：適用條件：宏觀物體；低速宏觀物體；低速 (牛頓力學牛頓力學)，高速，高速 (相對論相對論) 重要概念重要概念 運動的絕對性與相對性觀念、參照系與坐標系運動的絕對性與相對性觀念、參照系與坐標系 (建立經(jīng)典力學前提建立經(jīng)典力學前提) 時間、空間、質(zhì)量、運動疊加原理、時空觀、對稱性等概念的理解時間、空間、質(zhì)量、運動疊加原理、時空觀、對稱性等概念的理解 知識體系知識體系 運動學、動力學知識結(jié)構(gòu)體系的建立及各結(jié)構(gòu)之間的邏輯關系運動學、動力學知

2、識結(jié)構(gòu)體系的建立及各結(jié)構(gòu)之間的邏輯關系 方法體系方法體系 物理理論建立的方法：分類、模型、引入?yún)⒘?、建立理論、實際應用物理理論建立的方法：分類、模型、引入?yún)⒘?、建立理論、實際應用 初步體驗應用力學知識體系與方法體系解決實際問題初步體驗應用力學知識體系與方法體系解決實際問題 物理理論真?zhèn)涡耘袚?jù)：對稱性原理物理理論真?zhèn)涡耘袚?jù)：對稱性原理 1.1 運動的可認知性運動的可認知性絕對運動與相對靜止的辯證統(tǒng)一絕對運動與相對靜止的辯證統(tǒng)一 案例討論案例討論：關于物質(zhì)運動屬性的兩種哲學論斷：關于物質(zhì)運動屬性的兩種哲學論斷 赫拉克利特赫拉克利特：“人不能兩次踏進同一條河流人不能兩次踏進同一條河流” 克拉底魯克拉

3、底魯：“人不能同一次踏進同一條河流人不能同一次踏進同一條河流” 案例分析案例分析 赫拉克利特赫拉克利特 人可同一次踏進同一條河流人可同一次踏進同一條河流 人不可兩次次踏進同一條河流人不可兩次次踏進同一條河流 沒有靜止河流，沒有靜止河流，運動是絕對的運動是絕對的 同一時刻河流存在同一時刻河流存在相對靜止狀態(tài)相對靜止狀態(tài) 河流是河流是可認知可認知、可描述的、可描述的 認知的河流是認知的河流是變化的變化的，有條件有條件的的 克拉底魯克拉底魯 人不可同一次踏進同一條河流人不可同一次踏進同一條河流 定量描述物質(zhì)運動的物理學是不可能或無意義的定量描述物質(zhì)運動的物理學是不可能或無意義的 沒有靜止河流，沒有靜

4、止河流，運動是絕對的運動是絕對的同一時刻河流都不存在同一時刻河流都不存在相對靜止狀態(tài)相對靜止狀態(tài) 物質(zhì)運動是物質(zhì)運動是不可知不可知、不可描述不可描述的的 思辨物理學思辨物理學或思辨哲學或思辨哲學 物質(zhì)運動可描述的前提是承認相對靜止的存在；物質(zhì)運動可描述的前提是承認相對靜止的存在； 描述物質(zhì)運動是有前提、有條件的描述物質(zhì)運動是有前提、有條件的 (運動的絕對性要求運動的絕對性要求)； 1.2 參照物與參考系參照物與參考系 1.2.1 參照物與參考系的基本概念參照物與參考系的基本概念 參照物參照物：被選取、且能用來描述物體運動狀態(tài)的物體：被選取、且能用來描述物體運動狀態(tài)的物體 參考系參考系：固定在參

5、照物之上的數(shù)學坐標系：固定在參照物之上的數(shù)學坐標系 討論討論：數(shù)學點能否作為參照物？：數(shù)學點能否作為參照物？ 羅列常見的數(shù)學坐標系羅列常見的數(shù)學坐標系 1.2.2 數(shù)學知識復習數(shù)學知識復習矢量及其運算法則矢量及其運算法則 矢量矢量：有大小、方向，且滿足確定：有大小、方向，且滿足確定加法加法、乘法乘法運算的物理量運算的物理量 (物理學物理學) (1) 矢量的相關定義矢量的相關定義 矢量的直角坐標表示矢量的直角坐標表示 zzyyxx eaeaeaa 矢量的摸矢量的摸 222 zyx aaaa (直角坐標系表示直角坐標系表示) 矢量的方向矢量的方向 zyxa eeee )(cos)(cos)(cos

6、 1coscoscos 222 矢量加法運算矢量加法運算 滿足平行四邊形法則滿足平行四邊形法則 矢量減法運算矢量減法運算)( baba 矢量數(shù)乘運算矢量數(shù)乘運算 a eakak 矢量標積運算矢量標積運算),cos(bababa 矢量矢積運算矢量矢積運算 zyx zyx zyx bbb aaa eee bababa ),sin( abba (交換律交換律) )()()()(dbcadcba (結(jié)合律結(jié)合律) 加法加法運算，四邊形法則運算，四邊形法則 (2) 矢量運算法則矢量運算法則 abba (標積交換律標積交換律) cabacba )(標積分配律標積分配律) cabacba )(矢積分配律矢積

7、分配律) )()()(acbbaccba (標量三重積標量三重積) )()()(baccabcba (矢量三重積矢量三重積) 乘法乘法運算法則運算法則 解：解：因因 t B E )()(B t E 上式左邊上式左邊EEE 2 )()( )()()(baccabcba 0 E EE 2 )( 上式右邊上式右邊 2 2 002 2 0 )( t E t D B t HB 0 t D H ED 0 0 1 2 00 2 2 E t E 例例1.2.1 已知：已知： ， ， ，0 E 0 B t B E t D H 其中其中 ， HB 0 ED 0 證明：證明： 0 1 2 00 2 2 E t E

8、(3) 矢量微分運算法則矢量微分運算法則 t b t a ba td d d d )( d d t a tfa t tf atf td d )( d )(d )( d d t b ab t a ba td d d d )( d d t b ab t a ba td d d d )( d d (4) 矢量積分運算法則矢量積分運算法則 i i t t i t t i ii etatea 3 1 3 1 dd 2 1 2 1 zayaxara zyx dddd 例例1.2.2 矢量矢量 ，計算，計算 aa eaeaa ? d d t a 解解 t ea t a a d )d( d d t a tfa

9、 t tf atf td d )( d )(d )( d d t e ae t a t ea a a a d d d d d )d( t e ae t a t ea a a a d d d d d )d( 討論討論 A 徑向變化率：徑向變化率：沿矢量原方向的伸縮變化率沿矢量原方向的伸縮變化率 a e t a d d B 切向變化率：切向變化率：沿矢量原切向的方向變化率沿矢量原切向的方向變化率 e tt ea d d d d e t e t e t tette t e a t aa t a d d lim )()( lim d d 00 四邊形法則四邊形法則導數(shù)定義導數(shù)定義 問題：問題：A 如果

10、矢量如果矢量 表示位移，則徑向、橫向變化率表示什么物理量？表示位移，則徑向、橫向變化率表示什么物理量？ B 如果單位矢量如果單位矢量 不隨時間發(fā)生旋轉(zhuǎn)不隨時間發(fā)生旋轉(zhuǎn)(如直角坐標如直角坐標)，切向變化率為？，切向變化率為？ C 圓周運動中速度矢量可寫為圓周運動中速度矢量可寫為 ，則單位矢量切向變化率指？，則單位矢量切向變化率指？ a a e e vv 1.2.3 典型參考系典型參考系 (1) 直角坐標系直角坐標系 定義定義：由三條共點：由三條共點(原點原點)且兩兩互相垂直的射線構(gòu)成的坐標系且兩兩互相垂直的射線構(gòu)成的坐標系 矢量表示矢量表示 zzyyxx eaeaeaa 矢量的摸矢量的摸 222

11、 zyx aaaa 矢量方向矢量方向 zyxa eeee )(cos)(cos)(cos 矢量求導矢量求導 z z y y x x e t a e t a e t a t a d d d d d d d d 0 d d d d d d t e t e t e z y x (2) 自然坐標系自然坐標系 定義定義：在已知運動軌跡上任取原點：在已知運動軌跡上任取原點 o，質(zhì)點距原點長度，質(zhì)點距原點長度 s 來確定質(zhì)點位置來確定質(zhì)點位置 p1 p2 O s n 軌道軌道 曲率園曲率園 矢量表示矢量表示 eaa n e t ae t a t ea d d d d d )d( 矢量求導矢量求導參例題參例題

12、1.2.2，并獨立推導，并獨立推導 P1點曲率點曲率 ss k s d d lim 0 P1點曲率半徑點曲率半徑 d d1s k v 獨立推導獨立推導 P1點曲率圓點曲率圓：過：過 P1點、且半徑等于曲率半徑的切線圓點、且半徑等于曲率半徑的切線圓 (3) 極坐標系極坐標系 定義定義：由共點于原點：由共點于原點o的固定直線、射線構(gòu)成的坐標系，稱射線為的固定直線、射線構(gòu)成的坐標系，稱射線為極軸極軸 er o e 矢量表示矢量表示 rre aa 矢量求導矢量求導 e t ae t a t ea rr rrr d d d d d )d( o a s ar(t) ar(t+ t) a ar 課后作業(yè)課后

13、作業(yè) A 參例參例1.2.2，推導自然坐標和極坐標矢量求導部分內(nèi)容，推導自然坐標和極坐標矢量求導部分內(nèi)容 B 當矢量代表不同物理意義時，求導結(jié)果表示物理圖像當矢量代表不同物理意義時，求導結(jié)果表示物理圖像 C 在球坐標、柱坐標中討論矢量表示及求導在球坐標、柱坐標中討論矢量表示及求導 D 在極坐標下推導圓周運動的法向、切向加速度在極坐標下推導圓周運動的法向、切向加速度 1.3 運動疊加原理與機械運動分類運動疊加原理與機械運動分類 1.3.1 運動疊加原理運動疊加原理 A 同時參與多個矢量運動的物體，將按矢量同時參與多個矢量運動的物體，將按矢量合成合成法則運動法則運動 B 物體的任意矢量運動，總可按

14、平行四邊形法則物體的任意矢量運動，總可按平行四邊形法則分解分解為多方向矢量運動為多方向矢量運動 C 物體同時參與多個矢量運動，其任意分矢量運動互相物體同時參與多個矢量運動，其任意分矢量運動互相獨立獨立 例例1.3.1：質(zhì)點從如圖所示位置：質(zhì)點從如圖所示位置 A 開始做勻速圓周運動開始做勻速圓周運動 求解求解：(1) 請將二維圓周運動分解為沿請將二維圓周運動分解為沿 x、y 方向的矢量運動方向的矢量運動 (2) 由由x、y 方向的矢量運動得到質(zhì)點的軌跡方程方向的矢量運動得到質(zhì)點的軌跡方程 (3) 如果質(zhì)點還參與如果質(zhì)點還參與 z 方向的勻速直線運動，寫出方向的勻速直線運動，寫出 t 時刻位置矢量

15、時刻位置矢量 R t x y o A 解解：(1) yx etRetRtr )sin()cos()( (2) 依運動疊加原理中的矢量合成原理，可得軌跡方程依運動疊加原理中的矢量合成原理，可得軌跡方程 222 Ryx (3) 依運動疊加原理中的獨立性原理依運動疊加原理中的獨立性原理 zzyx etetRetRtr )()sin()cos()(v R t x y o A 課后作業(yè)課后作業(yè) 已知質(zhì)點參與已知質(zhì)點參與x、y 方向的矢量運動，且時刻方向的矢量運動，且時刻 t 的位置矢量可表為的位置矢量可表為 (1) 給出質(zhì)點的軌跡方程；給出質(zhì)點的軌跡方程； (2) 通過計算機編程，動態(tài)演示質(zhì)點的運動過程

16、通過計算機編程，動態(tài)演示質(zhì)點的運動過程 yx etAetAtr )cos()cos()( 2211 1.3.2 機械運動的分類機械運動的分類 物體任意復雜的運動，原則上總可以分解為幾種典型運動的疊加物體任意復雜的運動，原則上總可以分解為幾種典型運動的疊加 物體參與任意多種的機械運動，總可以通過合成的方法求出其軌跡物體參與任意多種的機械運動，總可以通過合成的方法求出其軌跡 物體任一方向的矢量運動，不影響其它方向的矢量運動物體任一方向的矢量運動，不影響其它方向的矢量運動 機械運動機械運動 質(zhì)點平動質(zhì)點平動剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動簡諧振動簡諧振動簡諧波動簡諧波動 (1) 運動疊加原理對運動描述的啟示運動疊加

17、原理對運動描述的啟示 (2) 機械運動的分類機械運動的分類 1.4 典型機械運動的物理模型典型機械運動的物理模型 1.4.1 理想模型化方法理想模型化方法 定義定義：忽略影響物理對象運動的次要因素，抽象得到近似實際物理模型方法：忽略影響物理對象運動的次要因素，抽象得到近似實際物理模型方法 單擺運動單擺運動 O A C B 物體繞定軸轉(zhuǎn)動物體繞定軸轉(zhuǎn)動 O A B A B C O 平面機械波模型平面機械波模型 A 1 t 2 o 案例案例 1.4.2 幾種典型運動學模型幾種典型運動學模型 質(zhì)點模型質(zhì)點模型：當物體的線度、形狀對其運動狀態(tài)的影響可忽略，用一個集中：當物體的線度、形狀對其運動狀態(tài)的影

18、響可忽略，用一個集中 了物體所有質(zhì)量的數(shù)學點來代表物體的運動狀態(tài)，該點稱質(zhì)點了物體所有質(zhì)量的數(shù)學點來代表物體的運動狀態(tài)，該點稱質(zhì)點 剛體模型剛體模型：當物體的形變對其運動狀態(tài)的影響可以忽略不計時，將物體看：當物體的形變對其運動狀態(tài)的影響可以忽略不計時，將物體看 作為一個不發(fā)生形變的幾何體作為一個不發(fā)生形變的幾何體 諧振子模型諧振子模型：當物體收受合外力可以近似為：當物體收受合外力可以近似為F=-kx 時，稱該物體的運動為時，稱該物體的運動為 簡諧振動簡諧振動 簡諧波模型簡諧波模型：不考慮色散與損耗的簡諧波傳播模型：不考慮色散與損耗的簡諧波傳播模型 1.5 描述運動的物理參量描述運動的物理參量

19、1.5.1 時間參量時間參量 (1) 時間的概念與度量標準時間的概念與度量標準 時間時間：描述物質(zhì)：描述物質(zhì)持續(xù)性持續(xù)性、順序性順序性的物理參量的物理參量 度量度量：銫：銫133原子基態(tài)兩個超精細結(jié)構(gòu)間躍遷輻射周期的原子基態(tài)兩個超精細結(jié)構(gòu)間躍遷輻射周期的9192631770倍為倍為1秒秒 (2) 同時性的相對性問題同時性的相對性問題 A 邁克爾遜邁克爾遜莫雷實驗莫雷實驗 光在真空中的傳播的速率均為光在真空中的傳播的速率均為c c，與信號源的運動狀態(tài)無關，與信號源的運動狀態(tài)無關 B 同時性的相對性問題分析同時性的相對性問題分析 同時性的相對性同時性的相對性 (分析分析s系、系、s系觀察光到達時間

20、的時間間隔系觀察光到達時間的時間間隔) 相對時間相對時間：不同坐標系下測量到的時間間隔：不同坐標系下測量到的時間間隔 存在相對時間的根源存在相對時間的根源 C 絕對時間絕對時間 無限大光速假設無限大光速假設 絕對宇宙時鐘絕對宇宙時鐘 絕對時間觀念絕對時間觀念 D 時間的含義時間的含義 物質(zhì)、時間、空間、物質(zhì)運動的辯證統(tǒng)一物質(zhì)、時間、空間、物質(zhì)運動的辯證統(tǒng)一 y y u S S z O O p2 p1 x x z (3) 文獻查閱與小班討論文獻查閱與小班討論 時間概念的內(nèi)涵時間概念的內(nèi)涵 同時性的相對性問題同時性的相對性問題 地方時間、慣性系時間與時間測量和技術(shù)地方時間、慣性系時間與時間測量和技

21、術(shù) 對稱性原理與洛倫茲變換對稱性原理與洛倫茲變換 辯證唯物主義時空觀辯證唯物主義時空觀 1.5.2 描述運動的線參量描述運動的線參量 (1) 位置矢量與運動方程位置矢量與運動方程 位置矢量位置矢量：時刻：時刻t，由坐標原點指向質(zhì)點的有向線段，由坐標原點指向質(zhì)點的有向線段 位置矢量特征位置矢量特征：相對性：相對性參考系，瞬時性參考系，瞬時性時刻時刻 t，矢量性，矢量性 zzyyxx eaeaeaa 運動方程運動方程：位置矢量的時間函數(shù)：位置矢量的時間函數(shù) zzyyxx etaetaetata )()()()( 軌道方程軌道方程 ：質(zhì)點在空間運動時的軌跡方程：質(zhì)點在空間運動時的軌跡方程 例例 ：運

22、動學方程與軌跡方程求解：運動學方程與軌跡方程求解 (參參例例1.3.1，略，略) (2) 位移與路程位移與路程 位移位移：在時間：在時間t內(nèi)，由初始位矢指向末位矢的有向線段內(nèi)，由初始位矢指向末位矢的有向線段 )()(trttrra o a s ar(t) ar(t+ t) a ar 222 zyxra 路程路程：在時間：在時間 t 內(nèi)，物體運動軌跡的長度內(nèi)，物體運動軌跡的長度 注意注意：路程與位移的區(qū)別、聯(lián)系：路程與位移的區(qū)別、聯(lián)系(略略) (3) 速度與速率速度與速率 平均速度平均速度 z z y y x x zyxeeee t z e t y e t x t r vvvv 速度速度 z z

23、 y y x x zyxeeee t z e t y e t x t r vvvv d d d d d d d d 平均速率平均速率 t s v 即時速率即時速率 t s d d vv 注意注意 即時速度不一定等于平均速度，只有在勻速直線運動情形下兩者相等即時速度不一定等于平均速度，只有在勻速直線運動情形下兩者相等 平均速率不一定等于即時速率平均速率不一定等于即時速率 即時速率與即時速度的大小相等即時速率與即時速度的大小相等 v t r t s tt00 limlimv 例例1.5.1 已知一質(zhì)點沿已知一質(zhì)點沿 x 軸作直線運動，軸作直線運動，t 時刻的坐標為時刻的坐標為 x=4.5t2-2t

24、3 求求：(1) 第二秒內(nèi)的平均速度、平均速率第二秒內(nèi)的平均速度、平均速率 (2) 第二秒末的即時速度第二秒末的即時速度 解解：(1) 第二秒內(nèi)的第二秒內(nèi)的平均速度平均速度 ) s/m(5 . 0 12 )1()2( xxx ee xx e t x v 第二秒內(nèi)的第二秒內(nèi)的平均速率平均速率 由平均速率定義由平均速率定義 ，需考慮速度方向是否發(fā)生改變，需考慮速度方向是否發(fā)生改變，令令 t s v 5 . 10)69( d d 2 tett t x x v ) s /m(25. 2 1 )5 . 1()2()1()5 . 1( xxxx t s v (2) 第二秒末的第二秒末的即時速度即時速度 x

25、x ette t x )69( d d2 v 當當 t=2 s 時，時，v=6 (m/s) (4) 平均加速度與加速度平均加速度與加速度 平均加速度平均加速度 zzyyxxz z y y x x eaeaeae t e t e t t a vvv v 加速度加速度 zzyyxxz z y y x x eaeaeae t e t e t t a d d d d d d d d vvv v 說明說明：加速度與速度改變量的方向一致，與速度本身方向無關：加速度與速度改變量的方向一致，與速度本身方向無關 加速度方向總指向軌跡曲線的凹側(cè)加速度方向總指向軌跡曲線的凹側(cè) (由高數(shù)二階導數(shù)知識由高數(shù)二階導數(shù)知識

26、) 例例1.5.2 給出自然坐標系下速度、加速度表示給出自然坐標系下速度、加速度表示 解解：在自然坐標系中，質(zhì)點運動的：在自然坐標系中，質(zhì)點運動的速度速度 P1 P2 O s n 軌道軌道 曲率園曲率園 (t+ t) (t) ee t s t s t vv d d lim 0 自然坐標系中，質(zhì)點運動的自然坐標系中，質(zhì)點運動的加速度加速度 t e t s e t s ae t s tt a d d d d d d d d d d d d 2 2 v 利用利用速率速率的定義得的定義得 t e e t a d d d d v v 因因 n t n t e t e t e tt d d limlim

27、d d 00 v t s std d d d d d P1 P2 O s n 軌道軌道 曲率園曲率園 (t+ t) (t) nnn eaeaee t a 2 vv d d 討論討論 t a d dv 切向加速度切向加速度，代表質(zhì)點在切線方向，代表質(zhì)點在切線方向速率速率變化的快慢變化的快慢 2 v n a法向加速度法向加速度， 表示質(zhì)點速度方向變化的快慢表示質(zhì)點速度方向變化的快慢 22 n aaa 加速度大小加速度大小加速度方向加速度方向 a a tg n 例例1.5.3 給出極坐標系下速度、加速度表示給出極坐標系下速度、加速度表示 解解：在極坐標系中，質(zhì)點運動的：在極坐標系中，質(zhì)點運動的速度速

28、度 er o e t e re t r er t r rr d d d d )( d d v 因因 ee tt er d d d d eeere t r er t rrr vvv r d d )( d d 討論討論 t r d d r v 徑向速度徑向速度，代表質(zhì)點在徑向方向，代表質(zhì)點在徑向方向矢量模矢量模變化的快慢變化的快慢 r v切向速度切向速度，代表質(zhì)點，代表質(zhì)點徑向方向徑向方向變化的快慢變化的快慢 極坐標系中，質(zhì)點運動的極坐標系中，質(zhì)點運動的加速度加速度 )( d d )( d d d d e t e tt a r vv v r rr ee t ee t v v v v r r d d

29、 d d e t e t r r r v v v v d d d d e aea rr 討論討論 er o e v vr t ar d d 徑向加速度徑向加速度，徑向方向，徑向方向速度速度變化的快慢變化的快慢 r v v t a d d 切向加速度切向加速度，切向方向，切向方向速度速度變化的快慢變化的快慢 例例1.5.4：質(zhì)點從如圖所示位置：質(zhì)點從如圖所示位置 A 開始做勻速圓周運動開始做勻速圓周運動 求解求解：(1) 描述質(zhì)點的運動狀態(tài)描述質(zhì)點的運動狀態(tài) (2) 證明速度方向沿圓周切向，加速度指向圓心證明速度方向沿圓周切向，加速度指向圓心 R t x y o A 解解：(1) 運動學方程運動

30、學方程 yx etRetRtr )sin()cos()( 軌跡方程軌跡方程 222 Ryx 速度速度 yx e tRe tRt cossin)( v 加速度加速度 re tRe tRta xx 222 sincos)( (2) 速度方向速度方向 0 r v 方向沿圓周切向方向沿圓周切向 加速度方向加速度方向 rta )(方向指向圓心方向指向圓心 例例1.5.5 如圖，燈距地面高度如圖，燈距地面高度h1，身高，身高h2 的人在燈下以勻速率的人在燈下以勻速率 v 水平直線行走水平直線行走 求求：他的頭頂在地面上的影子：他的頭頂在地面上的影子M點沿地面的移動速度點沿地面的移動速度 o M h1 h2

31、 v x1 x2 C D A 解解：建立圖示坐標系，建立圖示坐標系，由三角形由三角形MCD與三角形與三角形MAO相似相似 1 2 2 12 h h x xx 21 11 2 hh xh x t x t x M d d d d 12 vv，注意到注意到 21 1 hh h M v v 故影子故影子M點運動速度為點運動速度為 例例1.5.6 質(zhì)點沿質(zhì)點沿 x 軸運動，已知軸運動，已知 a =-kv，k為常量，為常量，t=0 時，時， x =x 0 ，v =v0 求求：質(zhì)點的運動方程：質(zhì)點的運動方程 kt e 0 vv完成積分得完成積分得 t tk 0 d)(d 1 0 v v v v ta t a

32、dd d d v v 解解: t x d d v 又由又由tex kt x x t dd 0 0 0 v )1( 0 0 kt e k xx v 1.5.3 描述運動的角參量描述運動的角參量 (1) 描述剛體運動的角參量描述剛體運動的角參量 角位移角位移：物體時間：物體時間t 內(nèi)繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過的角度內(nèi)繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過的角度 ，規(guī)定，規(guī)定逆時針逆時針方向角位移為正方向角位移為正 )()(ttt 角速度角速度：時刻：時刻 t，角位移隨時間的變化率，角位移隨時間的變化率 td d 角加速度角加速度：時刻：時刻 t，角速度隨時間的變化率，角速度隨時間的變化率 td d 思考題思考題：上述角參量中，是矢量的參量有

33、哪些？：上述角參量中，是矢量的參量有哪些？ (2) 線參量與角參量的定量關系線參量與角參量的定量關系 2 2 r r an v r v ra 1.6 一般曲線運動的描述一般曲線運動的描述 知道物體的運動方程，通過知道物體的運動方程，通過微分微分運算，求解出物體的速度與加速度運算，求解出物體的速度與加速度 由物體的速度由物體的速度(加速度加速度)及其初始狀態(tài)，由及其初始狀態(tài)，由積分積分運算確定物體運動方程運算確定物體運動方程 (1) 描述一般曲線運動的兩類問題描述一般曲線運動的兩類問題 (2) 一般曲線運動描述的應用舉例一般曲線運動描述的應用舉例 例例1.6.1 如圖，在離水面高度如圖，在離水面

34、高度 h 的岸邊上用繩子拉船靠岸，收繩的速度恒的岸邊上用繩子拉船靠岸，收繩的速度恒 為為v0，求船在離岸邊的距離為，求船在離岸邊的距離為 s 時的速度和加速度時的速度和加速度 s l h v0 x y o 解解：建立圖示坐標系，以：建立圖示坐標系，以l表示從船到定滑輪的繩長表示從船到定滑輪的繩長 t l d d 0 v且且 22 hls s l h v0 x y o 船的速度船的速度 0 22 22 d d d d vv s hs t l hl l t s 船的加速度船的加速度 3 2 0 2 0 22 d d d d d d s h t l hl l lt a v v v 例例1.6.2 質(zhì)

35、點在水平面內(nèi)從靜止開始沿半徑質(zhì)點在水平面內(nèi)從靜止開始沿半徑 r=2 m 的圓周運動，設的圓周運動，設 計時起點計時起點 0=0，質(zhì)點角速度：，質(zhì)點角速度： =kt2，k為常數(shù)，第為常數(shù)，第2s末質(zhì)點線速度為末質(zhì)點線速度為 32 m/s 求求：t=0.5 s 時，質(zhì)點的線速度、加速度、角位移時，質(zhì)點的線速度、加速度、角位移 解：解：(1) t=0.5 s 時，質(zhì)點的時，質(zhì)點的線速度線速度 由由 22 2ktrktr vv 考慮到第考慮到第 2 s 末的線速度為末的線速度為 32 m/s k=4 于是于是 28 5 . 0 2 t tvv(m/s) (2) t=0.5 s 時，質(zhì)點的時，質(zhì)點的加速

36、度加速度包含切向加速度和向心加速度包含切向加速度和向心加速度 由由 2 nn a r a 2 v (m/s2) 8 d d a t a v (m/s2) 6 .13tantan 1 a a a a nn 25. 828 2222 n aaa (m/s2) (3) t=0.5 s 時，質(zhì)點的時，質(zhì)點的角位移角位移 167. 0 3 4 d4d 5 . 0 0 3 5 . 0 0 2 2 1 t t t t tttt (rad) 例例1.6.3 一半徑一半徑 r=1 m 的飛輪，角坐標的飛輪，角坐標 =2 +12 t- t3 (SI) 求求：(1)飛輪邊緣上一點在第飛輪邊緣上一點在第 1 s 末的

37、法向加速度和切向加速度；末的法向加速度和切向加速度； (2) 經(jīng)多少時間經(jīng)多少時間、轉(zhuǎn)幾圈飛輪將停止轉(zhuǎn)動？轉(zhuǎn)幾圈飛輪將停止轉(zhuǎn)動？ 2 312 d d t t t t 6 d d 解解: (1) an=r 2=(12 -3 t2)2 , a =r =-6 t 代入代入 t=1 s , an=81 2 , a = -6 (SI) (2) 停止轉(zhuǎn)動條件：停止轉(zhuǎn)動條件： =12 -3 t2=0, 求出：求出：t=2s。 t=0, 0=2 , 而而 t=2s, 2=18 ， 所以轉(zhuǎn)過角度：所以轉(zhuǎn)過角度： = 2- 0=16 =8 圈圈 例例1.6.4 質(zhì)點由靜止開始沿半徑為質(zhì)點由靜止開始沿半徑為 r 的

38、圓周運動，角加速度的圓周運動，角加速度 為常量為常量 求求：(1) 該質(zhì)點在圓上運動一周又回到出發(fā)點時，經(jīng)歷的時間？該質(zhì)點在圓上運動一周又回到出發(fā)點時，經(jīng)歷的時間？ (2) 此時它的加速度的大小是多少？此時它的加速度的大小是多少？ 解解：由角加速度由角加速度 為常量，為常量， 0=0 ，于是，于是 22 00 2 1 2 2 1 )1(ttt 4 t 4 0 t (2) an=r 2=4 r ，a = r 。故加速度的大小為故加速度的大小為 2 22 161 raaa n 1.7 相對運動相對運動 1.7.1伽利略變換伽利略變換 (1) 物理模型物理模型 s s o x y z x y z r

39、s o rss rs p 各對應坐標軸在運動中始終保持平行各對應坐標軸在運動中始終保持平行 參考系參考系 s 和和 s之間只沿一個坐標軸方向恒速運動之間只沿一個坐標軸方向恒速運動 絕對參量絕對參量 (rs、vs、as ) 相對參量相對參量 (rs 、vs 、as ) 牽連參量牽連參量 (rss 、vss 、ass ) (2) 伽利略變換公式伽利略變換公式 s s o x y z x y z rs o rss rs p 由矢量合成法則由矢量合成法則 s sss rrr 對時間分別求一次、二次導數(shù)對時間分別求一次、二次導數(shù) s sss vvv s sss aaa 伽利略伽利略坐標變換坐標變換關系可以寫為關系可以寫為 tt zz yy txx s s v (3) 伽利略變換與牛頓絕對時空觀伽利略變換與牛頓絕對時空觀 絕對時間觀絕對時間觀 絕對空間觀絕