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文檔簡介

1、計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 在實(shí)際工程問題中,我們進(jìn)行了大量的試驗(yàn),從中得 到了一個(gè)關(guān)于某個(gè)現(xiàn)象出現(xiàn)規(guī)律的描述方程,或者說借鑒 了前人或其它人的研究成果,即 ,其中: 來描述某個(gè)現(xiàn)象的規(guī)律,并從這種規(guī)律中找出影響因素的 最大值或最小值。從數(shù)學(xué)上講,求出某函數(shù)的最大或最小 值,就要對某個(gè)函數(shù)進(jìn)行一次微分,即: 這時(shí)方程就變了: 要想求解出x,就得求解這個(gè)方程 。 123 ( )f xabxcxdx ( )yf x 2 ( )230fxbcxdx 2 230bcxdx n第一章代數(shù)方程的計(jì)算機(jī)方法第一章代數(shù)方程的計(jì)算機(jī)方法 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 其具體方法是:對于

2、一般方程 首先將其變形為: 稱為迭代函數(shù)。 ( )0f x 1 () nn xx ( )xx 其迭代過程中的計(jì)算公式就可以用下式表達(dá):其迭代過程中的計(jì)算公式就可以用下式表達(dá): 反復(fù)進(jìn)行迭代,直到:反復(fù)進(jìn)行迭代,直到: 1 | nn xx 1 1、迭代法、迭代法 幾何意義?幾何意義? 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 定理定理1 設(shè)設(shè)(x)在)在a,b上具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),且上具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),且 (1)對任意)對任意xa,b,總有,總有(x) a,b (2)存在)存在0L1,使對任意,使對任意xa,b成立成立 (x*)L 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題

3、計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 基本思想是:為了把根夾住,先找到兩個(gè)異號(hào)的值在基本思想是:為了把根夾住,先找到兩個(gè)異號(hào)的值在 兩個(gè)異號(hào)的值之間選取方程兩個(gè)異號(hào)的值之間選取方程f(x)=0f(x)=0根的一個(gè)估計(jì)值根的一個(gè)估計(jì)值x x0 0 , 然后將然后將f(x)=0f(x)=0在在x x0 0處進(jìn)行泰勒展開:處進(jìn)行泰勒展開: f(xf(x 1 1)=f(x )=f(x 0 0)+f(x )+f(x 0 0)(x )(x 1 1-x -x 0 0)+1/2f”(x )+1/2f”(x 0 0)(x )(x 1 1- - x x0 0) )2 2+=0+=0 因?yàn)橐驗(yàn)閤 x0 0是在是在f(xf(x0 0

4、) )的根值附近,所以,令:的根值附近,所以,令:h=h=x x1 1- -x x0 0是一是一 個(gè)很小值則個(gè)很小值則h h2 2更是一個(gè)極小值,所以將泰勒展開式的更是一個(gè)極小值,所以將泰勒展開式的 右邊的第三項(xiàng)以后的項(xiàng)都有忽略(作為誤差來處理)右邊的第三項(xiàng)以后的項(xiàng)都有忽略(作為誤差來處理) 2 2、牛頓法、牛頓法 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 0)()()( 00 0 xxxfxfxf 也即: 0)()( 00 0 xxxfxf 移項(xiàng)得: )( )( 0 0 0 xf xf xx 得到:得到: 1 () () n nn n f x xx fx 這里這里x xn+1 n+1是在 是

5、在x x= =x xn n 處曲線的切線處曲線的切線 與與x x軸的交點(diǎn)。軸的交點(diǎn)。 n這種方法的缺點(diǎn)是:這種方法的缺點(diǎn)是: n 1、在迭代過程中,一但曲線的斜、在迭代過程中,一但曲線的斜 率率f (x)=0,就無法迭代下去了。,就無法迭代下去了。 n 2、還可以證明當(dāng)、還可以證明當(dāng)f(x)趨于無窮大趨于無窮大 時(shí),牛頓法也將失效。時(shí),牛頓法也將失效。 會(huì)用牛頓法解方程會(huì)用牛頓法解方程 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 牛頓法的優(yōu)點(diǎn)就是收斂速度快。但是其明顯的缺點(diǎn)就是先牛頓法的優(yōu)點(diǎn)就是收斂速度快。但是其明顯的缺點(diǎn)就是先 要求出要求出f(x)的值來,如果求導(dǎo)不容易,這時(shí)牛頓法就變得不方的

6、值來,如果求導(dǎo)不容易,這時(shí)牛頓法就變得不方 便了。遇到就種情況時(shí),我們就采用:便了。遇到就種情況時(shí),我們就采用: (14) 來代替導(dǎo)數(shù)來代替導(dǎo)數(shù)f (xn),這時(shí)相應(yīng)的公式就變成了:,這時(shí)相應(yīng)的公式就變成了: (15) 1 () () n nn n f x xx s x 1 1 ()() () nn n nn f xf x s x xx 3 3、弦割法弦割法 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題8 1 () () n nn n f x xx s x 1 1 ()() () nn n nn f xf x s x xx 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 求解的過程是:首先按求解的過程是

7、:首先按x的等距離間隔求出它的函數(shù)值的等距離間隔求出它的函數(shù)值 f(x),直到相鄰的兩個(gè)函數(shù)值直到相鄰的兩個(gè)函數(shù)值f(xn)和和f(xn+1)具有相反的符具有相反的符 號(hào)為止。號(hào)為止。 即:即: f(xn)f(xn+1)0 因?yàn)閷τ谶B續(xù)的函數(shù)而言,這種函數(shù)值的不同就指明因?yàn)閷τ谶B續(xù)的函數(shù)而言,這種函數(shù)值的不同就指明 了根值的存在。這時(shí)用下列式子求出了根值的存在。這時(shí)用下列式子求出xn和和xn+1的中間值的中間值 xmid 然后,再求出點(diǎn)然后,再求出點(diǎn)xmid的函數(shù)值的函數(shù)值f(xmid),若,若f(xmid)與與f(xn)同同 號(hào)就以號(hào)就以f(xmid)代替代替f(xn),否則就以,否則就以f

8、(xmid)代替代替f(xn+1)。 1 2 nn mid xx x 4 4 、二元搜索法、二元搜索法 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題10 n首先按首先按x的等距離間隔求出它的函數(shù)值的等距離間隔求出它的函數(shù)值f(x),直直 到相鄰的兩個(gè)函數(shù)值到相鄰的兩個(gè)函數(shù)值f(xn)和和f(xn+1)具有相反的具有相反的 符號(hào)為止。符號(hào)為止。 n即:即: f(xn)f(xn+1)k i=2n,j=1n+1 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 給個(gè)簡單方程組會(huì)求解給個(gè)簡單方程組會(huì)求解 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 n使用高斯消元法注意事項(xiàng):使用高斯消元法注意事項(xiàng): n主元素等于零,

9、這時(shí)主行就不能正規(guī)化。不過主元素等于零,這時(shí)主行就不能正規(guī)化。不過 由于改變方程式組中的方程式次序并不影響它由于改變方程式組中的方程式次序并不影響它 們的解??梢宰兏匠淌降拇涡騺砝@過主元為們的解??梢宰兏匠淌降拇涡騺砝@過主元為 零的情況。零的情況。 n根據(jù)經(jīng)驗(yàn),主元素的值愈大,總的計(jì)算精度就根據(jù)經(jīng)驗(yàn),主元素的值愈大,總的計(jì)算精度就 愈高。因此,有零主元或較小的主元的行,應(yīng)愈高。因此,有零主元或較小的主元的行,應(yīng) 當(dāng)與有最大元素的行對換。當(dāng)與有最大元素的行對換。 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 2 2 、高斯約當(dāng)法高斯約當(dāng)法 將方程化為對角形將方程化為對角形 當(dāng)向上變換時(shí),過程的通

10、式為:當(dāng)向上變換時(shí),過程的通式為: 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 高斯消元過程中的第高斯消元過程中的第k k步,步, 的意義是:的意義是: 第第k k個(gè)方程正規(guī)化的系數(shù)個(gè)方程正規(guī)化的系數(shù) 其后,方程的新系數(shù)為:其后,方程的新系數(shù)為: aij=aij- aikbkj 在高斯消元過程中,如果任何主元素等于零,在高斯消元過程中,如果任何主元素等于零, 這時(shí)主行就不能正規(guī)化。我們可以采取的措施這時(shí)主行就不能正規(guī)化。我們可以采取的措施 為:為: 由于改變方程式組中的方程式次序并不影響它由于改變方程式組中的方程式次序并不影響它 們的解。所以,我們就可以變更方程式的次序們的解。所以,我們就可以變

11、更方程式的次序 來繞過主元為零的情況。來繞過主元為零的情況。 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 n高斯消元過程中采用的格式化公式為:高斯消元過程中采用的格式化公式為: n回代過程中所用的格式化公式為:回代過程中所用的格式化公式為: ik, i=2.n, j=1.n+1, k=1.n。 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 高斯高斯- -約當(dāng)法與高斯消元法的區(qū)別是:約當(dāng)法與高斯消元法的區(qū)別是: n高斯高斯- -約當(dāng)法用系統(tǒng)格式化的方法把線性約當(dāng)法用系統(tǒng)格式化的方法把線性 方程施行對角化。高斯方程施行對角化。高斯- -消元法用系統(tǒng)格消元法用系統(tǒng)格 式化的方法把線性方程施行三角化。式化的

12、方法把線性方程施行三角化。 n從數(shù)學(xué)上來講這種方法與前一種方法的從數(shù)學(xué)上來講這種方法與前一種方法的 區(qū)別僅僅是把條件區(qū)別僅僅是把條件i i k k換成換成i ik k。 高斯高斯- -約當(dāng)法與高斯消元法主要解滿矩陣的線性方程組約當(dāng)法與高斯消元法主要解滿矩陣的線性方程組 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 n高斯約當(dāng)過程中采用的格式化公式為:高斯約當(dāng)過程中采用的格式化公式為: 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 3 3 、迭代法迭代法 雅可比法雅可比法 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 稀疏形的方程組指的是:稀疏形的方程組指的是: 非零元素個(gè)數(shù)非零元素個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于矩陣元素個(gè)數(shù)

13、遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于矩陣元素個(gè)數(shù) 若若A A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣,則應(yīng)該滿足:為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣,則應(yīng)該滿足: n雅可比法解線性公式為:雅可比法解線性公式為: 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 塞代爾法解線性方程組的應(yīng)用條件:塞代爾法解線性方程組的應(yīng)用條件: 要求方程組的系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占要求方程組的系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占 優(yōu)優(yōu)。 塞代爾法解線性方程組的迭代方程為:塞代爾法解線性方程組的迭代方程為: n雅可比法解線性公式為:雅可比法解線性公式為: 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 n非線性方程組非線性方程組 若利用牛頓迭代法求解,可轉(zhuǎn)化成如下線性方程組求若利用牛頓迭代法求解,可轉(zhuǎn)化成如下線性

14、方程組求 nnn nnn n n f f f x x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f 2 1 2 1 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 對于截?cái)嗟奶├占?jí)數(shù)對于截?cái)嗟奶├占?jí)數(shù), ,從考察截?cái)嗵├諒目疾旖財(cái)嗵├?級(jí)數(shù)所引起的誤差開始,當(dāng)級(jí)數(shù)在包含級(jí)數(shù)所引起的誤差開始,當(dāng)級(jí)數(shù)在包含 ( (x-ax-a) )n n項(xiàng)以后被截?cái)鄷r(shí)項(xiàng)以后被截?cái)鄷r(shí), ,表達(dá)表達(dá)f f( (x x) )的上的上 式對式對f f( (x x) )的誤差不大于的誤差不大于 1 (1) max () ( )| (1)! n n xa

15、fx n (x)=(a)+(a)(xa)+(a)/2!(xa)+ (a)/3!(xa) +(a)/n!(xa)n 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 解解:因?yàn)橐驗(yàn)閑x=e(0)+xe(0)+x2/2!e(0)+x3/3!e(0)+x4/4!e(0)+ 所以所以ex=1+x+x2/2!+x3/3!+x4/4!+ 若若x=0.5,則則 e0.5=1+0.5+0.52/2!+0.53/3!+0.54/4!+ 若截至于若截至于e(0.5)3則則: e0.5=1+0.5+0.52/2! =1.625 用泰勒法將用泰勒法將ex在在x=0附近展開附近展開,求求e0.5及及e(0.5)3 |d3(ex

16、)/dx3|max(0.53/3!)=|ex|max(0.0208333) 這里的這里的max表示在表示在 區(qū)間上的最大值。區(qū)間上的最大值。 |ex|max=e0.5=1.6487213 所以,誤差不大于所以,誤差不大于 e(x)3=(1.6487213)*(0.0208333)=0.0343831 00.5x 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 以二階向后差分為例,說明以下遞推公式成立以二階向后差分為例,說明以下遞推公式成立: n j = (n -1 j ) n j = (x 1 j ) j= ( j )= ( j - j 1) = j - j 1 = j - j 1- j 1+ j

17、2= j -2 j 1+ j 2 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用復(fù)習(xí)題 n求解微分方程是一個(gè)復(fù)雜的過程,須事先附加一些條件,這求解微分方程是一個(gè)復(fù)雜的過程,須事先附加一些條件,這 就是對自變量的某些值規(guī)定出函數(shù)和(或)其導(dǎo)數(shù)的值就是對自變量的某些值規(guī)定出函數(shù)和(或)其導(dǎo)數(shù)的值 。 n若在自變量為零的點(diǎn)上給出這些條件,這個(gè)問題就叫做若在自變量為零的點(diǎn)上給出這些條件,這個(gè)問題就叫做 “ ”。相應(yīng)的條件叫做。相應(yīng)的條件叫做“ ”。 初值問題初值問題 初始條件初始條件 n 若在自變量不為零的值上做這種限定,這個(gè)問題便叫做若在自變量不為零的值上做這種限定,這

18、個(gè)問題便叫做 “ ”,相應(yīng)的限定條件叫做,相應(yīng)的限定條件叫做“ ”。 邊值問題邊值問題 邊界條件邊界條件 歐拉法求解初值問題的思路是:歐拉法求解初值問題的思路是: 根據(jù)泰勒級(jí)數(shù),按初值條件展開:根據(jù)泰勒級(jí)數(shù),按初值條件展開: y(xy(x0 0+h)=y(x+h)=y(x0 0)+hy)+hy(x(x0 0)+h)+hy(xy(x0 0)/2+)/2+ 若若h h相當(dāng)小,相當(dāng)小,h h及及h h的更高次冪就更小,略去的更高次冪就更小,略去h h的高次項(xiàng):的高次項(xiàng): y(xy(x0 0+h)=y(x+h)=y(x0 0)+hy)+hy(x(x0 0) ) 據(jù)初始條件可從微分方程中得到據(jù)初始條件可從微分方程中得到y(tǒng) y (x(x0 0) )的值,于是在距離初始點(diǎn)的值,于是在距離初始點(diǎn)x x0 0只只 有一步有一步h h處得到了處得到了y(x)y(x)的近似

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