初中數(shù)學(xué)競賽專題選講練習(xí)《函數(shù)的圖象》

1、初中數(shù)學(xué)競賽專題選講函數(shù)的圖象一、內(nèi)容提要1. 函數(shù)的圖象定義：在直角坐標(biāo)系中，以自變量x為橫坐標(biāo)和以它的函數(shù)y 的對(duì)應(yīng)值為縱坐標(biāo)的點(diǎn)的集合，叫做函數(shù)y=f(x)的圖象.例如 一次函數(shù)y=kx+b (k,b 是常數(shù)，k 0)的圖象是一條直線l. l 上的任一點(diǎn)p0(x0,y0) 的坐標(biāo)，適合等式y(tǒng)=kx+b, 即y0=kx0+b； 若y1=kx1+b，則點(diǎn)p1(x1,y1) 在直線l 上.2. 方程的圖象：我們把y=kx+b 看作是關(guān)于x, y 的 二元一次方程kxy+b=0, 那么直線l就是以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合，我們把這條直線叫做二元一次方程的圖象.二元一次方程ax+by+c=0

2、(a,b,c是常數(shù)，a0,b0) 叫做 直線方程. 一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線是以某二元方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合，那么這曲線就叫做這個(gè)方程的圖象. 例如：二元二次方程y=ax2+bx+c(a0) (即二次函數(shù))的圖象是拋物線； 二元分式方程y=(k0) (即反比例函數(shù))的圖象是雙曲線. 3. 函數(shù)的圖象能直觀地反映自變量x 與函數(shù)y 的對(duì)應(yīng)規(guī)律. 例如： 由圖象的最高，最低點(diǎn)可看函數(shù)的最大，最小值； 由圖象的上升，下降反映函數(shù) y是隨x的增大而增大(或減小)； 函數(shù)y=f(x)的圖象在橫軸的上方，下方或軸上，分別表示y0,y0,f(x)0 的解集和方程f(x)=0的解. 兩個(gè)函數(shù)圖象的

3、交點(diǎn)坐標(biāo)，就是這兩個(gè)圖象所表示的兩個(gè)方程(即函數(shù)解析式)的公共解.等等4. 畫函數(shù)圖象一般是：應(yīng)先確定自變量的取值范圍. 要使代數(shù)式有意義，并使代數(shù)式所表示的實(shí)際問題有意義，還要注意是否連續(xù)，是否有界.一般用描點(diǎn)法，但對(duì)一次函數(shù)(二元一次方程)的圖象，因它是直線(包括射線、線段)，所以可采用兩點(diǎn)法.線段一定要畫出端點(diǎn)(包括臨界點(diǎn)).對(duì)含有絕對(duì)值符號(hào)(或其他特殊符號(hào))的解析式 ，應(yīng)按定義對(duì)自變量分區(qū)討論，寫成幾個(gè)解析式.二、例題例1. 右圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a0)，試決定a, b, c 及b24ac的符號(hào).解：拋物線開口向下， a0且a0.拋物線與縱軸的交點(diǎn)在正半軸上， 截距c0

4、.拋物線與橫軸有兩個(gè)交點(diǎn)， b24ac0.例2. 已知：拋物線f：y=(x2)2+5. 試寫出把f向左平行移動(dòng)2個(gè)單位后，所得的曲線f1的方程；以及f 關(guān)于x 軸對(duì)稱的曲線f2 的方程. 畫出f1和f2的略圖，并求：（1） x的值什么范圍，曲線f1和f2都是下降的；（2） x的值在什么范圍，曲線f1和f2圍成一個(gè)封閉圖形；（3） 求在f1和f2圍成封閉圖形上，平行于y軸的線段的長度的最大值.（1980年福建省中招試題）解：f1 ：y=x2+5 (由頂點(diǎn)橫坐標(biāo)變化確定的)， f2 ：y=(x2)25 (由開口方向相反確定的). （1）當(dāng)x0時(shí)，f1下降，當(dāng)x2時(shí)，f2下降，當(dāng)0x2時(shí)，曲線f1和

5、f2都是下降的. （2）求兩曲線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即解方程組x22x3=0 . x=1；或x=3. 當(dāng)1x 3時(shí)，曲線f1和f2圍成一個(gè)封閉圖形.(3)封閉圖形上，平行于y軸的線段的長度，就是對(duì)應(yīng)于同一個(gè)橫坐標(biāo)，兩曲線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差.在區(qū)間 1x 3內(nèi)，設(shè)f1 上的點(diǎn)P1(x,y1), f2 上的點(diǎn)P2(x,y2)，求y1y2的最大值，可用配方法：y1y2 (x2+5) (x2)252x2+4x+6 2(x1)2+8. 20， y1y2有最大值.當(dāng)x=1 時(shí)，y1y2的值最大是8.即線段長度的最大值是8.例3. 畫函數(shù)y=的圖象.解： 自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，下面分區(qū)討論：當(dāng)x1 時(shí)，

6、y=(x+1)(x2)=2x+1；當(dāng)1 x2時(shí)， y=x+1(x2)=3 ； 當(dāng)x 2時(shí)， y=x+1+x2=2x1. 即y= x2123y=2x+1(x1)53y=3(1x2)33y=2x1(x2)35 畫函數(shù)y=的圖象如下圖：例4. 畫方程x2+y2=1 的圖象， m 表示不超過m 的最大整數(shù).(1985年徐州市初中數(shù)學(xué)競賽題).解：x20， 且 y2=1x20， x21 . 0x21.m 表示不超過m 的最大整數(shù)，當(dāng)x2=0x=00x1 . 當(dāng)x2=1x= 自變量x的取值范圍是：1x2.x1x0 0 x11x2 x101x2101y2=1x2 010 y0110 y0y11y01y20y

7、0, 那么y=kx+k中，當(dāng)k0時(shí)，直線上升且在y軸上的截距為正. 所以應(yīng)選 (D)； 注意到y(tǒng)=1中， 當(dāng)x=0和x=1時(shí) y有最大值1，故選 (A).三、練習(xí)1. 填空： 橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)的集合，記作直線，縱軸記作直線，橫軸記作直線，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)的集合是直線，經(jīng)過一、三象限，平分兩坐標(biāo)軸夾角的直線記作方程. 點(diǎn)P（x, y）關(guān)于橫軸的對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)是（ ），點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)是（ ）. f：y=3(x2)2+5,關(guān)于橫軸對(duì)稱的拋物線f1記作f關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線f2記作. A（1，3）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)A，的坐標(biāo)是（ ）.點(diǎn)B（2，3）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)

8、B，的坐標(biāo)是（ ）.2. 根據(jù)圖象位置判斷指定的常數(shù)的符號(hào) 直線y=kx+b經(jīng)過二、一、四象限，則k,b的符號(hào)是 拋物線y=ax2+bx+c的位置，如圖所示，試確定下列代數(shù)式的符號(hào) a_, _,b_,c_,b24ac_,_3. 選擇題（只有一個(gè)準(zhǔn)確的答案）（1）下圖（1）是一次函數(shù)px+qy+r=0的圖象，下列條件準(zhǔn)確的是（ ）.（A）p=q, r=0 . (B) p=q, r=0. (C)p=q, r=1. (D) p=q, r=1.（2）下圖（2）是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，如下答案哪個(gè)準(zhǔn)確？（ ）（A）a+b+c=0. （B）a+b+c0. （D）a+b+c值不定. (1) （

9、3）二次函數(shù)y=a(x+m)2+n中，a0 , m0, n0 它的圖象（ ） (4)兩個(gè)一次函數(shù)y=mx+n y=nx+m 且mn0, 那么它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的圖象大致為（ ）（D）（5）在同一坐標(biāo)系內(nèi)，y=ax+b與y=ax2+b的圖象大體位置是（ ） (6)已知函數(shù)y+ax+b和y=ax2+bx+c那么它們的圖象是（ ）（1983年福建省初中數(shù)學(xué)競賽題）4. 畫下列函數(shù)的圖象y=； y=； y=()2； y=.5. 有m部同樣的機(jī)器，同時(shí)開始工作，需要m小時(shí)完成某項(xiàng)任務(wù).設(shè)由x部機(jī)器完成某一任務(wù)，求所需的時(shí)間y(小時(shí))與機(jī)器臺(tái)數(shù)x(x為小于m的整數(shù))的函數(shù)關(guān)系，并畫出當(dāng)m=5時(shí)函數(shù)的圖象.

10、6. 畫如下方程、函數(shù)的圖象. ；y=x22|x|3.7. 這是一張追及圖看圖回答： 誰追及誰？ 誰早出發(fā)，早幾小時(shí)？ 甲、乙在這段路程速度各多少？ 追的人從出發(fā)到追上，用了幾小時(shí)？走多少路程？ 分別列出甲、乙兩人的路程y甲，y乙和時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系的解析式.8. 如圖，拋物線L1：y=ax2+2bx+c和拋物線L2：y=(a+1)x2+2(b+2)x+c+3 的位置如圖所示.判斷哪條拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，說明理由；.求出點(diǎn)B和點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；.若ABBC，OCOD，求a, b, c的值 . 9. 坐標(biāo)平面上，縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都是整數(shù)的格點(diǎn)(整點(diǎn))， 試在二次函數(shù) y=-1CBDA1的圖象上找出

11、滿足y的所有整點(diǎn)(x,y), 并說明理由.(1995年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題) （8）練習(xí)題參考答案1. x=2, x=0, y=0, y=x, y=x； (x,y),(x,y)； y=3(x2)25, y=3(x+2)25 (3，1)，(3，2) 2. k0. 正，負(fù)，正，負(fù)，負(fù)，正，負(fù).3. (A)， (B)， (B)， (C)， (D)， (C) 4. x0，圖象不以過原點(diǎn)； y0；x0； y0. 5. y=(x 是正整數(shù)xm=5). 6. （如圖） 7. 乙追及甲； 甲先1小時(shí)； 時(shí)速甲4、乙5千米； 乙用4小時(shí)追上甲先走的4千米 y甲=4x, y乙=5x 8. 由圖象a,a+1異號(hào)，L2過A，B，C三點(diǎn). 3，1. ，0，. 9. (2，2)，(4，3)，