上海市虹口區(qū)高考二模理科數(shù)學試題及答案

1、虹口區(qū)2013年數(shù)學學科高考練習題(理科)（時間120分鐘，滿分150分）2013.4一、填空題（每小題4分，滿分56分）1、函數(shù)在上單調遞減，則的取值范圍是 2、已知復數(shù)，則 3、已知，則 4、設展開式中二項式系數(shù)之和為，各項系數(shù)之和為，則 5、已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，且漸近線方程為，則此雙曲線方程為 6、如果，則的最小值為 7、數(shù)列的通項，前項和為，則 8、設、是橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且滿足，則的面積等于 9、從集合的所有非空子集中，等可能地取出一個，記取出的非空子集中元素個數(shù)為，則的數(shù)學期望 10、對于，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 11、在中，則面積等于 12、將邊長為

2、2的正方形沿對角線折起，以，為頂點的三棱錐的體積最大值等于 13、設，稱為整數(shù)的為“希望數(shù)”，則在內所有“希望數(shù)”的個數(shù)為 14、已知函數(shù)的定義域是使得解析式有意義的的集合，如果對于定義域內的任意實數(shù)，函數(shù)值均為正，則實數(shù)的取值范圍是 二、選擇題（每小題5分，滿分20分）15、直線的傾斜角等于（ ） 16、已知函數(shù)與直線相交，若在軸右側的交點自左向右依次記為，則等于（ ） 17、若，如果有，則值為（ ） 0 118、正方體的棱上到異面直線，的距離相等的點的個數(shù)為（ ）2 3 4 5 三、解答題（滿分74分）19、（本題滿分12分）如圖，平面，矩形的邊長，為的中點（1）證明：；（2）如果，求異面

3、直線與所成的角的大小20、（本題滿分14分）在中，角，所對的邊長分別為，向量，且（1）求角；（2）若，求的面積的最大值21、（本題滿分14分）已知復數(shù)，其中，是虛數(shù)單位，且，（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求和：；22、（本題滿分16分）已知拋物線：，直線交此拋物線于不同的兩個點、（1）當直線過點時，證明為定值；（2）當時，直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由；（3）如果直線過點，過點再作一條與直線垂直的直線交拋物線于兩個不同點、設線段的中點為，線段的中點為，記線段的中點為問是否存在一條直線和一個定點，使得點到它們的距離相等？若存在，求出這條直線和這個定點；若不存在，

4、請說明理由23、（本題滿分18分）定義域為的函數(shù)，如果對于區(qū)間內的任意兩個數(shù)、都有成立，則稱此函數(shù)在區(qū)間上是“凸函數(shù)”（1）判斷函數(shù)在上是否是“凸函數(shù)”，并證明你的結論；（2）如果函數(shù)在上是“凸函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；（3）對于區(qū)間上的“凸函數(shù)”，在上任取， 證明： 當（）時，成立； 請再選一個與不同的且大于1的整數(shù)，證明：也成立11 / 11虹口區(qū)2013年數(shù)學學科高考練習題答案（理）一、填空題（每小題4分，滿分56分）1、； 2、2； 3、； 4、； 5、； 6、1； 7、7； 8、1； 9、； 10、； 11、； 12、； 13、9； 14、或；二、選擇題（每小題5分，滿分20分）15

5、、； 16、a； 17、； 18、；三、解答題（滿分74分）19、(12分) 解：（1）連，由，得，同理，由勾股定理逆定理得，3分由平面，得.由，得平面6分（2）取的中點，的中點，連、， ，的大小等于異面直線與所成的角或其補角的大小8分由，得，異面直線與所成的角的大小為12分注：用向量解相應給分20、（14分）解：（1），5分又，7分（2），即9分，即，當且僅當時等號成立12分，當時，14分21、（14分）解：（1），由得，3分數(shù)列是以1為首項公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列是以1為首項公差為2的等差數(shù)列，6分（2）由（1）知，,數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列9分當，時，當，時，又也滿足上式14分22、（16分）解：（1）過點與拋物線有兩個交點，設，由得，4分（2）當直線的斜率存在時，設，其中（若時不合題意）由得，從而6分從而，得，即，即過定點8分當直線的斜率不存在，設，代入得，從而，即，也過綜上所述，當時，直線過定點10分（3）依題意直線的斜率存在且不為零，由（1）得點的縱坐標為，代入得，即由于與互相垂直，將點中的用代，得12分設，則消得14分由拋物線的定義知存在直線，點，點到它們的距離相等16分23、（18分）解：（1）設，是上的任意兩個數(shù)，則函數(shù)在上是 “凸函數(shù)”4分（2）對于上的任意兩個數(shù)，均有成立，即，整理得7分若，可以取