環(huán)形道路上的行程問題

1、第五講環(huán)形道路上的行程問題一、知識(shí)要點(diǎn)和基本方法1 .行程問題中的基本數(shù)量關(guān)系式：速度如寸問=路程；路程4寸問=速度； 路程也度=時(shí)間.2 .相遇問題中的數(shù)量關(guān)系式：速度和冰目遇時(shí)間=相遇路程； 相遇路程蟲度和=相遇時(shí)間； 相遇路程/目遇時(shí)間=速度和.3 .追及問題中的數(shù)量關(guān)系式：速度差 及時(shí)間=追及距離； 追及距離也度差=追及時(shí)間； 追及距離 金及時(shí)間=速度差.4 .流水問題中的數(shù)量關(guān)系式：順?biāo)俣?船速十水速；逆水速度=船速一水速；船速=(順?biāo)俣?逆水速度)攵； 水速=(順?biāo)俣?逆水速度)攵.5 .應(yīng)該注意到：(1)順逆風(fēng)中的行走問題與順逆水中的航行問題考慮方法類似;因此不要機(jī)(2)在

2、一條路上往返行走與在環(huán)形路上行走解題思考方法類似, 械地去理解環(huán)形道路長的行程問題.二、例題精講例1李明和王林在周長為400米的環(huán)形道路上練習(xí)跑步.李明每分鐘跑200米，是王林每分鐘所跑路程的8 .如果兩人從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿同一方向前進(jìn)，9問至少要經(jīng)過幾分鐘兩人才能相遇？分析 由于兩人從同一地點(diǎn)同向出發(fā)，因此是追及問題，追及距離是400米， 可用公式“追及距離吼度差=追及時(shí)間”.解 追及距離=400米；8 返及時(shí)的速度差=200- -200.9由公式列出追及時(shí)間=400+ (200+8 200)9= 400 + (225-200)= 400 + 25=16 (分).答 至少經(jīng)過16分鐘兩人才能

3、相遇.例2如圖5 1, a、b是圓的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，亮亮在點(diǎn) a,明明在點(diǎn)b, 他們同時(shí)出發(fā)，反向而行.他們?cè)?c點(diǎn)第一次相遇，c點(diǎn)離a點(diǎn)100米；在d 點(diǎn)第二次相遇，d點(diǎn)離b點(diǎn)80米.求這個(gè)圓的周長.圖5-1分析第一次相遇，兩人合起來走了半圈，第二次相遇，兩個(gè)人合起來又走 了一圈，所以從開始出發(fā)到第二次相遇，兩個(gè)人合起來走了一圈半.也就是說， 第二次相遇時(shí)兩人合起來所走的行程是第一次相遇時(shí)合起來所走的行程的3倍,也就是每個(gè)人在第二次相遇時(shí)所走的行程是第一次相遇時(shí)所走的行程的3倍，所以從a到d （a-c-b-d）的距離應(yīng)該是從 a至i c （a直接到c）的距離的 3倍.于是有解法如下.解 a至

4、ij d （a-c-b-d）的距離：100 x 3=300 （米）.半個(gè)圓圈長：300- 80=220 （米）.整個(gè)圓圈長：220 x2 = 440 （米）.答 這個(gè)圓的周長是440米.例3 一個(gè)圓的周長為1. 44米，兩只螞蟻從一條直徑的兩端同時(shí)出發(fā)，沿 圓周相向爬行.l分鐘后它們都調(diào)頭而行，再過 3分鐘，他們又調(diào)頭爬行，依次 按照1、3、5、7,（連續(xù)奇數(shù)）分鐘數(shù)調(diào)頭爬行.這兩只螞蟻每分鐘分別爬 行5. 5厘米和3. 5厘米.那么經(jīng)過多少時(shí)間它們初次相遇？再次相遇需要多少 時(shí)間？分析半圓的周長是1.44 2=072 （米）=72 （厘米）.先不考慮往返的情況，那么兩只螞蟻從出發(fā)到相遇所花時(shí)

5、間為72 （55+3.5） = 8 （分）.再考慮往返的t#況，則有表5-1.表51經(jīng)過時(shí)間（分）1 3 5 7 9 11 13 15 16在上半圓爬行時(shí)間13578在下半圓爬行時(shí)間2468所以在15分鐘的那次爬行中，兩只螞蟻在下半圓爬行剛好都是8分鐘.由此可求出它們初次相遇和再次相遇的時(shí)間.解由題意可知它們從出發(fā)到初次相遇經(jīng)過時(shí)間= 1 + 3+5+ 7+9+11 + 13+ 15=64 （分）.第一次相遇時(shí)，它們位于下半圓，折返向上半圓爬去，須爬行 17分鐘，此 時(shí)，爬行在下半圓的時(shí)間仍為 8分鐘（與上次在下半圓爬行時(shí)間相同），爬行在 上半圓的時(shí)間應(yīng)為9 （ = 17-8）分鐘，但在上半圓

6、（相向）爬行 8分鐘就會(huì)相 遇，此時(shí)總時(shí)間又用去了 16 （ = 8 + 8）分鐘，因此，第二次相遇發(fā)生在第一次 相遇后又經(jīng)過了 16分鐘（從總時(shí)間計(jì)算則為64+16= 80 （分）.此時(shí)，相遇位 置在上半圓.答 它們經(jīng)過時(shí)分鐘初次相遇，再經(jīng)過 16分鐘再次相遇，例4 一個(gè)圓周長70厘米，甲、乙兩只爬蟲從同一地點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)同向爬 行，用以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并 且速度增加1倍，在離出發(fā)點(diǎn)30厘米處與甲相遇，問爬蟲乙原來的速度是多 少？圖5 2分析 根據(jù)題意畫出示意圖5-2.觀察示意圖可知：甲共行了 70-30= 40（厘米），所需時(shí)間是40乂=10（秒）

7、.在 10秒內(nèi)，乙按原速度走了 15厘米，按2倍的速度走了 15+ 30=45 （厘米），假 如全按原速走，乙10秒共走15+ 45攵=37.5（厘米）,由此可求出乙原來的速度.解（70-30） %=40 + 4=10 （秒），（30+15） + 2+15 +10=37.5?+10=375?（厘米/秒）.答 爬蟲乙原來的速度是每秒爬3.75厘米例5如圖5-3,沿著邊長為90米的正方形，按逆時(shí)針方向，甲從 a出發(fā)， 每分鐘走65米，乙從b出發(fā)，每分鐘走72米，當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)是在正方形的哪一條邊上?圖5-3分析 這是環(huán)形追及問題.這類問題可以先看成“直線”追及問題，求出乙 追上甲所需要的時(shí)間，

8、再回到“環(huán)形”追及問題，根據(jù)乙在這段時(shí)間內(nèi)所走路程, 推算出乙應(yīng)在正方形哪一條邊上.解 設(shè)追上甲時(shí)乙走了 x分鐘.依題意，甲在乙前方3 x 90=270 (米),故有72x = 65x+ 270,解得270在這段時(shí)間內(nèi)乙走了72 x2701 = 27777由于正方形邊長為90米，共四條邊，所以由2777- =3 0x 90+ 77-= (4x 7+2) x90+ 77-, 777可以推算出這時(shí)甲和乙應(yīng)在正方形的 ad邊上.答 當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)在正方形的 ad邊上.例6 150人要趕到90千米外的某地去執(zhí)行任務(wù).已知步行每小時(shí)可行10千米.現(xiàn)有一輛時(shí)速為70千米的卡車，可乘50人.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種

9、乘車及步行的 方案，能使這150人在最短的時(shí)間內(nèi)全部趕到目的地.其中，在中途每次換車(上、 下車)時(shí)間均忽略不計(jì).解 顯然，只有人、車不停地向目標(biāo)前進(jìn)，車一直不停地往返載人，最后使150人與車同時(shí)到達(dá)目的地時(shí)，所用的時(shí)間才會(huì)最短.由于這輛車只能乘坐50人，因此將150分為3組，每組50人來安排乘車與 步行.圖54中，實(shí)線表示汽車往返路線(ae-ec-cf-fd-db),虛線表示 步行路段.顯然每組乘車、步行的路程都應(yīng)一樣多.所以圖5-4ae = cf=db,且 ac=cd=ef=fb.若沒 ae = cf= db= x , ac = cd=ef=fb= y ,則x 2y 90 .且因?yàn)?車在a

10、e十ec上所用的時(shí)間與步行ac所用時(shí)間相同，所以x x y70y10解方程組2y90y10x70得x 60, y 15 .則150人全部從a到b最短時(shí)間為60 2 15 。6 3|小時(shí) 70107答方案是50人一組，共分3組，先后分別乘60千米車，先后分段步行30 千米，由a同時(shí)出發(fā)，最后同時(shí)到b,最短時(shí)間是36小時(shí).例7甲、乙二人沿橢圓形跑道作變速跑訓(xùn)練：他們從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿相 反方向跑，每人跑完第一圈到達(dá)出發(fā)點(diǎn)后立即回頭加速跑第二圈。跑第一圈時(shí)，乙速是甲速的i,甲跑第二圈時(shí)，速度比第一圈提高了-,乙跑第二圈時(shí)速度比 3第一圈提高了 -5個(gè)橢圓形跑道周長多少米?.已知甲、乙二人第二次相遇點(diǎn)

11、距第一次相遇點(diǎn) 190米.問：這分析可設(shè)跑道周長為l,第一次相遇時(shí)，甲跑了 3l,乙跑了 cl.又設(shè)5521 1 2甲速為a,則乙速為 -a ,而跑第二圈時(shí)，甲速為 1 a，乙速為 1 - -a -利用相向運(yùn)動(dòng)公式求出第二個(gè)相遇點(diǎn)，利用兩個(gè)相遇點(diǎn)之差等于190米列方程求l.解 如圖5-5 (1)及圖5-5 (2),圖 5-5 (1)圖 5-5 (2)2設(shè)跑第一圈甲速為a (米/秒)，于是乙速為2a (米/秒).又設(shè)跑道全長為l3(米)，則甲、乙第一次相遇點(diǎn)在按甲前進(jìn)的方向距出發(fā)點(diǎn)為-l.甲跑完第一5 114圈(l),乙跑了l .當(dāng)乙繼續(xù)跑余下的-l路程時(shí)，甲已折返，且以1 1 a a 3332

12、. 一 ,的速度跑，所以在乙跑完第一圈時(shí)，甲已折返跑了 2 l的距離.這時(shí)，乙折返以35:3.所以，甲跑2a 1 - a 4a跑著.從這時(shí)起，甲、乙速度比為-a 3553了余下的l的5：,而乙跑了余下的l的3,即乙跑了折返后的-3 38383 8與折返后的甲第二次相遇，因此有31l l 19058即所以40l190l=400 （米）.跑道周長400米.練習(xí)題a組1 .甲用40秒可繞一環(huán)形跑道跑一圈，乙反方向跑，每隔15秒與甲相遇一次.問 乙跑完一圈用多少秒？2 .甲、乙從360米長的環(huán)形跑道上的同一地點(diǎn)向相同方向跑步. 甲每分鐘跑305 米，乙每分鐘跑275米.兩人起跑后，問第一次相遇在離起點(diǎn)

13、多少米處？3 .有一條長500米的環(huán)形跑道.甲、乙兩人同時(shí)從跑道上某一點(diǎn)出發(fā)，反向而 跑，1分鐘后相遇；如果兩人同向而跑，則 10分鐘后相遇.已知甲跑得比 乙快，問甲、乙兩人每分鐘各跑多少米？4 .甲、乙兩人同時(shí)從a點(diǎn)背向出發(fā)，沿400米環(huán)形跑道行走，甲每分鐘走 80 米，乙每分鐘走50米，這兩人至少用多少分鐘再在 a點(diǎn)相遇？5 .小明在360米長的環(huán)形跑道上跑了一圈.已知他前一半時(shí)間每秒跑5米，后一半時(shí)間每秒跑4米，那么小明后一半路程用了多少秒？6 . 一條船往返于甲、乙兩港之間，由甲至乙是順?biāo)旭偅挥梢抑良资悄嫠?駛.已知船在靜水中的速度為每小時(shí)8千米，平時(shí)逆行與順行所用時(shí)間的比 為2:

14、 1,某天恰逢暴雨，水流速度為原來的 2倍，這條船往返共用9小時(shí)， 問甲、乙兩港相距多少千米？7 . 兩只小爬蟲甲和乙，從圖5 6上a點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿長方形 abcd的邊， 分別按箭頭方向爬行，在離c點(diǎn)32厘米的e點(diǎn)它們第一次相遇；在離d點(diǎn) 16厘米的f點(diǎn)第二次相遇，在離a點(diǎn)16厘米的 g點(diǎn)第三次相遇，問長方 形的邊 ab長多少厘米？圖56圖578 .周長400米的圓形跑道上，有相距100米的a、b兩點(diǎn)（如圖5 7）.甲、 乙兩人分別在a、b兩點(diǎn)相背而跑，兩人相遇后乙立即轉(zhuǎn)身與甲同向而跑， 當(dāng)甲又跑到a地時(shí)，乙恰好又跑到b地.如果以后甲、乙跑的方向和速度 都不變，那么甲追上乙時(shí)，從出發(fā)開始，甲共

15、跑了多少米？b組9 .繞湖環(huán)行一周是2 700米，小張、小王、小李從同一地點(diǎn)出發(fā)繞湖行走，小 李沿反方向行走，小張的速度是 135米/分，小王的速度是90米/分，小李 的速度是45米/分.當(dāng)小張和小李相遇后，馬上轉(zhuǎn)身反向而行，不久與小王 相遇。問出發(fā)后多少時(shí)間，小張和小王相遇？10 .小張步行從甲村到乙村去，小李騎自行車從乙村往甲村去，他們同時(shí)出發(fā)，1小時(shí)后在途中相遇，他們分別繼續(xù)前進(jìn)，小李到達(dá)甲村后就立即返回，在 第一次相遇后40分鐘，小李追上了小張，他們又分別繼續(xù)前進(jìn)，當(dāng)小李到 達(dá)乙村后又馬上折回，問：追上后多少分鐘，他們?cè)俅蜗嘤觯?1 .繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點(diǎn)同時(shí)出

16、發(fā)，反向而行，王 以4千米/時(shí)的速度每走1小時(shí)后休息5分鐘j張以6千米/時(shí)的速度每走50 分鐘后休息10分鐘，問兩人出發(fā)多少時(shí)間后第一次相遇？12 .小張、小王、小李同時(shí)從湖邊同一地點(diǎn)出發(fā)，繞湖而走.小張速度是每小時(shí)5. 4千米，小王速度是每小時(shí)4. 2千米，他們兩人同方向行走，小李與他們反方向行走，半小時(shí)后小張與小李相遇，再過 5分鐘，小李與小王相遇，那么繞湖一周行程是多少千米？13 .游船順流而下，每小時(shí)前進(jìn)7千米，逆流而上，每小時(shí)前進(jìn)5千米，兩條游 船同時(shí)從同一地方出發(fā)，一條順流而下，然后返回；一條逆流而上，然后返 回，結(jié)果，1小時(shí)后它們同時(shí)回到出發(fā)點(diǎn)，問在這 1小時(shí)內(nèi)有多少時(shí)間這兩 條

17、游船的前進(jìn)方向相同？14 .在400米環(huán)形跑道上，a、b兩點(diǎn)相距100米（如圖58所示）.甲、乙 兩人分別從a、b兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，按逆時(shí)針方向跑步.甲每秒跑 5米，乙每 秒跑4米，每人跑100米，都要停10秒鐘.那么，甲追上乙需要的時(shí)間是 多少秒.圖59圖5-815 .在圖5 9中，正方形abcd是一條環(huán)形公路.已知汽車在ab上的速度是90 千米/時(shí)，在bc上的速度是120千米/時(shí)，在cd上的速度是60千米/時(shí)， 在da上的速度是80千米/時(shí).從cd上一點(diǎn)p,同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車， 它們將在ab的中點(diǎn)相遇.如果從pc的中點(diǎn)m,同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車， 它們將在ab上一點(diǎn)n處相遇二求a 至n的距

18、離b至n的距離16 .某游艇在一條河流中逆水航行，有一乘客隨身帶有的空心玻璃球在 a橋處失 落于水中，但經(jīng)過20分鐘到c處才發(fā)現(xiàn)；游艇掉頭尋找空心玻璃球，直至 更下游的b橋下才拾得.已知a、b兩橋相距2千米，求河水的流速.測(cè)試題1 .如圖5- 10,在一圓形的跑道上，小明從 a點(diǎn)，小強(qiáng)從b點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向行 走（如箭頭所示）.6分鐘后，小明與小強(qiáng)相遇，再過4分鐘，小明到達(dá)b點(diǎn).又 再過8分鐘，小明與小強(qiáng)再次相遇.問：小明環(huán)行一周要多少分鐘？圖 5-11圖 5102 .如圖511, 一個(gè)圓周長90厘米，3個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓周分成三等分，3只爬蟲 a、b、c分別在這3個(gè)點(diǎn)上.它們同時(shí)出發(fā)，按順時(shí)針方向沿著圓周爬行.a 的速度是10厘米/秒出的速度是5厘米/秒（的速度是3厘米/秒，3只爬蟲出 發(fā)后多少時(shí)間第一次到達(dá)同一位置？3 .上午8點(diǎn)08分，小明從家里騎自行車出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他， 在離家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭追小 明，再追上他的時(shí)候，離家恰好是 8千米.問：這時(shí)是幾點(diǎn)幾分？4 .圖512中，甲、乙兩人分別位于周長為400米的正方形水池相鄰的兩個(gè)頂 點(diǎn)上，同時(shí)開始沿逆時(shí)針方向沿池邊行走.甲每分鐘走50米，乙每分鐘走44米，問：甲、乙兩人出發(fā)后幾分鐘才能第一次走在正方形的同一條邊上（不含甲、乙兩人在正方形相鄰