環(huán)形道路上的行程問題

1、第五講環(huán)形道路上的行程問題一、知識要點和基本方法1 .行程問題中的基本數(shù)量關(guān)系式：速度如寸問=路程；路程4寸問=速度； 路程也度=時間.2 .相遇問題中的數(shù)量關(guān)系式：速度和冰目遇時間=相遇路程； 相遇路程蟲度和=相遇時間； 相遇路程/目遇時間=速度和.3 .追及問題中的數(shù)量關(guān)系式：速度差 及時間=追及距離； 追及距離也度差=追及時間； 追及距離 金及時間=速度差.4 .流水問題中的數(shù)量關(guān)系式：順?biāo)俣?船速十水速；逆水速度=船速一水速；船速=(順?biāo)俣?逆水速度)攵； 水速=(順?biāo)俣?逆水速度)攵.5 .應(yīng)該注意到：(1)順逆風(fēng)中的行走問題與順逆水中的航行問題考慮方法類似;因此不要機(2)在

2、一條路上往返行走與在環(huán)形路上行走解題思考方法類似, 械地去理解環(huán)形道路長的行程問題.二、例題精講例1李明和王林在周長為400米的環(huán)形道路上練習(xí)跑步.李明每分鐘跑200米，是王林每分鐘所跑路程的8 .如果兩人從同一地點出發(fā)，沿同一方向前進(jìn)，9問至少要經(jīng)過幾分鐘兩人才能相遇？分析 由于兩人從同一地點同向出發(fā)，因此是追及問題，追及距離是400米， 可用公式“追及距離吼度差=追及時間”.解 追及距離=400米；8 返及時的速度差=200- -200.9由公式列出追及時間=400+ (200+8 200)9= 400 + (225-200)= 400 + 25=16 (分).答 至少經(jīng)過16分鐘兩人才能

3、相遇.例2如圖5 1, a、b是圓的直徑的兩個端點，亮亮在點 a,明明在點b, 他們同時出發(fā)，反向而行.他們在 c點第一次相遇，c點離a點100米；在d 點第二次相遇，d點離b點80米.求這個圓的周長.圖5-1分析第一次相遇，兩人合起來走了半圈，第二次相遇，兩個人合起來又走 了一圈，所以從開始出發(fā)到第二次相遇，兩個人合起來走了一圈半.也就是說， 第二次相遇時兩人合起來所走的行程是第一次相遇時合起來所走的行程的3倍,也就是每個人在第二次相遇時所走的行程是第一次相遇時所走的行程的3倍，所以從a到d （a-c-b-d）的距離應(yīng)該是從 a至i c （a直接到c）的距離的 3倍.于是有解法如下.解 a至

4、ij d （a-c-b-d）的距離：100 x 3=300 （米）.半個圓圈長：300- 80=220 （米）.整個圓圈長：220 x2 = 440 （米）.答 這個圓的周長是440米.例3 一個圓的周長為1. 44米，兩只螞蟻從一條直徑的兩端同時出發(fā)，沿 圓周相向爬行.l分鐘后它們都調(diào)頭而行，再過 3分鐘，他們又調(diào)頭爬行，依次 按照1、3、5、7,（連續(xù)奇數(shù)）分鐘數(shù)調(diào)頭爬行.這兩只螞蟻每分鐘分別爬 行5. 5厘米和3. 5厘米.那么經(jīng)過多少時間它們初次相遇？再次相遇需要多少 時間？分析半圓的周長是1.44 2=072 （米）=72 （厘米）.先不考慮往返的情況，那么兩只螞蟻從出發(fā)到相遇所花時

5、間為72 （55+3.5） = 8 （分）.再考慮往返的t#況，則有表5-1.表51經(jīng)過時間（分）1 3 5 7 9 11 13 15 16在上半圓爬行時間13578在下半圓爬行時間2468所以在15分鐘的那次爬行中，兩只螞蟻在下半圓爬行剛好都是8分鐘.由此可求出它們初次相遇和再次相遇的時間.解由題意可知它們從出發(fā)到初次相遇經(jīng)過時間= 1 + 3+5+ 7+9+11 + 13+ 15=64 （分）.第一次相遇時，它們位于下半圓，折返向上半圓爬去，須爬行 17分鐘，此 時，爬行在下半圓的時間仍為 8分鐘（與上次在下半圓爬行時間相同），爬行在 上半圓的時間應(yīng)為9 （ = 17-8）分鐘，但在上半圓

6、（相向）爬行 8分鐘就會相 遇，此時總時間又用去了 16 （ = 8 + 8）分鐘，因此，第二次相遇發(fā)生在第一次 相遇后又經(jīng)過了 16分鐘（從總時間計算則為64+16= 80 （分）.此時，相遇位 置在上半圓.答 它們經(jīng)過時分鐘初次相遇，再經(jīng)過 16分鐘再次相遇，例4 一個圓周長70厘米，甲、乙兩只爬蟲從同一地點，同時出發(fā)同向爬 行，用以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并 且速度增加1倍，在離出發(fā)點30厘米處與甲相遇，問爬蟲乙原來的速度是多 少？圖5 2分析 根據(jù)題意畫出示意圖5-2.觀察示意圖可知：甲共行了 70-30= 40（厘米），所需時間是40乂=10（秒）

7、.在 10秒內(nèi)，乙按原速度走了 15厘米，按2倍的速度走了 15+ 30=45 （厘米），假 如全按原速走，乙10秒共走15+ 45攵=37.5（厘米）,由此可求出乙原來的速度.解（70-30） %=40 + 4=10 （秒），（30+15） + 2+15 +10=37.5?+10=375?（厘米/秒）.答 爬蟲乙原來的速度是每秒爬3.75厘米例5如圖5-3,沿著邊長為90米的正方形，按逆時針方向，甲從 a出發(fā)， 每分鐘走65米，乙從b出發(fā)，每分鐘走72米，當(dāng)乙第一次追上甲時是在正方形的哪一條邊上?圖5-3分析 這是環(huán)形追及問題.這類問題可以先看成“直線”追及問題，求出乙 追上甲所需要的時間，

8、再回到“環(huán)形”追及問題，根據(jù)乙在這段時間內(nèi)所走路程, 推算出乙應(yīng)在正方形哪一條邊上.解 設(shè)追上甲時乙走了 x分鐘.依題意，甲在乙前方3 x 90=270 (米),故有72x = 65x+ 270,解得270在這段時間內(nèi)乙走了72 x2701 = 27777由于正方形邊長為90米，共四條邊，所以由2777- =3 0x 90+ 77-= (4x 7+2) x90+ 77-, 777可以推算出這時甲和乙應(yīng)在正方形的 ad邊上.答 當(dāng)乙第一次追上甲時在正方形的 ad邊上.例6 150人要趕到90千米外的某地去執(zhí)行任務(wù).已知步行每小時可行10千米.現(xiàn)有一輛時速為70千米的卡車，可乘50人.請你設(shè)計一種

9、乘車及步行的 方案，能使這150人在最短的時間內(nèi)全部趕到目的地.其中，在中途每次換車(上、 下車)時間均忽略不計.解 顯然，只有人、車不停地向目標(biāo)前進(jìn)，車一直不停地往返載人，最后使150人與車同時到達(dá)目的地時，所用的時間才會最短.由于這輛車只能乘坐50人，因此將150分為3組，每組50人來安排乘車與 步行.圖54中，實線表示汽車往返路線(ae-ec-cf-fd-db),虛線表示 步行路段.顯然每組乘車、步行的路程都應(yīng)一樣多.所以圖5-4ae = cf=db,且 ac=cd=ef=fb.若沒 ae = cf= db= x , ac = cd=ef=fb= y ,則x 2y 90 .且因為7車在a

10、e十ec上所用的時間與步行ac所用時間相同，所以x x y70y10解方程組2y90y10x70得x 60, y 15 .則150人全部從a到b最短時間為60 2 15 。6 3|小時 70107答方案是50人一組，共分3組，先后分別乘60千米車，先后分段步行30 千米，由a同時出發(fā)，最后同時到b,最短時間是36小時.例7甲、乙二人沿橢圓形跑道作變速跑訓(xùn)練：他們從同一地點出發(fā)，沿相 反方向跑，每人跑完第一圈到達(dá)出發(fā)點后立即回頭加速跑第二圈。跑第一圈時，乙速是甲速的i,甲跑第二圈時，速度比第一圈提高了-,乙跑第二圈時速度比 3第一圈提高了 -5個橢圓形跑道周長多少米?.已知甲、乙二人第二次相遇點

11、距第一次相遇點 190米.問：這分析可設(shè)跑道周長為l,第一次相遇時，甲跑了 3l,乙跑了 cl.又設(shè)5521 1 2甲速為a,則乙速為 -a ,而跑第二圈時，甲速為 1 a，乙速為 1 - -a -利用相向運動公式求出第二個相遇點，利用兩個相遇點之差等于190米列方程求l.解 如圖5-5 (1)及圖5-5 (2),圖 5-5 (1)圖 5-5 (2)2設(shè)跑第一圈甲速為a (米/秒)，于是乙速為2a (米/秒).又設(shè)跑道全長為l3(米)，則甲、乙第一次相遇點在按甲前進(jìn)的方向距出發(fā)點為-l.甲跑完第一5 114圈(l),乙跑了l .當(dāng)乙繼續(xù)跑余下的-l路程時，甲已折返，且以1 1 a a 3332

12、. 一 ,的速度跑，所以在乙跑完第一圈時，甲已折返跑了 2 l的距離.這時，乙折返以35:3.所以，甲跑2a 1 - a 4a跑著.從這時起，甲、乙速度比為-a 3553了余下的l的5：,而乙跑了余下的l的3,即乙跑了折返后的-3 38383 8與折返后的甲第二次相遇，因此有31l l 19058即所以40l190l=400 （米）.跑道周長400米.練習(xí)題a組1 .甲用40秒可繞一環(huán)形跑道跑一圈，乙反方向跑，每隔15秒與甲相遇一次.問 乙跑完一圈用多少秒？2 .甲、乙從360米長的環(huán)形跑道上的同一地點向相同方向跑步. 甲每分鐘跑305 米，乙每分鐘跑275米.兩人起跑后，問第一次相遇在離起點

13、多少米處？3 .有一條長500米的環(huán)形跑道.甲、乙兩人同時從跑道上某一點出發(fā)，反向而 跑，1分鐘后相遇；如果兩人同向而跑，則 10分鐘后相遇.已知甲跑得比 乙快，問甲、乙兩人每分鐘各跑多少米？4 .甲、乙兩人同時從a點背向出發(fā)，沿400米環(huán)形跑道行走，甲每分鐘走 80 米，乙每分鐘走50米，這兩人至少用多少分鐘再在 a點相遇？5 .小明在360米長的環(huán)形跑道上跑了一圈.已知他前一半時間每秒跑5米，后一半時間每秒跑4米，那么小明后一半路程用了多少秒？6 . 一條船往返于甲、乙兩港之間，由甲至乙是順?biāo)旭?；由乙至甲是逆水?駛.已知船在靜水中的速度為每小時8千米，平時逆行與順行所用時間的比 為2:

14、 1,某天恰逢暴雨，水流速度為原來的 2倍，這條船往返共用9小時， 問甲、乙兩港相距多少千米？7 . 兩只小爬蟲甲和乙，從圖5 6上a點同時出發(fā)，沿長方形 abcd的邊， 分別按箭頭方向爬行，在離c點32厘米的e點它們第一次相遇；在離d點 16厘米的f點第二次相遇，在離a點16厘米的 g點第三次相遇，問長方 形的邊 ab長多少厘米？圖56圖578 .周長400米的圓形跑道上，有相距100米的a、b兩點（如圖5 7）.甲、 乙兩人分別在a、b兩點相背而跑，兩人相遇后乙立即轉(zhuǎn)身與甲同向而跑， 當(dāng)甲又跑到a地時，乙恰好又跑到b地.如果以后甲、乙跑的方向和速度 都不變，那么甲追上乙時，從出發(fā)開始，甲共

15、跑了多少米？b組9 .繞湖環(huán)行一周是2 700米，小張、小王、小李從同一地點出發(fā)繞湖行走，小 李沿反方向行走，小張的速度是 135米/分，小王的速度是90米/分，小李 的速度是45米/分.當(dāng)小張和小李相遇后，馬上轉(zhuǎn)身反向而行，不久與小王 相遇。問出發(fā)后多少時間，小張和小王相遇？10 .小張步行從甲村到乙村去，小李騎自行車從乙村往甲村去，他們同時出發(fā)，1小時后在途中相遇，他們分別繼續(xù)前進(jìn)，小李到達(dá)甲村后就立即返回，在 第一次相遇后40分鐘，小李追上了小張，他們又分別繼續(xù)前進(jìn)，當(dāng)小李到 達(dá)乙村后又馬上折回，問：追上后多少分鐘，他們再次相遇？11 .繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點同時出

16、發(fā)，反向而行，王 以4千米/時的速度每走1小時后休息5分鐘j張以6千米/時的速度每走50 分鐘后休息10分鐘，問兩人出發(fā)多少時間后第一次相遇？12 .小張、小王、小李同時從湖邊同一地點出發(fā)，繞湖而走.小張速度是每小時5. 4千米，小王速度是每小時4. 2千米，他們兩人同方向行走，小李與他們反方向行走，半小時后小張與小李相遇，再過 5分鐘，小李與小王相遇，那么繞湖一周行程是多少千米？13 .游船順流而下，每小時前進(jìn)7千米，逆流而上，每小時前進(jìn)5千米，兩條游 船同時從同一地方出發(fā)，一條順流而下，然后返回；一條逆流而上，然后返 回，結(jié)果，1小時后它們同時回到出發(fā)點，問在這 1小時內(nèi)有多少時間這兩 條

17、游船的前進(jìn)方向相同？14 .在400米環(huán)形跑道上，a、b兩點相距100米（如圖58所示）.甲、乙 兩人分別從a、b兩點同時出發(fā)，按逆時針方向跑步.甲每秒跑 5米，乙每 秒跑4米，每人跑100米，都要停10秒鐘.那么，甲追上乙需要的時間是 多少秒.圖59圖5-815 .在圖5 9中，正方形abcd是一條環(huán)形公路.已知汽車在ab上的速度是90 千米/時，在bc上的速度是120千米/時，在cd上的速度是60千米/時， 在da上的速度是80千米/時.從cd上一點p,同時反向各發(fā)出一輛汽車， 它們將在ab的中點相遇.如果從pc的中點m,同時反向各發(fā)出一輛汽車， 它們將在ab上一點n處相遇二求a 至n的距

18、離b至n的距離16 .某游艇在一條河流中逆水航行，有一乘客隨身帶有的空心玻璃球在 a橋處失 落于水中，但經(jīng)過20分鐘到c處才發(fā)現(xiàn)；游艇掉頭尋找空心玻璃球，直至 更下游的b橋下才拾得.已知a、b兩橋相距2千米，求河水的流速.測試題1 .如圖5- 10,在一圓形的跑道上，小明從 a點，小強從b點同時出發(fā)反向行 走（如箭頭所示）.6分鐘后，小明與小強相遇，再過4分鐘，小明到達(dá)b點.又 再過8分鐘，小明與小強再次相遇.問：小明環(huán)行一周要多少分鐘？圖 5-11圖 5102 .如圖511, 一個圓周長90厘米，3個點把這個圓周分成三等分，3只爬蟲 a、b、c分別在這3個點上.它們同時出發(fā)，按順時針方向沿著圓周爬行.a 的速度是10厘米/秒出的速度是5厘米/秒（的速度是3厘米/秒，3只爬蟲出 發(fā)后多少時間第一次到達(dá)同一位置？3 .上午8點08分，小明從家里騎自行車出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他， 在離家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭追小 明，再追上他的時候，離家恰好是 8千米.問：這時是幾點幾分？4 .圖512中，甲、乙兩人分別位于周長為400米的正方形水池相鄰的兩個頂 點上，同時開始沿逆時針方向沿池邊行走.甲每分鐘走50米，乙每分鐘走44米，問：甲、乙兩人出發(fā)后幾分鐘才能第一次走在正方形的同一條邊上（不含甲、乙兩人在正方形相鄰