一維搜索方法和區(qū)間消去法原理

1、一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 第三章 一維搜索方法 3.3 一維搜索的試探法 3.1 搜索區(qū)間的確定 3.2 區(qū)間消去法原理 3.4 一維搜索的插值法 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 求解求解最優(yōu)解的過程，稱為最優(yōu)解的過程，稱為( (一維一維 搜索搜索) )，所使用的方法稱為，所使用的方法稱為。 )(Xf 由前由前可知，求某目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值時，迭代過可知，求某目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值時，迭代過 程每一步的格式都是從某一定點程每一步的格式都是從某一定點 出發(fā)，沿著某一使目出發(fā)，沿著某一使目 標(biāo)函數(shù)下降的規(guī)定方向標(biāo)函數(shù)下降的規(guī)定方向 搜索，以找出此方向的極小點搜索，以找出此方向的極小點 。這一過程是各種最優(yōu)

2、化方法的一種。這一過程是各種最優(yōu)化方法的一種。 )(k S )1( k X )(k X 一般一般： 首先確定一個包含函數(shù)極小點的初始區(qū)間，即確定首先確定一個包含函數(shù)極小點的初始區(qū)間，即確定 函數(shù)的搜索區(qū)間，該區(qū)間必須是單峰區(qū)間；函數(shù)的搜索區(qū)間，該區(qū)間必須是單峰區(qū)間； 然后采用縮小區(qū)間或插值逼近的方法得到最優(yōu)步長，然后采用縮小區(qū)間或插值逼近的方法得到最優(yōu)步長， 最終求出該搜索區(qū)間內(nèi)的一維極小點。最終求出該搜索區(qū)間內(nèi)的一維極小點。 3.1 3.1 搜索區(qū)間的確定搜索區(qū)間的確定 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 根據(jù)函數(shù)的變化情況，可將根據(jù)函數(shù)的變化情況，可將分為單峰區(qū)間和多峰區(qū)間。分為單峰區(qū)間和多峰區(qū)

3、間。 所謂所謂，就是在該區(qū)間內(nèi)的函數(shù)變化只有一個峰值，就是在該區(qū)間內(nèi)的函數(shù)變化只有一個峰值， 即函數(shù)的極小值。即函數(shù)的極小值。 即在即在內(nèi)的內(nèi)的的左側(cè)：函數(shù)呈的左側(cè)：函數(shù)呈， 而在而在內(nèi)的極小值點內(nèi)的極小值點X* 的右側(cè)：函數(shù)呈上升趨勢。的右側(cè)：函數(shù)呈上升趨勢。 也就是說，也就是說，的函數(shù)值呈的函數(shù)值呈的變化特征的變化特征。 3.1 3.1 搜索區(qū)間的確定搜索區(qū)間的確定 O f (a) b x* x a 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 目前在一維優(yōu)化搜索中確定單峰區(qū)間常用的方法目前在一維優(yōu)化搜索中確定單峰區(qū)間常用的方法 是進退試算法。是進退試算法。 為：為： 1)1) 按照一定的規(guī)律給出若干試算

4、點，按照一定的規(guī)律給出若干試算點， 2)2) 依次比較各試算點的函數(shù)值的大小，依次比較各試算點的函數(shù)值的大小， 3) 3) 直到找到相鄰三點函數(shù)值按直到找到相鄰三點函數(shù)值按“高高- -低低- -高高” 變化的單峰區(qū)間為止變化的單峰區(qū)間為止 3.1 3.1 搜索區(qū)間的確定搜索區(qū)間的確定 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 進退試算法的進退試算法的如下：如下： (2)將將0及及0+h 代入目標(biāo)函數(shù)代入目標(biāo)函數(shù) f(x) 進行計算并比較大小進行計算并比較大小 (1)給定初始點給定初始點0和初始步長和初始步長h 3.1 3.1 搜索區(qū)間的確定搜索區(qū)間的確定 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 若若 ，則所計算的相

5、鄰三點，則所計算的相鄰三點 的函數(shù)值已具的函數(shù)值已具“高高-低低-高高”特征，這時可確定特征，這時可確定 搜索區(qū)間搜索區(qū)間 (3)若若 ，則表明極小點在試算點，則表明極小點在試算點 的右側(cè)，需做前進試算。的右側(cè)，需做前進試算。 00 ()()ffh 00 ()(3 )fhfh 00 , 3abh 否則，將步長再加倍，并重復(fù)上述運算。否則，將步長再加倍，并重復(fù)上述運算。 3.1 3.1 搜索區(qū)間的確定搜索區(qū)間的確定 在做前進運算時，為加速計算，可將步長在做前進運算時，為加速計算，可將步長h 增加增加2倍，并取計算新點為倍，并取計算新點為0+h+2h=0+3h 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 (4)

6、若若 ，則表明極小點在試算點，則表明極小點在試算點 的左側(cè)，需做后退試算。的左側(cè)，需做后退試算。 在做后退運算時，應(yīng)將步長變?yōu)樵谧龊笸诉\算時，應(yīng)將步長變?yōu)?h ，并從，并從 點出點出 發(fā)，得到后退點為發(fā)，得到后退點為 若若 ，則搜索區(qū)間可取為，則搜索區(qū)間可取為 00 ()()ffh 00 ()()fhf 00 , ahbh 0 0 h 否則，將步長加倍，繼續(xù)后退，重復(fù)上述步否則，將步長加倍，繼續(xù)后退，重復(fù)上述步 驟，直到滿足單峰區(qū)間條件為止。驟，直到滿足單峰區(qū)間條件為止。 3.1 3.1 搜索區(qū)間的確定搜索區(qū)間的確定 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 f(b1)f(a1) f(b1) f(a1)f

7、(b1) a f(a1) 搜索區(qū)間確定之后，采用區(qū)間消去法逐步縮短搜索區(qū)間，搜索區(qū)間確定之后，采用區(qū)間消去法逐步縮短搜索區(qū)間， 找到極小點的數(shù)值近似解。找到極小點的數(shù)值近似解。 假定在搜索區(qū)間內(nèi)假定在搜索區(qū)間內(nèi)a,b 任取兩點任取兩點a1、b1,且且a1f2 f1f2 f1=f2 f(x) f(x) f(x) 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 f(a1) f(b1) f(a1) f(b1) f(a1) f(b1) a1 a1 a1b1 ba a b a b b1 b1 (1)f1f2, 新區(qū)間為新區(qū)間為a1,b; (3)如如f1=f2, 新區(qū)間為新區(qū)間為a1,b1 12 ff 1 , a b 對于

8、上述縮短后的新區(qū)間，可在其內(nèi)再取一個新點，然后對于上述縮短后的新區(qū)間，可在其內(nèi)再取一個新點，然后 將此點和該區(qū)間內(nèi)剩下的那一點進行函數(shù)值大小的比較，將此點和該區(qū)間內(nèi)剩下的那一點進行函數(shù)值大小的比較， 以再次按照上述方法，進一步縮短區(qū)間，這樣不斷進行下以再次按照上述方法，進一步縮短區(qū)間，這樣不斷進行下 去，直到所保留的區(qū)間縮小到給定的誤差范圍內(nèi)，而得到去，直到所保留的區(qū)間縮小到給定的誤差范圍內(nèi)，而得到 近似最優(yōu)解。近似最優(yōu)解。 新區(qū)間為新區(qū)間為 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 111 222 (1)(),( ) (),() aabaff a aabaff a ab a2a1 a2a a1 f(a1

9、) f(a2) f(a2) f(a1) b 一、適用范圍一、適用范圍 適用于適用于a,b區(qū)間上的任何單谷函數(shù)求極小值問題。對區(qū)間上的任何單谷函數(shù)求極小值問題。對 函數(shù)除要求函數(shù)除要求“單谷單谷”外不作其他要求，甚至可以不連外不作其他要求，甚至可以不連 續(xù)。適應(yīng)面相當(dāng)廣?；驹頌閰^(qū)間消去法續(xù)。適應(yīng)面相當(dāng)廣?；驹頌閰^(qū)間消去法 3.3 3.3 黃金分割法黃金分割法 黃金分割法插入兩點：黃金分割法插入兩點： 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 ab 2 1 1 1 a 2 1 3 (1) 2 2 1 51 0.618 2 3.3 3.3 黃金分割法黃金分割法 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 ab 黃金分

10、割法程序框圖黃金分割法程序框圖 開開 始始 輸入輸入a, b, , 1 2 0.382() 0.618() xaba xaba 12 ( )()f xf x 22121 111 , 0.382(),( ) bx xx ff xabaff x 11212 222 , 0.618(),() ax xxff xabaff x * 0.5(),()xabff x 結(jié)結(jié) 束束 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 例例 3-1 用黃金分割法求函數(shù)用黃金分割法求函數(shù)f(x)=3x3-4x+2的極小點，的極小點， 初始點初始點 x0=0, 步長步長h=1,精度精度 =0.2。 解：解： 1）確定初始區(qū)間）確定初始區(qū)

11、間 x1=x0=0, f1=f(x1)=2 x2=x0+h=0+1=1 f2=f(x2)=1 由于由于f1f2, 應(yīng)繼續(xù)向前探測應(yīng)繼續(xù)向前探測 x3= x0+2h=0+2=2 f3=f(x3)=18 由于由于f2f3,可知初始區(qū)間已經(jīng)找到，即可知初始區(qū)間已經(jīng)找到，即 a,b=x1,x3=0,2 3.3 3.3 黃金分割法黃金分割法 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 2）用黃金分割法縮小區(qū)間）用黃金分割法縮小區(qū)間 第一次縮小區(qū)間：第一次縮小區(qū)間： x1=0+0.382(2-0)=0.764, f1=0.282 x2=0+0.618(2-0)=1.236, f2=2.72 由于由于f10.2,應(yīng)繼續(xù)縮

12、小區(qū)間應(yīng)繼續(xù)縮小區(qū)間 3.3 3.3 黃金分割法黃金分割法 第二次縮小區(qū)間：第二次縮小區(qū)間： 令令 x2=x1=0.764, f2=f1=0.282 x1=0+0.382 (1.236-0)=0.472, f1=0.317 由于由于f1f2, 故新區(qū)間故新區(qū)間a,b=x1,b=0.472, 1.236 由于由于 b-a=1.236-0.472=0.7640.2, 應(yīng)繼續(xù)縮小區(qū)間應(yīng)繼續(xù)縮小區(qū)間 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 第三次縮小區(qū)間：第三次縮小區(qū)間： 令令 x1=x2=0.764, f1=f2=0.282 x2=0.472+0.618 (1.236-0.472)=0.944, f2=0.7

13、47 由于由于f10.2, 應(yīng)繼續(xù)縮小區(qū)間。應(yīng)繼續(xù)縮小區(qū)間。 3.3 3.3 黃金分割法黃金分割法 第四次縮小區(qū)間：第四次縮小區(qū)間： 令令 x2=x1=0.764, f2=f1=0.282 x1=0.472+0.382 (0.944-0.472)=0.652, f1=0.223 由于由于f10.2, 應(yīng)繼續(xù)縮小區(qū)間。應(yīng)繼續(xù)縮小區(qū)間。 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 第五次縮小區(qū)間：第五次縮小區(qū)間： 令令 x2=x1=0.652, f2=f1=0.223 x1=0.472+0.382 (0.764-0.472)=0.584, f1=0.262 由于由于f1f2, 故新區(qū)間故新區(qū)間a,b=x1,b=

14、0.584, 0.764 因為因為 b-a=0.764-0.584=0.180.2, 停止迭代。停止迭代。 黃金分割法求的的極小點與極小值：黃金分割法求的的極小點與極小值： x=0.5 (0.584+0.764)=0.674, f(x)=0.222 3.3 3.3 黃金分割法黃金分割法 求導(dǎo)運算求的極小點與極小值：求導(dǎo)運算求的極小點與極小值： x=0.667, f(x)=0.222 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 一、牛頓法一、牛頓法 3.4 3.4 插值方法插值方法 利用一點的函數(shù)值、利用一點的函數(shù)值、 一階導(dǎo)數(shù)以及二階一階導(dǎo)數(shù)以及二階 導(dǎo)數(shù)構(gòu)造二次多項導(dǎo)數(shù)構(gòu)造二次多項 式。用構(gòu)造的二次式。用

15、構(gòu)造的二次 多項式的極小點作多項式的極小點作 為原函數(shù)極小點的為原函數(shù)極小點的 近似。近似。 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 一、牛頓法一、牛頓法 設(shè)設(shè)f(a)為一個連續(xù)可微的函數(shù)，則在點為一個連續(xù)可微的函數(shù)，則在點a0附近附近 進行泰勒展開并保留到二次項：進行泰勒展開并保留到二次項： 2 00000 1 ( )( )()()()()() 2 f aaf afaaafaaa 1 ()0a 用二次函數(shù)用二次函數(shù)(a)的極小點的極小點a1 作為作為f(a)極小點的一個近似極小點的一個近似 點。根據(jù)極值必要條件點。根據(jù)極值必要條件: 3.4 3.4 插值方法插值方法 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 00

16、10 ()()()0fafaaa 即即 0 10 0 () () fa aa fa 依此類推可得牛頓迭代公式：依此類推可得牛頓迭代公式： 1 () () k kk k fa aa fa 一、牛頓法一、牛頓法 3.4 3.4 插值方法插值方法 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 在在a0處用一拋物線處用一拋物線 (a)代替曲線代替曲線f(a)， 相當(dāng)于用一斜直線相當(dāng)于用一斜直線 (a)代替曲線代替曲線f(a) 。這樣各個近似點。這樣各個近似點 是通過對作是通過對作f(a)切切 線求得與軸的交點線求得與軸的交點 找到的，所以，有找到的，所以，有 時，牛頓法又稱作時，牛頓法又稱作 切線法。切線法。 一維搜

17、索方法和區(qū)間消去法原理 1kk aa 牛頓法牛頓法 開開 始始 計算計算 ， * 1k aa 給定初始點給定初始點 ，誤差，誤差 , 令令k=0 0 a ( ),( ) kk ff 計算計算 ， 1 () () k kk k fa aa fa 1kk 結(jié)結(jié) 束束 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 數(shù)值數(shù)值 k 0 1 2 3 4 3 5.1667 4.33474 4.03960 4.00066 -52 153.35183 32.30199 3.38299 0.00551 24 184.33332 109.44586 86.86992 84.04720 5.1667 4.33474 4.03960

18、4.00066 4.00059 2.1667 0.83196 0.29514 0.03894 0.00007 41664 234 xxxxxF k x k x F k x F 給定初始點給定初始點x0=3，=0.001，計算公式：，計算公式： 1 () () k kk k F x xx Fx 122412 2 xxxF函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)： 1612124 23 xxxxF解：解： 函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)：函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)： 3.4 3.4 插值方法插值方法 1k x 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 優(yōu)點：優(yōu)點：1）收斂速度快。）收斂速度快。 缺點：缺點：1）要計算函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)，增加每次

19、）要計算函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)，增加每次 迭代的工作量。迭代的工作量。 2）數(shù)值微分計算函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)，舍入誤差將）數(shù)值微分計算函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)，舍入誤差將 嚴(yán)重影響牛頓法的收斂速度，嚴(yán)重影響牛頓法的收斂速度， f (x)的值越的值越 小問題越嚴(yán)重。小問題越嚴(yán)重。 3）牛頓法要求初始點離極小點不太遠，否則）牛頓法要求初始點離極小點不太遠，否則 可能使極小化序列發(fā)散或收斂到非極小點?？赡苁箻O小化序列發(fā)散或收斂到非極小點。 一、牛頓法一、牛頓法 3.4 3.4 插值方法插值方法 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 二、二次插值法（二、二次插值法（） a1a f(a) 2 a 3 a 1 f f2 3 f a*

20、在給定的單峰區(qū)間中，利用目標(biāo)函數(shù)上的三個點來構(gòu)在給定的單峰區(qū)間中，利用目標(biāo)函數(shù)上的三個點來構(gòu) 造一個二次插值函數(shù)，以近似地表達原目標(biāo)函數(shù)，并造一個二次插值函數(shù)，以近似地表達原目標(biāo)函數(shù)，并 求這個插值函數(shù)的極小點近似作為原目標(biāo)函數(shù)的極小點。求這個插值函數(shù)的極小點近似作為原目標(biāo)函數(shù)的極小點。 ( )f a ap 3.4 3.4 插值方法插值方法 2 ( )=ABCp a B =- 2C p a 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 y 0 a ap1 a1 a2 ap a3 a y 0 a* y1 y2 yp y3 a1 a2 apa* y1 y2 yp yp1 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 apap1

21、a1a2ap a3 a y 0 a* y1 y2 yp y3 a2a3 a y 0 a* y2 yp y3 yp1 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 2 1111 2 2222 2 3333 p()ABC p()ABC p()ABC f f f 構(gòu)造的構(gòu)造的上的三個點上的三個點: : 解得系數(shù)解得系數(shù) 222222 231312123 122331 231312123 122331 ()()() ()()() ()()() ()()() fff B fff C 222222 231312123 231312123 1 ()()() 22 ()()() p Bfff Cfff 二、二次插值法（二、二次插值法（） 3.4 3.4 插值方法插值方法 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 2p yy 二次插值法二次插值法 開開 始始 計算計算 ， * 2 min, p yyy 給定給定 , 123123 a a a y y y , pp y 縮短區(qū)間縮短區(qū)間 名稱置換名稱置換 結(jié)結(jié) 束束 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 a1a2ap a3 a y 0 a* y1 y2 yp y3 a1a2apa3 a 0 a* y y1 y2 yp y3 * 2 min, p yy y 一維搜索方法和區(qū)間消去法原理 二次插值法程序編制換名方法二次插值法程序編制換名方法(1)(1) 1)