三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機動

1、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 第七節(jié)第七節(jié) 一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十一章 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性 簡單的周期運動 :)sin(tAy (諧波函數(shù)) ( A為振幅, 復(fù)雜的周期運動 :)sin( 1 0n n n tnAAy tnAtnA nnnn sincoscossin 令 , 2 0 0 A a ,sin nnn Aa,cos nnn Abxt 得函數(shù)項級數(shù))sincos( 2 1 0 xnbxna a

2、nn k 為角頻率, 為初相 ) (諧波迭加) 稱上述形式的級數(shù)為三角級數(shù). 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 xxnkxnkd)cos()cos( 2 1 定理定理 1. 組成三角級數(shù)的函數(shù)系 ,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx 證證: 1xnxdcos 1xnxdsin0 xnxk coscos )(nk xxnxkdcoscos 0 0dsinsin xxnxk 同理可證 : ),2, 1(n xnkxnk)(cos)(cos 2 1 上在,正交 , ,上的積分等于 0 . 即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在

3、 0dsincos xxnxk )(nk 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 上的積分不等于 0 . , 2d11 x xxn dsin 2 xxn dcos2 ),2, 1(n , 2 2cos1 cos 2 xn xn 2 2cos1 sin 2 xn xn 且有 但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 二、二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 定理定理 2 . 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 且 )sincos( 2 )( 1 0 nxbnxa a xf n

4、n n 右端級數(shù)可逐項積分, 則有 ), 1,0(dcos)( 1 nxnxxfan ),2, 1(dsin)( 1 nxnxxfbn 證證: 由定理條件, 1 0 dsindcosd 2 )( n nn xxnbxxnax a dxxf 0 a ,對在 逐項積分, 得 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 xxk a xxkxfdcos 2 dcos)( 0 1n xxnxkandcoscos xxnxkbndsincos xxkakdcos 2 k a xxkxfakdcos)( 1 ),2, 1(k (利用正交性) ),2, 1(dsin)( 1 kxx

5、kxfbk xxfad)( 1 0 類似地, 用 sin k x 乘 式兩邊, 再逐項積分可得 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù) 稱為 的傅傅里里葉系數(shù)葉系數(shù) ; 1 0 sincos 2 )( n nn xnbxna a xf ), 1,0(dcos)( 1 nxnxxfan 由公式 確定的 nn ba , 以)(xf )(xf ),2, 1(dsin)( 1 nxnxxfbn 的傅里里 的傅傅里里葉級數(shù)葉級數(shù) . 稱為函數(shù) )(xf 傅里葉 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 定理定理3 (收斂定理

6、收斂定理, 展開定理展開定理)設(shè) f (x) 是周期為2的 周期函數(shù), 并滿足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )條件條件: 1) 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點; 2) 在一個周期內(nèi)只有有限個極值點, 則 f (x) 的傅里里葉級數(shù)收斂 , 且有 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a , )(xf , 2 )()( xfxf x 為間斷點 其中 nn ba ,( 證明略證明略 )為 f (x) 的傅里里葉系數(shù) . x 為連續(xù)點 注意注意: 函數(shù)展成 傅里里葉級數(shù)的條 件比展成冪級數(shù) 的條件低得多. 簡介 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交

7、性機 動 例例1. 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在 上的表達式為 ), x x xf 0,1 0,1 )( 解解: 先求傅里里葉系數(shù) xnxxfandcos)( 1 0 0 dcos1 1 dcos) 1( 1 xnxxnx ),2,1,0(0n 將 f (x) 展成傅里里葉級數(shù). o y x 1 1 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 xnxxfbndsin)( 1 0 0 dsin1 1 dsin) 1( 1 xnxxnx 0 cos1 n nx 0 cos1 n nx n n cos1 2 n n ) 1(1 2 , 4 n ,0

8、,5,3,1n當 ,6,4,2n當 xxfsin 4 )( x3sin 3 1 xk k ) 12sin( 12 1 ),2,0,(xx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 ),2,0,(xx 7 7sin x 9 9sin x 1) 根據(jù)收斂定理可知, 時,級數(shù)收斂于 0 2 11 2) 傅氏級數(shù)的部分和逼近 3 3sin sin 4 )( x xxf 5 5sin x o y x 1 1 說明說明: ), 2, 1, 0(kkx當 f (x) 的情況見右圖. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 x o y 例例2. 上

9、的表達式為 ), x xx xf 0,0 0, )( 將 f (x) 展成傅里里葉級數(shù). 解解: xxfad)( 1 0 0 dcos 1 xxnx xnxxfandcos)( 1 0 d 1 xx 0 2 2 1x 2 0 2 cossin1 n nx n nxx 2 cos1 n n 2332 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 ), 2, 1(n xnxxfbndsin)( 1 n n 1 ) 1( ),2,1(k 12 kn kn2, 0 0 dsin 1 xnxx )(xf 4 cos x 2 x

10、sinx2sin 2 1 3sin 3cos xx 2 3 2 3 1 x4sin 4 1 5sin 5cos xx 2 5 2 5 1 2 cos1 n n an , 2 ) 12( 2 k ),2,1,0,) 12(,(kkxx 說明說明: 當) 12(kx時, 級數(shù)收斂于 22 )(0 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 , )(xxf 周期延拓 )(xF 傅里里葉展開 ,)(在xf上的傅里里葉級數(shù) 定義在定義在 , 上的函數(shù)上的函數(shù) f (x)的傅氏級數(shù)展開法的傅氏級數(shù)展開法 ), , )(xxf , )2(kxf其它 機動 目錄 上頁 下頁 返回

11、結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 例例3. 將函數(shù) xx xx xf 0, 0, )( 級數(shù) . o y x 則 xxFad)( 1 0 xxfd)( 1 0 d 2 xx 0 2 2 2 x xnxxFandcos)( 1 xnxxfdcos)( 1 0 dcos 2 xnxx 0 2 cossin2 n nx n nxx 解解: 將 f (x)延拓成以 展成傅里里葉 2為周期的函數(shù) F(x) , 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 x3cos 3 1 2 n a)1cos( 2 2 n n 12 kn kn2,0 ),2,1(k , 2 ) 12

12、( 4 k xnxxFbndsin)( 1 xnxxfdsin)( 1 0 )(xf 2 4 xcos x5cos 5 1 2 )(x 利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和. 當 x = 0 時, f (0) = 0 , 得 222 2 ) 12( 1 5 1 3 1 1 8n 說明說明: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 4 2 , 4 21 3 1 2 24 2 設(shè), 4 1 3 1 2 1 1 222 222 1 7 1 5 1 3 1 1 , 6 1 4 1 2 1 222 2 已知 8 2 1 222 3 4 1 3 1 2 1 1 又 21 21

13、3 6248 222 12248 222 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 1. 周期為2 的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù) 定理定理4 . 對周期為 2 的奇函數(shù) f (x) , 其傅里里葉級數(shù)為 周期為2的偶函數(shù) f (x) , 其傅里里葉級數(shù)為余弦級數(shù) , ),2,1,0( dcos)( 2 0 nxnxxfan ),3,2,1( 0nbn ),2,1,0( 0nan 0 ),3,2,1(dsin)( 2 nxnxxfbn 它的傅里里葉系數(shù)為 正弦級數(shù),它的傅里里葉系數(shù)為 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角

14、級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 例例4. 設(shè) 的表達式為 f (x)x , 將 f (x) 展成傅里里葉級數(shù). 是周期為2 的周期函數(shù),它在上), )(xf 解解: 若不計),2, 1,0() 12(kkx 是則)(xf 周期為 2 的奇函數(shù), y xo 0 dsin)( 2 xnxxfbn ),2,1,0(0nan ),3,2,1(n 0 dsin 2 xnxx 因此 0 2 sincos2 n nx n nxx n n cos 2 1 ) 1( 2 n n 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 n1 根據(jù)收斂定理可得 f (x) 的正弦級數(shù): )(xf ,

15、(x )3sin 3 1 2sin 2 1 (sin2xxx 1 2 n nx n n sin ) 1( 1 ),1,0,) 12(kkx y x o 級數(shù)的部分和 n2n3n4 上在), 逼近 f (x) 的情況見右圖. n5 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 例例5. 將周期函數(shù)tEtusin)(展成傅里里葉級數(shù), 其 中E 為正常數(shù) . 解解:)(tu 2 y xo 2 ; ),2,1(0nbn 0 a 0 dsin 2 ttE E4 ttntuan 0 dcos)( 2 tt ntE 0 dcossin 2 0 d) 1sin() 1sin(ttn

16、tn E 是周期為2 的 周期偶函數(shù) , 因此 0 d)( 2 ttu 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 t 2cos 3 1 0 d) 1sin() 1sin(ttntn E an kn2 12, 0 kn ),2,1(k 1 a0 )(tu )(t , ) 14( 4 2 k E 0 d2sintt E 2 1 t 4cos 15 1 t 6cos 35 1 E2 E4 xk k E k 2cos 14 14 1 2 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 2. 在0,上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù) ,0),(xxf )

17、(xF 周期延拓 F (x) )(xF f (x) 在 0 , 上展成 周期延拓 F (x) 余弦級數(shù) 奇延拓偶延拓 xo y 正弦級數(shù) f (x) 在 0 , 上展成 x o y , 0(),(xxf 0, 0 x )0,(),(xxf ,0(),(xxf )0,(),(xxf 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 1 x y o 例例6. 將函數(shù))0(1)(xxxf分別展成正弦級 數(shù)與余弦級數(shù) . 解解: 先求正弦級數(shù). 去掉端點, 將 f (x) 作奇周期延拓, 0 dsin)(xnxxf 2 n b 0 dsin) 1( 2 xnxx 0 2 coss

18、incos2 n nx n nx n nxx nn n coscos1 2 12 kn kn2 ),2, 1(k , 12 22 k 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , 1 k 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 n b 12, 12 22 kn k kn k 2, 1 ),2, 1(k 2 1x xsin)2(x2sin 2 x3sin 3 2 x4sin 4 )0( x 注意注意: 在端點 x = 0, , 級數(shù)的和為0 , 與給定函數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 x y o 因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 再求余弦級數(shù)

19、. x 1 y 將)(xf則有 o 0 a 0 d) 1( 2 xx n a 0 dcos) 1( 2 xnxx 0 2 2 2 x x 2 0 2 sincossin2 n nx n nx n nxx 1cos 2 2 n n 12, ) 12( 4 2 kn k kn2,0 ),2, 1(k 作偶周期延拓 , 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 1 2 1 x xcosx3cos 3 1 2 )0( x x5cos 5 1 2 說明說明: 令 x = 0 可得 8 5 1 3 1 1 2 22 8) 12( 1 2 1 2 n k 即 4 1 2 1 2

20、 ) 12( 14 k k xk) 12cos( 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 y o x 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 周期為 2 的函數(shù)的傅里里葉級數(shù)及收斂定理 )sincos( 2 )( 1 0 xnbxna a xf nn n )(間斷點x 其中 xxnxfandcos)( 1 xxnxfbndsin)( 1 ),2, 1 ,0(n ),2, 1(n 注意注意: 若 0 x為間斷點,則級數(shù)收斂于 2 )()( 00 xfxf 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 2. 周期為 2 的奇、偶函數(shù)的傅里里葉級數(shù) 奇函

21、數(shù)正弦級數(shù) 偶函數(shù)余弦級數(shù) 3. 在 0 , 上函數(shù)的傅里里葉展開法 作奇周期延拓 , 展開為正弦級數(shù) 作偶周期延拓 , 展開為余弦級數(shù) 1. 在 0 , 上的函數(shù)的傅里里葉展開法唯一嗎 ? 答答: 不唯一 , 延拓方式不同級數(shù)就不同 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 處收斂于 2. )(xf 0 x,1 x0,1 2 x 則它的傅里里葉級數(shù)在x 在4x處收斂于 . 提示提示: 2 )()(ff 2 )( f)( f 2 2 2 2 )4()4(ff 2 )0()0( ff 2 11 0 2 設(shè)周期函數(shù)在一個周期內(nèi)的表達式為 機動

22、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , x y o 1 1 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 0 x 3. 設(shè),0,)( 2 xxxxf又設(shè))(xS 求當 )()2,(xSx時的表達式 . 解解: 由題設(shè)可知應(yīng)對 )(xf作奇延拓: )(xF xxx0, 2 0 x,0 0 x , 2 xx ,),(上在; )()(xFxS由周期性:,)2,(上在 )2()(xSxS)0,(2x 2 )2()2(xx 22 23xx 2 在是)(xf 2), 0(內(nèi)以為周期的正弦級數(shù)展開式的和函數(shù), 定義域 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機 動 4. 寫出函數(shù))(xf 0, 1x x0, 1 上在, 傅氏級數(shù)的和函數(shù) . )(xS 0, 1x x