江西穩(wěn)派大聯(lián)考數(shù)學(xué)理科卷

1、江西穩(wěn)派大聯(lián)考數(shù)學(xué)理科卷 第i卷（選擇題共50分）、選擇題（本大題共 10小題，每小題 5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。)1.已知i是虛數(shù)單位,a 1已,(2i1)z, b10. 5a. 2i+1 b.2i - 1 c. i 一331.b 由 a b b ,知(2i 1)z 5,所以 z2,5，且 a bd.10.i 355(2i1)22i1(2i)12i 1,所以z2i2.已知向量 a (1,2 x), b = (2x,3）,則向量a與b共線的一個(gè)充分不必要條件是（1.)a.x= 1 b.x= 1或 0 c. |a|2d. b (1,3)2 .d 由 a/

2、b 3 (2 x)(2 x) 0 x ab,但反之不成立，故選 d.3 .已知函數(shù) f (x). x2 2x 1lg(3 x)a.1,3)b.1,3c.-1,1) d.(x2 2x 04 .a依題意得 3 x 1,0x23x01,當(dāng) x=-1 時(shí)，a 1,3 , b (1,3),故此時(shí)，則函數(shù)f（x-1）的定義域?yàn)椋?1u(1,3),故在f（x-1）中，令0 x 12，解得1x3.4.在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)a,點(diǎn)a在第二象限，且點(diǎn)a的橫1坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之比為-,則cos2sin 2的值為（）2a. 8b.0 c.1 d.3552 2cos 2sin cos 1 2

3、tan4 .c 由題息可知 tan 2,所以 cos sin 222 2- 1cos sin1 tan2222225 .若圓 g： x2 y2 2ax a2 9 0（a r）與圓 c2：x y 2by b 1 0（b r）內(nèi) 切，則a b的最大值為（）a. 2 2 b. 4 c. 4.2 d.85.a 圓g的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x a）2 y2 9 ,圓c2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 （y b）2 1,因?yàn)閮蓤A內(nèi)切，所以&2b22,所以a-ba-b-j2,當(dāng)且僅當(dāng)a bj2時(shí)等號(hào)成2,2立，即a+b的最大值為2 j2x 2 06.已知實(shí)數(shù)a的值由如圖程序框圖算出，設(shè) x,y滿足約束條件 y 1 0 ，則x 2y

4、 2 0z ja的最小值是（）a. 13b.-1c.d.6.b第1次循環(huán)，k2,a8;第 2次循環(huán)，k 4, a=-8+4=-4;第 3 次循環(huán)，k 6,a=-4+6=2,k6過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)此時(shí)滿足條件則輸出，故a=2,即目標(biāo)函數(shù)為z -y2 ,其幾何意義是點(diǎn)x 1p(x,y)與定點(diǎn)m(-1,2)的直線的斜率值，平面區(qū)域的三個(gè)頂點(diǎn)分別為a(2,0),b(0,1),c(2,1),易求得直線ma,mb,mc的斜率分別為| ,-1,1 _ _ ,-,其中最小的為3-1,故z-a的最小值是-1.x 11 q的極值點(diǎn)，且7.等差數(shù)列an中的a2,a2014是函數(shù)f(x) -x 3xax(a為常數(shù))3a.

5、aw09 0 ,則使an的前n項(xiàng)和sn取得最大值的門為()a.1008b.1009c.1008,1009d.2014a2a2014= 2a1008 =6a10087 .a 因?yàn)閒 (x) x2 6x a,而a2,a2014為f(x)的極值點(diǎn)，所以30 ,由aioo83 0090知aioo90 ,故 為數(shù)列an的最后一個(gè)正數(shù)項(xiàng)，所以&的最大值為s1008.8 . 一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為(主(正)視圖俯視圖2a.4+ 一b. .4+c. .4+238.b顯然由三視圖我們易知該幾何體下面是一個(gè)長(zhǎng)、 一個(gè)圓柱體斜截所得的半個(gè)圓柱體，其底面圓半徑為12v 2 2 1 -12 2

6、4.2d.以上都不對(duì)寬、高分別為2,2,1的長(zhǎng)方體，上面為1,圓柱高為2,故所求幾何體體積為9 .拋物線有光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線折射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出.現(xiàn)已知拋物線y2 2px(p 0)的焦點(diǎn)為f ,過(guò)拋物線上點(diǎn)p(x0,%)的切線為l ,過(guò)p 點(diǎn)作平行于x軸的直線m,過(guò)焦點(diǎn)f作平行于l的直線交m于m ,則| pm |的長(zhǎng)為()10 1 b. pc. g x0d. p xo22pfmpmf ,所以9.c如圖所示，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知：12,又1ppfm pmf ,貝j pf pm ,所以 pm pf - x0 .10.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有棱長(zhǎng)為1的正方體

7、abcd ab1cld1 ,點(diǎn)m是線段dci上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè) m(0,x,x)，點(diǎn)m到直線ad1距離為d,則d關(guān)于x的函數(shù)d=f(x)的圖像大致為 ( )a.0x10. ac由題意，設(shè)m(0, x,x) (0d1),uuuuad1 ( 1,0,1),直線ad1的一個(gè)單位方向向r量s0uuuurmd1(0,x,1x),故點(diǎn)m到直線adi的距離.uuuur, 2md1uuuir rmd1gso2311-x233,1在 6,1)上為增函數(shù)，對(duì)照各選項(xiàng),若甲5次獲得紅包金額的均值為11.3.4甲、乙二人12.已知(x2 6x12.81( x2 6x所以n 2,令x，所以x1 x2乙12 50x2 =13,

8、2 n216x ,乙5次獲得紅包金額的均值為x2，則x15次獲得的紅包金額的均值分別為1 2 12 20 309)n的展開(kāi)式中的所有系數(shù)的和為16,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為9)n ( 1)n(x 3)2n，令x 1可得，展開(kāi)式中的所有系數(shù)之和為0可得，(1)2(x 3)4的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為3 4 81 .3.4.1 ，一 一由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)d=f(x)在(0,1)上為減函數(shù),3只有a符合.第ii卷二、填空題：本大題共 5小題，每小題25分.11.在2014年1月8日是傳統(tǒng)的臘八節(jié)，大家開(kāi)始購(gòu)買年貨，某淘寶網(wǎng)店趁勢(shì)推出了 “搶紅包” 的促銷活動(dòng)，已知每人有5次搶紅包機(jī)會(huì)，每次可得到1至3

9、0元不等的紅包.甲、乙二人在這5次搶紅包活動(dòng)中獲得的紅包金額的莖葉圖如圖所示：m ,則f(x)在區(qū)間2x2 3 , x g(x)= 一 tan2 f(x)min 2014,由奇第12題比第11題簡(jiǎn)單，建議更換位置2x2 3 x _一 一13.若f(x)= tan- 2014在區(qū)間一,一上的最大值為x 22 23,3上的最小值為 (用含m的代數(shù)式表示)2r2x 3 1 x x ,一 一 一，13.4028m 易判斷y 與y tan-均為奇函數(shù)，所以函數(shù)x2為奇函數(shù)，所以 g(x)max f (x)max 2014 m 2014, g(x)min函數(shù)的性質(zhì)可知g(x)max g(x)min m 2

10、014 f(x)min 2014 0,所以 f(x)min 4028 m14.若 f (n)表示 n2-1 (ncn的各位數(shù)字之和，如 152-1=224, 2+2+4=8 , f (15) =8,記 fi (n) =f ( n), f2 (n) =ff 1 (n),，fk+1 (n) =ff k (n) , k nx,則 f1(5)f2(5) f3(5) l %(5) 14.847 52-1=24,f1f (5)2 4 6,62 1 35,. f?(5)f (6)3 5 8,一 2一-一一-2一-一一一8163,/. f3(5)f(8)639,91 80,，f,(5) f (9) 8 0 8

11、,82163,，f5(5)f(8)639,，由此可得當(dāng)k 2時(shí)，若k為奇數(shù)，則fk(5)9,若 k 為偶數(shù)，則 fk(5) 8,故 f(5) f2(5) f3(5) l %。 6 8 50 9 49 847. 15.(理)選做題：請(qǐng)?jiān)谙铝袃深}中任選一題作答，若兩題都做按其中一題評(píng)閱計(jì)分。本題共5分。x t 1(1)已知直線l的參數(shù)方程為l (其中t為參數(shù))，曲線c的極坐標(biāo)方程為2cos .y 、3t則直線l與曲線c的交點(diǎn)的極徑(取正值)為 .15 .(1) 1, j3 曲線c的極坐標(biāo)方程化可化為2 2 cos ,化為普通方程為x2 y2 2x,即(x 1)2 y2 1,直線l的普通方程為y j

12、3(x 1)，聯(lián)立直線與圓的方程可求得交點(diǎn)為(工，叵),(3 y3),易求得這兩點(diǎn)的極徑分別為1, b222 2(2)若存在實(shí)數(shù)x,使不等式|2x 1| |2x 3| a 0(a z)成立，則a的最小值為 215. (2) -2 令 f(x)=a f ( x)min ,而 f(x)3|2x 1| |2x -|,不等式 |2x 1|53,x ,221314x -, 一 x 一，故 f(x) min=22251一,x ,223|2x - | -a 0 有解255一一,即a,又a z ,所22以a的最小值為一2.三.解答題：本大題共 6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16 .

13、(本題?黃分12分)在 abc中，a,b,c分別為角a、b、c的對(duì)邊，且2 b c冗 冗10sin 5sin(2014 a) 12 , - a -242.(1)求cos a的值； uuu uuu(2)若a 8,b 5,求向量ba在bc方向上的射影.16.解：(1)因?yàn)?a+b+c=, 2 b c2 a2 a所以 10sin - 5sin(2014 a) = 10sin ( ) 5sin a 10cos 5sin a1 cos a.10 5sina 5cos a 5sin a 5 12 , (2 分)2即 cos a sin a 72sin( a )-,所以 sin(a )45410因?yàn)?a ，

14、且sin(a -) 乙正, 42410匕l(fā) i、冗tt 3 7t/ “ tt. 22.所以a _, cos(a ).(4 分)244410因?yàn)?cos a cos( a,2 .2 7.210 210冗 冗冗冗一) cos(a -)cos 一4444.2 33.所以 cos a .255冗冗sin( a )sin 44(6分)4（2）由（1）可得sin a -.由正弦定理得sin b5bsina 1 -,因?yàn)?ba,所以 ba ,a 22所以b=1, (8分) oo oo o o3根據(jù)余弦th理，有 a b c 2bc cos a ,即 85 c 2 5c ,5解得c=3 4j3,或c=3- 4

15、(舍去).(10分)uuu uuuuuu3j33j312所以向量ba在bc方向上的射影為bacos b 3 40.(12分)2217.（本小題滿分12分）已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,公比為q,若q（s6 . 1，且10是a2,a4的等差中s9 s64項(xiàng).求an的通項(xiàng)公式；n一一一 .* 數(shù)列bn滿足bn一，記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為tn,若對(duì)于彳j意的n n ，恒有ann 1 2nt2n ( 1) t -n,試求t的取值范圍.4 ,q(s6 s3) 1 q(a4 a5 a6)1 _ 117.解:由 小6- -可得 5 - ,gp s9 s64a7 a8 a94 q故 q=2.由10是a2

16、,a4的等差中項(xiàng)可得 a2 a4 20 ,即2al 8ala12, ，an的通項(xiàng)公式為an 2n1一，又?jǐn)?shù)列an為正項(xiàng)等比數(shù)歹u,420,（6分）由得，bn 4, 2ntn122 322tn21_3123(nl (n1)2n1)2n 1兩式相減得2n 1tn11111 n 2 l n 1 2222 232n22n 22n 2 八tn 2 ,t2n 2 n.(9 分)2n4nn1 2nn 12八t2n ( 1) t t ( 1) t 2 廣，(10 分) 44158 ；一 2 ,一，、215 1-若n為偶數(shù)，則t 2 二恒成立，t 2 -22 15,即t 4n42822 3若n為奇數(shù)，則t 2二

17、恒成立，t 2 . 3,44 21583 八-.(12 分)218.（本小題滿分12分）2013年11月27日，國(guó)家假日辦公布了 2014年假期的三套方案.為了了 解老師對(duì)假期的看法，某中學(xué)對(duì)全校300名教師進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查（每人選擇其中的一項(xiàng)，得到 如下數(shù)據(jù)：所持態(tài)度售歡力某a售歡方某b售歡方某c二種方家都小售歡人數(shù)（單位:人）609012030（1）若從這300人中按照分層抽樣的方法隨機(jī)抽取10人進(jìn)行座談，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取3人探討學(xué)校假期的安排，求這3人中喜歡方案 a與b的人數(shù)之和恰好為 2人的概率；（2）若（1）所抽取的10人,對(duì)學(xué)生的寒假放假時(shí)間（15天或20天,每人選擇其中的一項(xiàng)

18、）進(jìn)行投票， 規(guī)定:若這10人中有7人或7人以上都支持其中的一項(xiàng)，則規(guī)定寒假放假的天數(shù)為對(duì)應(yīng)的投票天數(shù)，若這兩種情況的投票數(shù)都達(dá)不到7票，則規(guī)定放假25天，求該校寒假放假天數(shù)的分布列與期望值（精確到整數(shù)天）.18 .解:（1）根據(jù)分層抽樣可知，這10人中，“喜歡方案a”，“喜歡方案b”，“喜歡方案c，“三 種方案都不喜歡”的人數(shù)分別為：2,3,4,1.設(shè)“這3人中喜歡方案a與b的人數(shù)之和恰好為2人”為事件m,從10人中任選3人選法共有c130種淇中事件m包含的#況有：cc|c5c2c3c12015c2c3c5 ,則 p(m)0 2 11 c 2 0 1 ;c2 c3 c5c2c3c5c2 c3

19、 c5512(6分)（n ）設(shè)該校放假天數(shù)為x,則x的可能取值為15,20,25.且c17)c80)c190 c1017611p(x 15)10，210246478c10c1_9_100 cio cio17611p( x 20)10一. ,21010246411114221p(x 25) 1 -,6464 64 32所以,x的分布列為c1305x152025p111121646432e(x) u 111121152025 -64643222(天).(12 分)則x的期望值為19 .（本小題滿分12分）已知直角梯形 abcd的下底與等腰直角三角形 abe的斜邊重合，ab bc且ab=2cd=2b

20、c（如圖1）,將此圖形沿 ab折疊成直二面角，連結(jié) ec、ed,得到四棱錐e-abcd （如圖2）.圖2（1）線段ea上是否存在點(diǎn)f ,使ec平面fbd ?若存在，求出 空；若不存在，說(shuō)fa明理由.（2）在（1）的條件下，求平面 abe與平面fbd的夾角的余弦值.19.解：（1）假設(shè)存在點(diǎn) f,使ec平面fbd,連結(jié)ac交bd于點(diǎn)g,貝u由ec平面fbd,得ecfg,ef cg 八所以.（3分）fa ga因?yàn)閍b/cd,所以cgcd1 ,所以ef1.（5分）gaab2 fa2ef 1即存在點(diǎn)f,使ec/平面fbd 此時(shí) ，（6分） fa 2（2）過(guò)點(diǎn)e作eo ab于點(diǎn)o,因?yàn)槠矫?abe 平面

21、abcd ,平面abe i平面abcd ab ,且 eo ab ,所以eo 平面abcd,所以eo od .由ob,od,oe兩兩互相垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o xyz . （7分）12f( 一,。, 一).33因?yàn)槿切蝒ab為等腰直角三角形，所以 oa ob od oe ,設(shè)ob 1,則 o(0,0,0), a( 1,0,0), b(1,0,0), c(1,1,0),d(0,1,0), e(0,0,1),uur所以ec (1,1, 1),平面abe的一個(gè)法向量為od (0,1,0). uuur uur設(shè)平面fbd的一個(gè)法向量為n (x,y,z)un bd,n bf ,uuiruu

22、r 42又 bd ( 1,1,0),bf ( 4,0,2), 33uurn bd x y 0,所以 uur 42 ，令 x=3,得 n (3,3,6) , (10 分)n bf x z 0.33uuur一uuur ngod 0 3 1 3 0 66所以 cos n,odutu|n|od|32 32 6 266即平面abe與平面fbd的夾角的余弦值為(12 分)20.（本小題滿分13分）e也，橢圓上的點(diǎn)p與兩個(gè)焦222已知橢圓c：與 4 1（a b 0）的離心率為 a b點(diǎn)fi,f2構(gòu)成的三角形的最大面積為1.（1）求橢圓c的方程；（2）若點(diǎn)q為直線x+y-2=0上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) q作橢圓c的

23、兩條切線 qd、qe（切點(diǎn)分 別為d、e）,試證明動(dòng)直線 de恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1）當(dāng)點(diǎn)p為短軸的端點(diǎn)時(shí)，pf1f2的面積最大，于是有c 2a萬(wàn)a2 b2 c2,解彳# a2 2,b2 c2 1,12cbi22所以橢圓c的方程為y2 1 . （4分）2(2)設(shè) d(x1,y1),e(x2,y2), p(xo, yo)又設(shè)切線qd的方程為：y-y 1=k(x-x 1),y y k(x %)2、2 由 c c得(1 2k )x 4k(kx1x2 2y2 2從而16k2 x1 ky1 2 4(1 2k2)(2k2x2分)因此qd的方程為y-y 1-x(x x1),2y1整理得 2

24、yly x1x x12 2y2 , 2又點(diǎn)d（x1,y1）在y21上，所以x；2 y222 2-2y1)x 2k x1 2yi 4kxy1 2 0 ,2y2 4kx1yl 2) 0,解得 k , (62y2,所以qd勺方程為 xx 2y1y 2 0,同理qe的方程為x2x 2 y2 y 2 0,( 8分)又q x0, y0在qd qe上，所以x1x02 y1 y020 ,x2x02 y2 y0200,1, 1.2所以直線de的方程為x0x 2yoy 2 0 .（10分）又點(diǎn)q %,丫0在直線x+y-2=0上，所以y 2 x0,代入得 xx 2(2 x0)y 2 0,即(x 2y)x0 2(2y

25、 1) 0,x 2y令 y2y 11即直線de恒過(guò)一定點(diǎn)，且該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（1, 1）.（13分）21.(本小題滿分14分)12已知函數(shù)f(x) ax ln x 2若曲線yf(x)在 x1處的切線與直線x 2y 0垂直，求2a 1a q5 ln(x 1) f(x 1)dx的值;1(2)若函數(shù)f (x)在(，e)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍en 21n(n1)都成立.(3)證明：對(duì)任意的正整數(shù) n ,不等式4 9 16 l()249n21.解:(1) f (x)的定義域?yàn)?0,)12_1由 f (x) - ax ln x ,可得 f (x) ax 一 , 2x根據(jù)條件可得f(1) a 1 2,12.j (x 1)2dx2一一一，一一一y 1(y 0)與直線x=1,x=2 , x軸所圍成的圖形的2a 1a . 2 ln(x 1) f(x 1)dxq 1 j1 (x12dx表示半圓(x 1)2面積,3(x_t)2dx 1 ，即 a j2 ln(x 1) f (x 1)dx 看 .(4 分)1 2一一 . .1ax2 1(2)由 f(x) -axln x可彳導(dǎo) f (x