天一專升本高數(shù)知識點

1、天一專升本高數(shù)知識點 第一講 函數(shù)、極限、連續(xù)1、基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像，尤其是圖像包含了函數(shù)的所有信息。2、函數(shù)的性質(zhì)，奇偶性、有界性 奇函數(shù)：，圖像關于原點對稱。 偶函數(shù)：，圖像關于y軸對稱3、無窮小量、無窮大量、階的比較 設是自變量同一變化過程中的兩個無窮小量，則 （1）若，則是比高階的無窮小量。（2）若（不為0），則與是同階無窮小量 特別地，若，則與是等價無窮小量（3）若，則與是低階無窮小量 記憶方法：看誰趨向于0的速度快，誰就趨向于0的本領高。4、兩個重要極限 （1） 使用方法：拼湊 ，一定保證拼湊sin后面和分母保持一致 （2） 使用方法1后面一定是一個無窮小量并且和指數(shù)

2、互為倒數(shù)，不滿足條件得拼湊。5、 的最高次冪是n,的最高次冪是m.,只比較最高次冪，誰的次冪高，誰的頭大，趨向于無窮大的速度快。,以相同的比例趨向于無窮大；，分母以更快的速度趨向于無窮大；，分子以更快的速度趨向于無窮大。7、左右極限 左極限：右極限：注：此條件主要應用在分段函數(shù)分段點處的極限求解。8、連續(xù)、間斷 連續(xù)的定義： 或 間斷：使得連續(xù)定義無法成立的三種情況 記憶方法：1、右邊不存在 2、左邊不存在 3、左右都存在，但不相等9、間斷點類型 （1）、第二類間斷點：、至少有一個不存在 （2）、第一類間斷點：、都存在 注：在應用時，先判斷是不是“第二類間斷點”，左右只要有一個不存在，就是“第

3、二類”然后再判斷是不是第一類間斷點；左右相等是“可去”，左右不等是“跳躍”10、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1） 最值定理：如果在上連續(xù)，則在上必有最大值最小值。（2） 零點定理：如果在上連續(xù)，且，則在內(nèi)至少存在一點，使得 第三講 中值定理及導數(shù)的應用1、 羅爾定理如果函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導；（3），則在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使得b記憶方法：腦海里記著一幅圖：2、 拉格朗日定理如果滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù) （2）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導； 則在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使得腦海里記著一幅圖： （*）推論1 ：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可

4、導，且，那么在內(nèi)=C恒為常數(shù)。 記憶方法：只有常量函數(shù)在每一點的切線斜率都為0。（*）推論2：如果在上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，且，那么 記憶方法：兩條曲線在每一點切線斜率都相等3、 駐點 滿足的點，稱為函數(shù)的駐點。幾何意義：切線斜率為0的點，過此點切線為水平線4、極值的概念設在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)的任一點x,有，則稱為函數(shù)的極大值，稱為極大值點。設在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)的任一點x,有，則稱為函數(shù)的極小值，稱為極小值點。記憶方法：在圖像上，波峰的頂點為極大值，波谷的谷底為極小值。5、 拐點的概念連續(xù)曲線上，凸的曲線弧與凹的曲線弧的分界點，稱為曲線的拐點。注在原點即是

5、拐點6、 單調(diào)性的判定定理設在內(nèi)可導，如果，則在內(nèi)單調(diào)增加；如果，則在內(nèi)單調(diào)減少。 記憶方法：在圖像上凡是和右手向上趨勢吻合的，是單調(diào)增加，；在圖像上凡是和左手向上趨勢吻合的，是單調(diào)減少，；7、 取得極值的必要條件可導函數(shù)在點處取得極值的必要條件是8、 取得極值的充分條件第一充分條件：設在點的某空心鄰域內(nèi)可導，且在處連續(xù)，則（1） 如果時，; ,那么在處取得極大值；（2） 如果時，；，那么在處取得極小值；（3） 如果在點的兩側，同號，那么在處沒有取得極值； 記憶方法：在腦海里只需記三副圖，波峰的頂點為極大值，波谷的谷底為極小值。第二充分條件：設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)具有一階、二階導數(shù)，且，則 （1

6、）如果，那么在處取得極大值； （2）如果，那么在處取得極小值9、 凹凸性的判定設函數(shù)在內(nèi)具有二階導數(shù)，（1）如果，那么曲線在內(nèi)凹的；（2）如果，那么在內(nèi)凸的。圖像表現(xiàn)：凹的表現(xiàn) 凸的表現(xiàn)10、 漸近線的概念曲線在伸向無窮遠處時，能夠逐步逼近的直線，稱為曲線的漸近線。（1） 水平漸近線：若,則有水平漸近線 (2) 垂直漸近線：若存在點，則有垂直漸近線 （2） 求斜漸近線：若，則為其斜漸近線。11、 洛必達法則遇到“” 、“”，就分子分母分別求導，直至求出極限。如果遇到冪指函數(shù)，需用把函數(shù)變成“” 、“”。第二講 導數(shù)與微分 1、 導數(shù)的定義（1）、（2）、（3）、注：使用時務必保證后面和分母保持

7、一致，不一致就拼湊。2、 導數(shù)幾何意義：在處切線斜率法線表示垂直于切線，法線斜率與乘積為13、 導數(shù)的公式，記憶的時候不僅要從左到右記憶，還要從右到左記憶。4、 求導方法總結（1）、導數(shù)的四則運算法則（2）、復合函數(shù)求導： 是由與復合而成，則 （3）、隱函數(shù)求導 對于，遇到y(tǒng)，把y當成中間變量u，然后利用復合函數(shù)求導方法。（4）、參數(shù)方程求導 設確定一可導函數(shù)，則 (5) 、對數(shù)求導法 先對等號兩邊取對數(shù)，再對等號兩邊分別求導（6）、冪指函數(shù)求導 冪指函數(shù)，利用公式 然后利用復合函數(shù)求導方法對指數(shù)單獨求導即可。 第二種方法可使用對數(shù)求導法，先對等號兩邊取對數(shù)，再對等號兩邊分別求導注：優(yōu)選選擇第

8、二種方法。5、 高階導數(shù)對函數(shù)多次求導，直至求出。6、 微分 記憶方法：微分公式本質(zhì)上就是求導公式，后面加，不需要單獨記憶。7、 可微、可導、連續(xù)之間的關系可微可導可導連續(xù)，但連續(xù)不一定可導8、 可導與連續(xù)的區(qū)別。腦海里記憶兩幅圖（1） （2）在x=0既連續(xù)又可導。 在x=0只連續(xù)但不可導。所以可導比連續(xù)的要求更高。 第四講 不定積分一、 原函數(shù)與不定積分1、 原函數(shù)：若，則為的一個原函數(shù)；2、 不定積分：的所有原函數(shù)+C叫做的不定積分，記作二、 不定積分公式記憶方法：求導公式反著記就是不定積分公式三、不定積分的重要性質(zhì)1、2、注：求導與求不定積分互為逆運算。四、 積分方法1、 基本積分公式2

9、、 第一換元積分法（湊微分法）把求導公式反著看就是湊微分的方法，所以不需要單獨記憶。3、 第二換元積分法三角代換三角代換主要使用兩個三角公式：4、 分部積分法 第五講 定積分1、定積分定義 如果在上連續(xù)，則在上一定可積。理解：既然在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在閉區(qū)間上形成的就是一個封閉的曲邊梯形，面積存在所以一定可積，因為面積是常數(shù)，所以定積分如果可積也是常數(shù)。2、定積分的幾何意義（1） 如果在上連續(xù)，且，則表示由，x軸所圍成的曲邊梯形的面積。S=。（2） 如果在上連續(xù)，且， S=。3、定積分的性質(zhì)： （1） （2）=（3）（4）（5）如果，則（6）設m,M分別是在的min, max,則 M m 記憶

10、：小長方形面積曲邊梯形面積大長方形面積（7）積分中值定理 如果在上連續(xù)，則至少存在一點，使得 記憶：總可以找到一個適當?shù)奈恢茫淹钩鰜淼牟糠智邢?，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲邊梯形變成一個長方形。 稱為在上的平均值。4、 積分的計算（1）、變上限的定積分注：由此可看出來是的一個原函數(shù)。而且變上限的定積分的自變量只有一個是而不是t（2）、牛頓萊布尼茲公式 設在上連續(xù)，是的一個原函數(shù)，則 由牛頓公式可以看出，求定積分，本質(zhì)上就是求不定積分，只不過又多出一步代入積分上下限，所以求定積分也有四種方法。5、 奇函數(shù)、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分（1）、若在上為奇函數(shù)，則 （2）、若在上為偶函數(shù)，則注：

11、此方法只適用于對稱區(qū)間上的定積分。6、 廣義積分（1） 無窮積分 7、 定積分關于面積計算 面積，記憶：面積等于上函數(shù)減去下函數(shù)在邊界上的定積分。 d c 面積S= 記憶方法：把頭向右旋轉(zhuǎn)90就是第一副圖。8、 旋轉(zhuǎn)體體積（1） y a b x曲線繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積 ： （2）、 a b 陰影部分繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積： （3）、 y d c x繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積 ： (4)、 y d c x 陰影部分繞繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積: （二）、直線與平面的相關考試內(nèi)容一、 二元函數(shù)的極限定義：設函數(shù)在點某鄰域有定義（但點可以除外），如果當點無論沿著任何途徑趨向于時，都無

12、限接近于唯一確定的常數(shù)A，則稱當點趨向于時，以A為極限，記為 二、 二元函數(shù)的連續(xù)性 若，則稱在點連續(xù)。注：的不連續(xù)點叫函數(shù)的間斷點，二元函數(shù)的間斷點可能是一些離散點，也可能是一條或多條曲線。三、 二元函數(shù)的偏導數(shù) 四、 偏導數(shù)求法由偏導數(shù)定義可看出，對哪個變量求偏導就只把哪個變量當成自變量，其它的變量都當成常數(shù)看待。五、 全微分：六、 二元函數(shù)的連續(xù)、偏導、可微之間的關系二元函數(shù)可微，則必連續(xù)，可偏導，但反之不一定成立。若偏導存在且連續(xù)，則一定可微。函數(shù)的偏導存在與否，與函數(shù)是否連續(xù)毫無關系。七、 二元復合函數(shù)求偏導 設， 則 ， 注：有幾個中間變量就處理幾次，按照復合函數(shù)求導處理。八、 隱

13、函數(shù)求偏導方程確定的隱函數(shù)為，則對等號兩邊同時對求導，遇到的函數(shù)，把當成中間變量。第八講 多元函數(shù)積分學知識點一、 二重積分的概念、性質(zhì) 1、 ，幾何意義：代表由，D圍成的曲頂柱體體積。 2、性質(zhì)： （1） （2）=+ （3）、 （4）,=+ (5)若，則 （6）若則 (7)設在區(qū)域D上連續(xù)，則至少存在一點，使二、 計算（1） D:（2） D：，技巧：“誰”的范圍最容易確定就先確定“誰”的范圍，然后通過劃水平線和垂直線的方法確定另一個變量的范圍 （3）極坐標下： 三、 曲線積分1、第一型曲線積分的計算 （1）若積分路徑為L：，則 = （2）若積分路徑為L：，則 = （3）若積分路為L：，則 = 2、第二型曲線積分的計算（1） 若積分路徑為L：，起點,終點，則（2） 若積分路徑為L：，起點，終點，則（3） 若積分路為L：，起點，終點，則第九講 常微分方程一、 基本概念 （1）微分方程：包含自變量、未知量及其導數(shù)或微分的方程叫做微分方程。其中未知函數(shù)是一元函數(shù)的叫常微分方程。 （2）微分方程的階：微分方程中未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)。 （3）微分方程的解：滿足微分方程或。前者為顯示解，后者稱為隱式解 （4）微分方程的通解：含有相互獨立的任意常數(shù)且任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同的解 （5）初始條件：用來確定通解中任意常數(shù)的附加條件。 （6）微分方程的特解：通