分講--橢圓典型題型歸納

1、分講-橢圓典型題型歸納 橢圓典型題型歸納題型一. 定義及其應(yīng)用例1.已知一個(gè)動(dòng)圓與圓C:(x+4)2+y2=100相內(nèi)切，且過點(diǎn)A(4,0)，求這個(gè)動(dòng)圓圓心M的軌跡方程；例2.方程=x+2所表示的曲線是練習(xí)：1.=6對(duì)應(yīng)的圖形是（ ）A.直線 B. 線段 C. 橢圓 D. 圓2.=10對(duì)應(yīng)的圖形是（ ）A.直線 B. 線段 C. 橢圓 D. 圓3.10成立的充要條件是（ ）x2y2x2y2x2y2x2y2+=1 B.+=1 C. +=1 D. +=1 A.251625916259254.=m+1表示橢圓，則m的取值范圍是5.過橢圓9x2+4y2=1的一個(gè)焦點(diǎn)F1的直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，則

2、A,B兩點(diǎn)與橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2構(gòu)成的ABF2的周長等于；6.設(shè)圓(x+1)+y=25的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任意一點(diǎn)，線段22AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡方程為；題型二. 橢圓的方程 （一）由方程研究曲線x2y2+=1的曲線是到定點(diǎn)的例1.方程1625點(diǎn)的軌跡；（二）分情況求橢圓的方程例2.已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點(diǎn)P(3,0)，求橢圓的方程；（三）用待定系數(shù)法求方程wwW例3.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)P1、P2(，求橢圓的方程；例4.求經(jīng)過點(diǎn)(2,-3)且與橢圓9x2+4y2=36有共同焦點(diǎn)

3、的橢圓方程；x2y2x2y2+2=1(k-b2)；注：一般地，與橢圓2+2=1共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)其方程為2aba+kb+k（四）定義法求軌跡方程；1,0),1(,0)C例5.在ABC中，A,B,C所對(duì)的三邊分別為a,b,c，且B(-且b,a,c成等差數(shù)列時(shí)頂點(diǎn)A的軌跡；（五）相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程；，求滿足bacx2+y2=1上任一點(diǎn)，求AQ的中點(diǎn)M的軌跡例6.已知x軸上一定點(diǎn)A(1,0)，Q為橢圓4方程；（六）直接法求軌跡方程；例7.設(shè)動(dòng)直線l垂直于x軸，且與橢圓x2+2y2=4交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上滿足PAPB=1的點(diǎn)，求點(diǎn)P的軌跡方程；（七）列方程組求方程例8.中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為F的

4、橢圓被直線y=3x-2截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求此橢圓的方程； 2題型三.焦點(diǎn)三角形問題5x2y2+=1上一點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F2、F1，例1.已知橢圓31625求PF1、PF2及cosF1PF2；題型四.橢圓的幾何性質(zhì)5x2y2例1.已知P是橢圓2+2=1上的點(diǎn)，的縱坐標(biāo)為，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，3ab橢圓的半焦距為c，則PF1PF2的最大值與最小值之差為x2y2例2.橢圓2+2=1(ab0)的四個(gè)頂點(diǎn)為A,B,C,D，若四邊形ABCD的內(nèi)切圓恰ab好過焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為 ；1x2y2+=1的離心率為，則k= ； 例3.若橢圓2k+14x2y20例4.

5、若P為橢圓2+2=1(ab0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，且PF1F2=15，abPF2F1=750，則橢圓的離心率為題型五.求范圍x2y2例1.方程2+=1表示準(zhǔn)線平行于x軸的橢圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；m(m-1)2題型六.橢圓的第二定義的應(yīng)用例1.方程=x+y+2所表示的曲線是例2.求經(jīng)過點(diǎn)M(1,2)，以y軸為準(zhǔn)線，離心率為1的橢圓的左頂點(diǎn)的軌跡方程； 25x2y2+=1上有一點(diǎn)P，它到左準(zhǔn)線的距離等于，那么P到右焦點(diǎn)的距離為 例3.橢圓2259x2y2+=1，能否在此橢圓位于y軸左側(cè)的部分上找到一點(diǎn)M，使它到例4已知橢圓43左準(zhǔn)線的距離為它到兩焦點(diǎn)F1,F2距離的等比中項(xiàng)，若能找到

6、，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能找到，請(qǐng)說明理由。x2y2+=1內(nèi)有一點(diǎn)A(1,1)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是例5已知橢圓95橢圓上一點(diǎn)求PA+題型七.求離心率3PF2的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo) 2x2y2例1. 橢圓2+2=1(ab0)的左焦點(diǎn)為F1(-c,0)，A(-a,0)，B(0,b)是兩個(gè)頂點(diǎn)，ab如果F1到直線AB，則橢圓的離心率e= x2y2例2.若P為橢圓2+2=1(ab0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，且PF1F2=，abPF2F1=2，則橢圓的離心率為例3. F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，PF1PQ，且PF1=，則橢圓的離心率為題型八

7、.橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用x2y2+=1上的點(diǎn)P到直線x-2y+7=0的距離最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)例1. 橢圓4322例2.方程xsin-ycos=1(0題型九.直線與橢圓的關(guān)系（1）直線與橢圓的位置關(guān)系例1. 當(dāng)m為何值時(shí)，直線l:y=x+m與橢圓9x2+16y2=144相切、相交、相離？例2.曲線2x2+y2=2a2（a0）與連結(jié)A(-1,1)，B(2,3)的線段沒有公共點(diǎn)，求a的取值范圍。例3.過點(diǎn)P(-3, 0)作直線l與橢圓3x2+4y2=12相交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求OAB面積的最大值及此時(shí)直線傾斜角的正切值。22例4.求直線xcos+ysin=2和橢圓x+3y=6有公共點(diǎn)時(shí)，的取值

8、范圍(0)。（二）弦長問題例1.已知橢圓x2+2y2=12，A是x軸正方向上的一定點(diǎn)，若過點(diǎn)A，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為4，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。 3例2.橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1相交于A,B兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，若|AB|=22，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC的斜率為2，求a,b的值。 2x2y2+=1的焦點(diǎn)分別是F1和F2，過中心O作直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，若例3.橢圓4520ABF2的面積是20，求直線方程。（三）弦所在直線方程x2y2+=1，過點(diǎn)P(2,0)能否作直線l與橢圓相交所成弦的中點(diǎn)恰好是P；例1.已知橢圓 164例2.已知一直線與橢圓4x2+9y2=36相交于A,B兩點(diǎn)，

9、弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,1)，求直線AB的方程；例3. 橢圓E中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，其離心率e=圓E相交于A,B兩點(diǎn)，且C分有向線段AB的比為2. （1）用直線l的斜率k(k0)表示OAB的面積； （2）當(dāng)OAB的面積最大時(shí)，求橢圓E的方程2,過點(diǎn)C(-1,0)的直線l與橢3x2y2+=1上的三點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，例4.已知A(x1,y1),B(1,y0),C(x2,y2)是橢圓43且AF,BF,CF成等差數(shù)列，則AC的垂直平分線是否過定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論。（四）關(guān)于直線對(duì)稱問題x2y2+=1，試確定m的取值范圍，使得橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線例1.已知橢圓43y=4x+m對(duì)稱；例

10、2.已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，長軸長等于6，離心率e=線l，使l與橢圓交于不同兩點(diǎn)A,B，且線段AB恰被直線x=-線l傾斜角的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由。2，試問是否存在直31平分？若存在，求出直2題型十.最值問題 例1若P(-2,x2y2+=1，F(xiàn)2為橢圓2516的最大值和最小值。分析：欲求MP+MF2的最大值和最小值 可轉(zhuǎn)化為距離差再求。由此想到橢圓第一定義MF2=2a-MF1, F1為橢圓的左焦點(diǎn)。x2y2結(jié)論1：設(shè)橢圓2+2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P(x0,y0)為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，M(x,y)為ab橢圓上任意一點(diǎn)，則MP+MF2的最大值為2a+PF1,最小值為2a-PF1；

11、x2y2+=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，求MP+MF2的例2P(-2,6),F2為橢圓2516最大值和最小值。x2y2結(jié)論2設(shè)橢圓2+2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，P(x0,y0)為橢圓外一點(diǎn)，M(x,y)為ab橢圓上任意一點(diǎn)，則MP+MF2的最大值為2a+PF1，最小值為PF2;2.二次函數(shù)法x2y2例3求定點(diǎn)A(a,0)到橢圓2+2=1上的點(diǎn)之間的最短距離。 ab分析：在橢圓上任取一點(diǎn)，由兩點(diǎn)間距離公式表示PA，轉(zhuǎn)化為x,y的函數(shù)求最小值。x2y2結(jié)論3：橢圓2+2=1上的點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)A(m,0)或B(0,n)距離的最值問題，可以用ab兩點(diǎn)間距離公式表示MA或MB，通過動(dòng)點(diǎn)在

12、橢圓上消去y或x,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，注意自變量的取值范圍。3.三角函數(shù)法x22例4求橢圓2+y=1上的點(diǎn)M(x,y)到直線l:x+2y=4的距離的最值； 4x2y2結(jié)論4：若橢圓2+2=1上的點(diǎn)到非坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)的距離求最值時(shí),可通過橢圓的ab參數(shù)方程，統(tǒng)一變量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值。結(jié)論5：橢圓上的點(diǎn)到定直線l距離的最值問題,可轉(zhuǎn)化為與l平行的直線m與橢圓相切的問題,利用判別式求出直線m方程，再利用平行線間的距離公式求出最值。x2y2+=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在該橢圓上移動(dòng)時(shí)，例5.已知定點(diǎn)A(-，點(diǎn)F為橢圓1612求AM+2MF的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；（第二定義的應(yīng)用）x2y2+=1的左、例3已知F1、F2分別為橢圓右焦點(diǎn)，橢圓內(nèi)一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,-6)，10064P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試分別求：（1）PM+5PF2的最小值； （2）PM+PF2的取值范圍 3題型十一.軌跡問題例1到兩定點(diǎn)(2,1)，(-2,-2)的距離之和為定值5的點(diǎn)的軌跡是 ( )A 橢圓 雙曲線 直線 線段例2已知點(diǎn)A(3,0)，點(diǎn)P在圓x2+