剩余類環(huán) 上的多項(xiàng)式環(huán)及因式分解和可約性畢業(yè)論文

1、 2014屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 題目：剩余類環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)及因式分解和可約性學(xué) 院： 專業(yè)班級(jí)學(xué)生姓名：指導(dǎo)教師： 答辯日期： 大學(xué)教務(wù)處 目 錄1 引言12 群，環(huán)的相關(guān)理論12.1交換群，環(huán)的定義12.2 多項(xiàng)式環(huán)22.3 剩余類環(huán)和模為2的剩余類環(huán)的證明32.4 剩余類環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)53 剩余類環(huán)上的因式分解及可約性53.1 模為2的剩余類環(huán)上多項(xiàng)式環(huán)的的因式分解，可約不可約性54 結(jié)論10附錄11參考文獻(xiàn)11致 謝12剩余類環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)及因式分解和可約性 摘要：給出群，交換群，環(huán)的定義，可逆元的判定；證明剩余類環(huán)為環(huán)，構(gòu)造剩余類環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)，給出剩余類環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)的因式分解及判斷

2、可約性。關(guān)鍵字：環(huán)；剩余類環(huán)；剩余類環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)；多項(xiàng)式環(huán)的因式分解；多項(xiàng)式環(huán)的可約性。Factorization of polynomial ring and the residue class ring decomposition and reducibilityAbstract: This paper presents group, abelian groups, rings, determination of invertible elements; prove the residue class ring ring, polynomial ring over residue cla

3、ss rings, given the residue class ring ring of polynomials factorization and determine the reducibility.Keywords: ring；residue class ring；polynomial ring over residue class rings；the ring of polynomials factorization；polynomial ring reducibility.1 引言19世紀(jì)以及整個(gè)20世紀(jì)里，人們建立并發(fā)展了眾多的代數(shù)理論，其中對(duì)群，環(huán)，域等代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究獲得了巨

4、大的成功，使得代數(shù)成為20世紀(jì)最活躍的數(shù)學(xué)學(xué)科。在1930年與1931年，荷蘭數(shù)學(xué)家范徳瓦爾登先后出版了兩卷本的德文專著Moderne Algebra(近世代數(shù))1。目前，近世代數(shù)的理論，思想與方法已經(jīng)浸透到數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域，并成為整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要組成部分。模的剩余類環(huán)的問題不僅在近世代數(shù)中占有重要地位,也在解決生活實(shí)際問題時(shí)有一定的應(yīng)用,學(xué)者們就對(duì)各種環(huán)進(jìn)行了深入系統(tǒng)的的研究，并開辟了許多新的研究領(lǐng)域，取得了許多有意義的研究成果。模剩余類環(huán)就是其中研究比較透切的一種特殊的環(huán)。模的剩余類環(huán)為有限可換環(huán)，整環(huán)及域都提供了豐富的例證但其性質(zhì)散見于各種論著之中。然而，在高等代數(shù)里我們已經(jīng)看到，全體整

5、數(shù)對(duì)于數(shù)的加乘做成一個(gè)環(huán)。本文我們進(jìn)一步討論整環(huán)，多項(xiàng)式環(huán)，模為剩余類環(huán)，模為的剩余類環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)的因式分解及可約性。2 群，環(huán)的相關(guān)理論2.1 交換群，環(huán)的定義，可逆的判定2.1.1 群，交換群 定義42 設(shè)是非空集合，在上有一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，叫做乘法，對(duì)的任意兩個(gè)元，其運(yùn)算的結(jié)果稱為與的積，記為,如果還滿足1. 結(jié)合律:,.2. 有單位元,使得,3. 對(duì)每個(gè),有,使,稱為的一個(gè)逆元.則稱為一個(gè)群. 當(dāng)群的運(yùn)算滿足交換律時(shí)，成為交換群，這時(shí)也常把其運(yùn)算記成加法，并稱它是一個(gè)加（法）群（注意 加群中零元相當(dāng)于乘法群中的單位元，而負(fù)元相當(dāng)于乘法群中的逆元）2。 2.1.2 環(huán)的定義 定義3 一個(gè)集

6、合叫做一個(gè)環(huán).假如 1. 是一個(gè)加群，換句話說，對(duì)于一個(gè)叫做加法的代數(shù)運(yùn)算來說做成一個(gè)交換群；2. 對(duì)于另一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來說是閉的；3. 這個(gè)乘法適合結(jié)合律； 不管是的哪三個(gè)元；4. 兩個(gè)分配律成立： 不管是的哪三個(gè)元. 2.2 多項(xiàng)式環(huán) 假定是一個(gè)有單位元的交換環(huán)，是的子環(huán)，并且包括的單位元。我們?cè)诶锶〕鲆粋€(gè)元來，那么 定義5 一個(gè)可以寫成 形式的表達(dá)式，稱為上的的一個(gè)多項(xiàng)式。叫做多項(xiàng)式的系數(shù)。 現(xiàn)在我們把所有的上的 的多項(xiàng)式放在一起，作為一個(gè)集體，這個(gè)集合我們用來表示.我們要注意，對(duì)于， 所以當(dāng)我們只看的有限個(gè)多項(xiàng)式的時(shí)候，可以假定這些多項(xiàng)式的系數(shù)都是一樣的。因此，的兩個(gè)元相加相乘

7、適合以下公式： 這里 這兩個(gè)式子告訴我們，對(duì)于加法和乘法來說都是閉的。由于我們也有 -所以是一個(gè)環(huán)。顯然是包括和的最小子環(huán)。 定義5 叫做上的的多項(xiàng)式環(huán)。2.3 剩余類環(huán)的定義和模為的剩余類環(huán)的證明 2.3.1 剩余類環(huán)的定義本小節(jié)給出了剩余類環(huán)的定義，為證明模的剩余類為環(huán)提供了理論基礎(chǔ)。給了一個(gè)環(huán)和的一個(gè)理想附錄 若我們只就加法來看，作成一個(gè)群，作成的一個(gè)不變子群。這樣的陪集 作成的一個(gè)分類。我們現(xiàn)在把這些類叫做模的剩余類。這個(gè)分類相當(dāng)于的元間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系這個(gè)等價(jià)關(guān)系現(xiàn)在我們用符號(hào)來表示9。 定理19 假定是一個(gè)環(huán)，是它的一個(gè)理想，是所有模的剩余類做成的集合。那么本身也是一個(gè)環(huán)，并且與同態(tài)

8、。定義9 叫做環(huán)的模的剩余類環(huán)。這個(gè)環(huán)我們用來表示。2.3.2 證明模的剩余類是環(huán) 證明：已知模的剩余類由=構(gòu)成的一個(gè)集合.對(duì)加法和乘法滿足下列運(yùn)算表：為方便記：， 0 1 0 1 0 0 10 0 0 1 1 0 1 0 1 對(duì) 成立 (對(duì)加法是封閉的） 對(duì) 成立 (對(duì)加法滿足結(jié)合律） 對(duì) 成立 （存在零元） 對(duì) （對(duì)加法滿足交換律） 由可知對(duì)加法滿足交環(huán)群. 對(duì) （對(duì)乘法的代數(shù)運(yùn)算是封閉的） 對(duì) （對(duì)乘法滿足結(jié)合律） 對(duì) （對(duì)乘法滿足兩個(gè)結(jié)合律） 由可知是環(huán)。2.4 剩余類環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán) 我們已得出是環(huán)而且是交換環(huán)。定義2 為交換環(huán)，交換環(huán)正是 為非負(fù)數(shù)，稱為上的多項(xiàng)式環(huán)。 所以可知，模為

9、的剩余類環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)的形式為： 為非負(fù)數(shù), ,. 3 剩余類環(huán)上的因式分解及可約性3.1 模為2的剩余類環(huán)上多項(xiàng)式環(huán)的的因式分解和可約性 設(shè) ，有，所以我們有以下面定義. 定義 2.5.14 設(shè)，我們稱與為多項(xiàng)式的平凡因式. 定義 2.5.2 4設(shè) ，如果在中有非平凡因式，則稱在中可約，否則稱在中不可約. 定理 2.4.3 7 在中都可以分解為不可約多項(xiàng)式的乘積. 證 若在中不可約，則結(jié)論成立。若在中可約，則此時(shí)跡有 . 若都不可約，則結(jié)論成立.若都不可約，則繼續(xù)分解。因?yàn)榉纸夂蟮囊蚴降拇螖?shù)降低，而一次多項(xiàng)式不可約，所以分解必會(huì)終止。即 不可約.故結(jié)論成立. 上節(jié)我們已給出模為的剩余類環(huán)上的

10、多項(xiàng)式環(huán)的形式 為非負(fù)數(shù), ,，模為。接下來我們討論它的因式分解及可約性。 1.當(dāng) 的最高次方為時(shí)，=0,=1為常數(shù)多項(xiàng)式。它為不可約多項(xiàng)式 10。 2.當(dāng)?shù)淖罡叽畏綖闀r(shí)： = ,= 最高次方為一時(shí)，該多項(xiàng)式不可約。 3.當(dāng)?shù)淖罡叽畏綖闀r(shí)，共有個(gè)多項(xiàng)式：（1）= 為可約多項(xiàng)式 。（2）= 為可約多項(xiàng)式。（3）= 為可約多項(xiàng)式。（4）= 為不可約多項(xiàng)式。4.當(dāng)?shù)淖罡叽畏綖闀r(shí)，共有個(gè)多項(xiàng)式：（1）= 為可約多項(xiàng)式。（2）= 為可約多項(xiàng)式。（3）= 為可約多項(xiàng)式。（4）= 為不可約多項(xiàng)式。（5）= 為可約多項(xiàng)式。（6）= 為不可約多項(xiàng)式。（7）= 為可約多項(xiàng)式。（8）= 為可約多項(xiàng)式。5.當(dāng)?shù)淖罡叽?/p>

11、方為時(shí)，總有個(gè)多項(xiàng)式：（1）= 為可約多項(xiàng)式。（2）= 為可約多項(xiàng)式。（3）= 為可約多項(xiàng)式。（4）= 為不可約多項(xiàng)式。（5）= 為可約多項(xiàng)式。（6）= 為不可約多項(xiàng)式。（7）= 為可約多項(xiàng)式。（8）= 為可約多項(xiàng)式。（9）= 為可約多項(xiàng)式。（10）= 為不可約多項(xiàng)式。（11）= 為可約多項(xiàng)式。（12）= 為可約多項(xiàng)式。（13）= 為可約多項(xiàng)式。（14）= 為可約多項(xiàng)式。（15）= 為可約多項(xiàng)式。（16）= 為不可約多項(xiàng)式。6.當(dāng)?shù)淖罡叽畏綖闀r(shí)，總有個(gè)多項(xiàng)式：（1） 為可約多項(xiàng)式。（2） 為可約多項(xiàng)式。（3） 為可約多項(xiàng)式。（4） 為不可約多項(xiàng)式。（5） 為可約多項(xiàng)式。（6） 為不可約多項(xiàng)式。

12、（7） 為可約多項(xiàng)式。（8）為可約多項(xiàng)式。（9） 為可約多項(xiàng)式。（10） 為不可約多項(xiàng)式。（11） 為可約多項(xiàng)式。（12） 為可約多項(xiàng)式。（13） 為可約多項(xiàng)式。（14） 為可約多項(xiàng)式。（15）為可約多項(xiàng)式。（16） 為不可約多項(xiàng)式。（17） 為可約多項(xiàng)式。（18） 為不可約多項(xiàng)式。（19） 為可約多項(xiàng)式。（20）為可約多項(xiàng)式。（21） 為可約多項(xiàng)式。（22） 為可約多項(xiàng)式。（23） 為可約多項(xiàng)式。（24） 為不可約多項(xiàng)式。（25） 為可約多項(xiàng)式。（26） 為可約多項(xiàng)式。（27）為可約多項(xiàng)式。（28） 為不可約多項(xiàng)式。（29） 為可約多項(xiàng)式。（30） 不可約多項(xiàng)式。（31）為可約多項(xiàng)式。（32

13、）為可約多項(xiàng)式。4 結(jié)論 我們已給出了剩余類環(huán)和模為2的剩余類環(huán)的證明，模為2的剩余類環(huán)上多項(xiàng)式環(huán)的的因式分解和可約性，顯然，我們可發(fā)現(xiàn)，模為2的剩余類環(huán)上多項(xiàng)式環(huán)因式分解后，它的可約不可約性有以下的幾個(gè)規(guī)律：（1）多項(xiàng)式的最高次數(shù)低于二次（不包含二次）的多項(xiàng)式一律不可約。（2） 多項(xiàng)式的最高次數(shù)高于二次方（包含二次）時(shí)，當(dāng)多項(xiàng)式的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)且含有常數(shù)項(xiàng)時(shí)，該多項(xiàng)式不可約。（3） 多項(xiàng)式的最高次數(shù)高于二次方（包含二次）時(shí)，在多項(xiàng)式的最高次方為奇數(shù)的，包含常數(shù)項(xiàng)的情況下，多項(xiàng)式缺項(xiàng)（項(xiàng)的系數(shù)為零）時(shí)，該多項(xiàng)式不可約，反而不缺項(xiàng)時(shí)，該多項(xiàng)式都可約。（4） 多項(xiàng)式的最高次方為時(shí)，多項(xiàng)式的最多項(xiàng)數(shù)

14、為。我們有了以上的規(guī)律后，以后碰到模為的剩余類環(huán)上多項(xiàng)式環(huán)中的高次多項(xiàng)式的時(shí)候都可以判斷各種多項(xiàng)式的可約不可約性。附錄 定義10 環(huán)的一個(gè)非空自己叫做一個(gè)理想子環(huán)，簡(jiǎn)稱理想，假若 參考文獻(xiàn)：1近世代數(shù) 研傳:科學(xué)出版社2010年9月第一版,前言(ii).2近世代數(shù)初步（第二版）石生明：高等教育出版社，2002年7月第一版，第4頁.3近世代數(shù)基礎(chǔ)（修訂本）張禾瑞:高等教育出版社，2012年5月第49出版，第82頁.4高等代數(shù) 高孝忠:清華大學(xué)出版社，2013年4月第一版,第30頁.5近世代數(shù)基礎(chǔ)（修訂本）張禾瑞:高等教育出版社，2012年5月第49出版，第102頁.6近世代數(shù) 趙淼清：浙江大學(xué)出

15、版社2005年8月第一版，第131頁.7高等代數(shù) 張志讓，劉啟寬：高等教育出版社2008年1月第一版，第129頁.8抽象代數(shù)I 陳良云：科學(xué)出版社，2010年1月第一版，第49頁.9近世代數(shù)初步 石生明：高等教育出版社，2006年3月第一版，第93頁.10高等代數(shù) 熊全淹主審：高等教育出版社，2000年7月第14版，第21頁. 致 謝 大學(xué)生活一晃而過，回首走過的歲月，心中倍感充實(shí)。當(dāng)我寫完這篇畢業(yè)論文的時(shí)候，有一種如釋重負(fù)的感覺，感慨良多。 首先我非常感謝我的論文導(dǎo)師曾吉文老師。導(dǎo)師潤(rùn)博專業(yè)知識(shí)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，寬以待人的崇高風(fēng)范，樸實(shí)無華，平易近人的人格魅力對(duì)我影響深遠(yuǎn)

16、。不僅使我樹立了遠(yuǎn)大的學(xué)術(shù)目標(biāo)，掌握了基本研究方法，還使我明白了許多待人接物與為人處世的道理。本論文從選題到完成，每一步都是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成的，傾注了導(dǎo)師的大量心血。在此向?qū)煴硎境绺叩木匆夂椭孕牡母兄x！ 感謝四年中陪伴在我身邊的老師，同學(xué)，宿友，朋友們，感謝他們?yōu)槲姨岢龅挠幸娴慕ㄗh和意見，有了他們的支持，鼓勵(lì)和幫助，我才能度過了四年的學(xué)習(xí)生活。內(nèi)部資料僅供參考9JWKffwvG#tYM*Jg&6a*CZ7H$dq8KqqfHVZFedswSyXTy#&QA9wkxFyeQ!djs#XuyUP2kNXp6X4NGpP$vSTT#UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gT

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