大學(xué)物理學(xué)習(xí)資料：波動(dòng)_2

1、2-4 波的能量，能流密度波的能量，能流密度 媒質(zhì)中單位體積中的能量媒質(zhì)中單位體積中的能量 波是能量傳播的一種形式波是能量傳播的一種形式 能流，能流密度能流，能流密度 平面波和球面波的振幅平面波和球面波的振幅 波的吸收波的吸收 2-5 行波動(dòng)力學(xué)方程行波動(dòng)力學(xué)方程 提提 綱綱 以一維縱波為例討論波動(dòng)方程以一維縱波為例討論波動(dòng)方程 有一行波：有一行波： )(cos u x tAy 質(zhì)元的速度質(zhì)元的速度 )(sin u x tAy 質(zhì)量為質(zhì)量為 的媒質(zhì)其動(dòng)能為：的媒質(zhì)其動(dòng)能為：m )(sin 2 1 2 1 222 2 u x tVA t y mWk 以棒內(nèi)傳播縱波為例討論彈性勢(shì)能：以棒內(nèi)傳播縱波

2、為例討論彈性勢(shì)能： 2-4 波的能量，能流密度波的能量，能流密度 媒質(zhì)中單位體積中的能量媒質(zhì)中單位體積中的能量 x xx y yy 單位體積媒質(zhì)中彈性勢(shì)能等于彈性模量與應(yīng)變單位體積媒質(zhì)中彈性勢(shì)能等于彈性模量與應(yīng)變 平方乘積的一半。平方乘積的一半。 應(yīng)變應(yīng)變=)(sinuxtuAxy )(sin 2 1 2 2 22 uxtuAYwp Y u 2 代入上式得在代入上式得在 體積內(nèi)體積內(nèi)V 其勢(shì)能為：其勢(shì)能為：)(sin 2 1 222 uxtVAWp 動(dòng)能為：動(dòng)能為： )(sin 2 1 2 1 222 2 u x tVA t y mWk 總機(jī)械能為：總機(jī)械能為： )(sin 222 u x t

3、AVWWW pk 對(duì)于橫波，推導(dǎo)過程中只需用切變模量對(duì)于橫波，推導(dǎo)過程中只需用切變模量 代替楊氏模量，其結(jié)果相同。代替楊氏模量，其結(jié)果相同。 定義：能量密度單位體積內(nèi)的總機(jī)械能定義：能量密度單位體積內(nèi)的總機(jī)械能 )(sin 222 u x tAwww pk 定義：平均能量密度（對(duì)時(shí)間平均定義：平均能量密度（對(duì)時(shí)間平均) 222 0 22 2 1 sin 1 Ad A T 其中其中 T 2sin 0 2 d dt u x tA T w T )(sin 1 22 0 2 *任意時(shí)刻，體元中動(dòng)能與勢(shì)能相等，任意時(shí)刻，體元中動(dòng)能與勢(shì)能相等， 即動(dòng)能與勢(shì)能同時(shí)達(dá)到最大或極小。即動(dòng)能與勢(shì)能同時(shí)達(dá)到最大或極

4、小。 即同相的隨時(shí)間變化。這不同于孤即同相的隨時(shí)間變化。這不同于孤 立振動(dòng)系統(tǒng)。立振動(dòng)系統(tǒng)。 * 能量密度隨時(shí)間周期性變化，能量密度隨時(shí)間周期性變化， 其周期為波動(dòng)周期的一半。其周期為波動(dòng)周期的一半。 T 討論：討論： * 能量密度與振幅平方能量密度與振幅平方 、頻率平方、頻率平方 和質(zhì)量密度和質(zhì)量密度 均成正比。均成正比。 2 A 2 因?yàn)橐驗(yàn)椴ㄊ悄芰總鞑サ囊环N形式，下面討論。波是能量傳播的一種形式，下面討論。 波動(dòng)的能量與波動(dòng)的能量與振動(dòng)振動(dòng)能量是有區(qū)別的。能量是有區(qū)別的。 孤立振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)元?jiǎng)幽茏畲髸r(shí)，孤立振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)元?jiǎng)幽茏畲髸r(shí)， 勢(shì)能最小，總機(jī)械能守恒，不向外傳播能量勢(shì)能最小，總機(jī)械

5、能守恒，不向外傳播能量; )(sin 2 1 2 1 2222 tmAmvEk )(cos 2 1 2 1 222 tkAkxEp 而對(duì)于波動(dòng)來說，由于媒質(zhì)中各部分由彈性力而對(duì)于波動(dòng)來說，由于媒質(zhì)中各部分由彈性力 彼此相聯(lián)，使得振動(dòng)在其中傳播。任一質(zhì)元總彼此相聯(lián)，使得振動(dòng)在其中傳播。任一質(zhì)元總 機(jī)械能隨時(shí)間周期性的變化，動(dòng)能最大時(shí)，勢(shì)機(jī)械能隨時(shí)間周期性的變化，動(dòng)能最大時(shí)，勢(shì) 能也最大，動(dòng)能為零時(shí)，勢(shì)能也為零；能也最大，動(dòng)能為零時(shí)，勢(shì)能也為零； 波是能量傳播的一種形式波是能量傳播的一種形式 DSE P E k E t Y X Y 極大極大 能量能量 極小極小 極小極小 )(sin 2 1 222

6、 u x tVAW k )(sin 2 1 222 uxtVAWp 對(duì)于某一體元，它的能量從零達(dá)到最大，對(duì)于某一體元，它的能量從零達(dá)到最大， 這是能量的輸入過程，然后又從最大減這是能量的輸入過程，然后又從最大減 到零，這是能量輸出的過程，周而復(fù)始。到零，這是能量輸出的過程，周而復(fù)始。 平均講來，該體元的能量密度保持不變，平均講來，該體元的能量密度保持不變， 22 21Aw 即媒質(zhì)中并不積累能量。因而它是一個(gè)能量傳即媒質(zhì)中并不積累能量。因而它是一個(gè)能量傳 遞的過程，或者說波是能量傳播的一種形式；遞的過程，或者說波是能量傳播的一種形式； 波動(dòng)的能量沿波速方向傳播波動(dòng)的能量沿波速方向傳播； 能流能流

7、 單位時(shí)間內(nèi)垂直通過某一截面的單位時(shí)間內(nèi)垂直通過某一截面的 能量稱為波通過能量稱為波通過該截面的能流，或叫能通量。該截面的能流，或叫能通量。 P wStuW w為截面所在位置的能量密度為截面所在位置的能量密度 所以，能流為：所以，能流為： )(sin 222 u x tASuwSu t W P S u tu 顯然能流是隨時(shí)間周期性變化的。但它總為正值顯然能流是隨時(shí)間周期性變化的。但它總為正值 能流，能流密度能流，能流密度 設(shè)波速為設(shè)波速為 u，在在 時(shí)間內(nèi)通過垂直于波速截面時(shí)間內(nèi)通過垂直于波速截面 的能量的能量:S t 在一個(gè)周期內(nèi)能流的平均值稱為平均能流在一個(gè)周期內(nèi)能流的平均值稱為平均能流P

8、 wSuP 通過垂直于波動(dòng)傳播方向的單位面積的平均能流通過垂直于波動(dòng)傳播方向的單位面積的平均能流 稱為平均能流密度，通常稱為稱為平均能流密度，通常稱為能流密度或波的強(qiáng)度能流密度或波的強(qiáng)度。 uAwu S P I 22 2 1 換句話說，能流密度是換句話說，能流密度是 單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于 波速方向的單位截面的波速方向的單位截面的 平均能量。平均能量。 uAI 22 2 1 聲學(xué)中聲強(qiáng)就是聲學(xué)中聲強(qiáng)就是 上述定義之一例上述定義之一例 平均能流平均能流 能流密度是矢量，其方向與波速方向相同。能流密度是矢量，其方向與波速方向相同。 借助于上式和能量守恒可討論波傳播時(shí)振幅的變化：借

9、助于上式和能量守恒可討論波傳播時(shí)振幅的變化： 在均勻不吸收能量的媒質(zhì)中傳播的在均勻不吸收能量的媒質(zhì)中傳播的 平面波在行進(jìn)方向上振幅不變。平面波在行進(jìn)方向上振幅不變。 平面波和球面波的振幅平面波和球面波的振幅 證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)?在一個(gè)周期在一個(gè)周期T 內(nèi)通過內(nèi)通過 1 S 和和 2 S面的能量應(yīng)該相等面的能量應(yīng)該相等 , 2211 TSITSISSS 21 TSAuTSAu 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 21 AA u 1 S 2 S 所以所以,平面波振幅相等：平面波振幅相等： 2 22 4 rS 2211 rArA 1 r ;4 2 11 rS 2 r 所以振幅與離波源的

10、所以振幅與離波源的 距離成反比。如果距距離成反比。如果距 波源單位距離的振幅波源單位距離的振幅 為為A則距波源則距波源r處的振處的振 幅為幅為 r A 球面波球面波 由于振動(dòng)的相位隨距離由于振動(dòng)的相位隨距離 的增加而落后的關(guān)系，的增加而落后的關(guān)系， 與平面波類似，球面簡(jiǎn)與平面波類似，球面簡(jiǎn) 諧波的波函數(shù)：諧波的波函數(shù)： )(cos u r t r A y TSAuTSAu 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 波的吸收波的吸收 實(shí)際上，波在媒質(zhì)中傳播時(shí)，實(shí)際上，波在媒質(zhì)中傳播時(shí)， 媒質(zhì)總要吸收一部分能量。媒質(zhì)總要吸收一部分能量。吸吸 收的能量轉(zhuǎn)換為媒質(zhì)的內(nèi)能和收的能量轉(zhuǎn)換為媒質(zhì)的內(nèi)能

11、和 熱。熱。因此，波的振幅要減小、因此，波的振幅要減小、 波的強(qiáng)度將減弱，這種現(xiàn)象稱波的強(qiáng)度將減弱，這種現(xiàn)象稱 之為吸收。之為吸收。 將平面波的波函數(shù)對(duì)空間和時(shí)間求導(dǎo)，可得將平面波的波函數(shù)對(duì)空間和時(shí)間求導(dǎo)，可得 )(cos),( 0 u x tAtxy )(sin ),( 0 u x tA t txy yv 2-5 行波動(dòng)力學(xué)方程行波動(dòng)力學(xué)方程 )(cos ),( 0 2 2 2 u x tA t txy ya )(cos 0 2 2 2 2 u x t u A x y 2 2 22 2 1 t y ux y 左式就是波動(dòng)方程。它是左式就是波動(dòng)方程。它是 各種平面波所必須滿足的各種平面波所必須

12、滿足的 線性偏微分方程。線性偏微分方程。 ; 1 y 2 y因此，若因此，若 分別是它的解，分別是它的解， 實(shí)際上，這是實(shí)驗(yàn)事實(shí)的概括：若有幾列波實(shí)際上，這是實(shí)驗(yàn)事實(shí)的概括：若有幾列波 同時(shí)在介質(zhì)中傳播，則它們各自將以原有的同時(shí)在介質(zhì)中傳播，則它們各自將以原有的 振幅、頻率和波長(zhǎng)獨(dú)立傳播；在幾列波相遇振幅、頻率和波長(zhǎng)獨(dú)立傳播；在幾列波相遇 處，質(zhì)元的位移等于各列波單獨(dú)傳播時(shí)在該處，質(zhì)元的位移等于各列波單獨(dú)傳播時(shí)在該 處引起的位移的矢量和。處引起的位移的矢量和。 )( 21 yy 則則 也是它的解，也是它的解， 即上述即上述波動(dòng)方程遵從疊加原理波動(dòng)方程遵從疊加原理。 以一維縱波為例討論波動(dòng)方程。

13、以一維縱波為例討論波動(dòng)方程。 受其它部分的彈性力為受其它部分的彈性力為 和和 。fdff 質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)方程為：質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)方程為： 2 2 )()( t y dmfdff 根據(jù)彈性模量的定義：根據(jù)彈性模量的定義： x y YSl l YS f dx x y YSdf 2 2 x xx y yy f ff dx 取棒中任一小質(zhì)元原長(zhǎng)取棒中任一小質(zhì)元原長(zhǎng) ，Sdxdm質(zhì)量為質(zhì)量為 代入運(yùn)動(dòng)方程得代入運(yùn)動(dòng)方程得 結(jié)論：任何物理量只要滿足上結(jié)論：任何物理量只要滿足上 述方程，則它一定按波的形式述方程，則它一定按波的形式 傳播。而且對(duì)時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)傳播。而且對(duì)時(shí)間偏導(dǎo)數(shù) y 系數(shù)的倒數(shù)就是波速的平方。系數(shù)的倒數(shù)就是波速的平方。 2 2 22 2 1 t y ux y 作業(yè)作業(yè):12,14 Y u 2 t y dm