二倍角的正弦、余弦和正切公式(基礎(chǔ))

1、二倍角的正弦.余弦和正切公式(基礎(chǔ))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1能從兩角和的正弦、余弦.正切公式推導(dǎo)岀二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了 解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.2. 能熟練運(yùn)用二倍角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括導(dǎo)岀積化和差、和差化積、半角 公式.但不要求記憶)，能靈活地將公式變形并運(yùn)用.3. 通過運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換，進(jìn)一步提髙運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)、化歸的思想方法 處理問題的自覺性，體會(huì)換元思想、方程思想等在三角恒等變換中的作用.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：二倍角的正弦、余弦、正切公式1. 二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2a = 2 sin a cos a (Sla)cos2a = cos2 cr-sin2

2、a (C2a) =2cos2 a-1=l-2sin2 atan 2a =2 tan a1-tan2 a要點(diǎn)詮釋：(1) 公式成立的條件是：在公式Sla.Cla中.角a可以為任意角，但公式石&中，只有當(dāng)a + k7t及a工蘭+乜(k eZ)時(shí)才成立：2 42(2) 倍角公式不僅限于2a是a的二倍形式，其它如4&是2a的二倍、是的二倍、243a是竺的二倍等等都是適用的要熟悉多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系才能熟練地應(yīng)用好2二倍角公式，這是靈活運(yùn)用公式的關(guān)鍵.如：sin a = 2sin cos:2 2sin = 2 sin(料 e Z)2. 和角公式.倍角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系在兩角和的三角函數(shù)公式S”Cq

3、+0兀+尸中，當(dāng)a = 0時(shí)，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式，它們的內(nèi)在聯(lián)系如下:相以一0代0以一0代0爲(wèi)Ca-p相除Ty-p要點(diǎn)二：二倍角公式的逆用及變形1. 公式的逆用2sin iz cos or = sin 2a : sin a cos a =丄 sin 2a 2cos2 a-sin2 a = 2cos a-1 = l-2sin2 a = cos2a 2 tan a宀=tan 2a .1-tan a2. 公式的變形1 sin 2a = (sin a cos a)2:降幕公式： 宀 =竺絲Si心匕竺竺2 2升幕公式：1 + cos 2a = 2 cos2 a J - cos 2a = 2 s

4、in2 a要點(diǎn)三：兩角和與差的三角函數(shù)公式能夠解答的三類基本題型求值題、化簡(jiǎn)題、證明題1. 對(duì)公式會(huì)正著用”，“逆著用”，也會(huì)運(yùn)用代數(shù)變換中的常用方法：因式分解、配方、 湊項(xiàng)、添項(xiàng)、換元等：2. 掌握“角的演變規(guī)律，尋求所求結(jié)論中的角與已知條件中的角的關(guān)系，如a = (a 0) + 0,2a = (a + 0) + (a 0)等等，把握式子的變形方向，準(zhǔn)確運(yùn)用公式,也要抓住角之間的規(guī)律(如互余.互補(bǔ)、和倍關(guān)系等等)；3. 將公式和英它知識(shí)銜接起來(lái)使用，尤貝注意第一章與第三章的緊密銜接.【典型例題】類型一：二倍角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用例1化簡(jiǎn)下列各式：小、/ & a zc、 2兀 2兀、 tan37.5

5、(1) 4 sin cos ； (2) sincos : (3)；2 2881-tan2 37.5【思路點(diǎn)撥】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式.【答案】(1) 2sincr (2)(3)2 +的2【解析】(1)4sin cos = 2-2sin cos = 2sin 2 2 2 2,cJ龍 z (2兀 2兀)兀 近(2) sirrcos* = - cossirr =-cos=88 I 88 丿42“、tan 37.512sin37.51 十。2 + 3(3) z= ；= tan 75 =.1-tan2 37.52 1-tan2 37.522【總結(jié)升華】本題的解答沒有去就單個(gè)角求英函數(shù)值，而是將

6、所給式子作為一個(gè)整體 變形，逐步向二倍角公式的展開形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔細(xì)體會(huì)本題中的解題思 路.舉一反三：【變式 1】求值：(1)cos -sinII cos + sinI ； (2) 2cos2 -1 : (3)1212 A 1212 丿82 tan 751-tan2 75【答案】F;f;【解析】原式2誇4兀7T/3=COS=1262(2) 原式二cos(2xf) =cosf =(3) 原式=tan 150 = tan(180 -30 ) = -tan30 =類型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函數(shù)值例 2 求 sinlO sin30 sin50 sin70 的值.【思路點(diǎn)撥】

7、解這類題型有兩種方法：方法一：適用sin a =二坯，不斷地使用二倍角的正弦公式.2 cos a方法二：將正弦題目中的正弦形式全部轉(zhuǎn)化為余弦形式，利用cosa = 進(jìn)行化 2sina簡(jiǎn).【答案】16【解析】方法一：sinlOsin5Osin7O=sin2Osm5Osin7O。2cos 10_ sin 20。cos 20。sin 50。_ sin 40。sin 50。_ sin 40。cos 40。_ sin 80。_ 2cos 104cos 104cos 108cos 10 8 sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 =丄16亠汪一 mi、1“。gc。 2 sin 20 cos

8、 20 cos 40 cos 80方法二：原式=_cos 20cos 40 cos 80 =24 sin 20_ sin40cos40cos80 _ sin80cos80 _ 1 sin 160 _ 14sin20。2sin20。16 sin20 _16 sin 2 叫2切 sin a【總結(jié)升華】本題是二倍角公式應(yīng)用的經(jīng)典試題.方法一和方法二通過觀察角度間的 關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得問題岀現(xiàn)連用二倍角的正 弦公式的形式.在此過程中還應(yīng)該看到化簡(jiǎn)以后的分子分母中的角是互余（補(bǔ)）的關(guān)系，從 而使最終的結(jié)果為實(shí)數(shù).利用上述思想，我們還可以把問題推廣到一般的情形：一般

9、地，若則 cos a cos 2a cos 4a cos 2 a =舉一反三：【變式1】求值：sinlO cos40J sin70r . 7,. -由re。go 2sin 20 cos 20 cos 40 cos 80【解析】原式=cos20。cos40。cos80。=2 sin 20_ 2 sin 40 cos 40cos 80 _ 2 sin 80 cos 804 sin 20。8 sin 20sin 160 _ sin 20 _ 1_8sin20o_8sin20o_8 類型三：利用二倍角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式 例3化簡(jiǎn)下列各式：(1) sTsin2&1 + cos& + cos2&(2)V1

10、 - sin 4【思路點(diǎn)撥】（1）觀察式子分析，利用二倍角公式把倍角展開成單角，再進(jìn)行化簡(jiǎn).（2）觀察式子分析，利用二倍角公式把倍角展開成單角，利用平方差公式進(jìn)行化簡(jiǎn). 【答案】（1）tan& （2） sin2-cos2【解析】（1）sin0 + sin 20_ sin& + 2sin& cos& _ sin&(l + 2cos&) _ 和門1 + cos0 + cos2& cos& + 2cos 0 cos&(l + 2cos&) Jlsin4= Jsin，2-2sin2cos2 + cos，2 = J(sin2-cos2)，=1 sin2-cos21= sin2-cos2.【總結(jié)升華】余弦

11、的二倍角公式的變形形式：1 + cos2cr = 2cos2 a.l-cos2a = 2sin2 a .經(jīng)常起到消除式子中1的作用由于 sin 2a = 2sinacosa,從而1 土sin2a = (sina coscr)2,可進(jìn)行無(wú)理式的化簡(jiǎn)和運(yùn)算.例4化簡(jiǎn):2cos，a-l2 tanau【解析】cos 2acos 2acos 2a .=1 cos 2a舉一反三：【變式1】（1） Jl-sin6的化簡(jiǎn)結(jié)果是(2)已知sina = -.且(-,力，則巴竺的值為5 2cos* a3 【答案】(1) sin3-cos3(2)-2【解析】(1)原式二 Jl-sin3cos3=J(sin3-cos

12、3)2=1 sin3-cos3l = sin3cos3(2 )因?yàn)?sintz = -,且 G (- 522sin tzcos a 宀 3 , 5、3= 2x-x(-) = _三cos a542類型四：二倍角公式在三角函數(shù)式給值求值題目中的應(yīng)用例5求值：(1) 已知sin(蘭一纟)=，求cos(&-蘭)12 256(2) 已flsin(a +) = m 求sin2a4【思路點(diǎn)撥】觀察所求的角與已知角的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)它們是二倍的關(guān)系，所以用二倍角公式去 求解.7【答案】(1) (2) 2廠125【解析】(1) cos(&) = cos616 )= cos2=l-2sin2= l-2x 25 丄 25

13、(2) sin2 tan2z 的值.3【答案】-I8V1717【解析】由 sin 3 98即 1 + 2sinacosa = , /. sin2a = 2sinacosa = - 99由sincr + cosa =-, 得cosa =丄一sina ,3 3/. cos2 a =1-sin al3 2*即 l-sin a = sina + sin2 a 9 3整理得 9 sin2a-3sina-4 = 0.解得 sin a = 3 1 或sin& = X7 (舍去).V1796 6/. cos2a = 1 2sin2 a = 1 -2x.tan2空么匹cos 2a 17【總結(jié)升華】解題過程中注意

14、角a的范國(guó)的判立.【變式2】已知tan+ a14亠 一一 z 、亠 sin2a-cos匕“一（1）求“na的值：（2）求的值.1+cos 2a【解析】(1) tan + a Utan + tan a41 一 tan tan a41 + tan a _ 11 一 tan a 2解得tan a =-(2)血 2L = 2血 & G = 2sin a -cos1 +cos 2al + 2cos* cr-12cos a1115=tan a- =2 326【總結(jié)升華】第（l）問中利用了方程的思想求tana的值；對(duì)于第（2）問的題型， 一般需要將分式轉(zhuǎn)化為含tana的式子求解，或者通過消元轉(zhuǎn)化的方法求解.

15、類型五：二倍角公式的綜合應(yīng)用例 6已知 f （a） = sin2 x + 2sin xcosx + 3cos2 x,求:（1）f G）的最大值以及取得最大值的自變量的集合：（2）f G）的單調(diào)區(qū)間.【思路點(diǎn)撥】用降幫公式把原式降幕，然后用輔助角公式化成Asin（cox+（p） + k的形式.【答案】（1） /2+ 2 xx = k7r + ykez （2）單增區(qū)間 k7r- .k7r + ,k ez8 8 8單減區(qū)間7炸氓心【解析】(1)原式=1 + sin 2x+cos2x +1=sin 2x+cos 2x+2=2 sin(2x + ) + 247t則當(dāng)2出=2展+彳,即m十+訃斗時(shí),/(x

16、) = 72 + 2f 3的單調(diào)遞增區(qū)間為:2李2“+討如即則xe k/r3tcTf 3的單調(diào)遞減區(qū)間為：+侶2*乎，則ez【總結(jié)升華】本題主要考査特殊角的三角函數(shù)值、兩角和的正弦、二倍角的正弦與余 弦公式及y = Asin(ex + 0)的性質(zhì)等知識(shí).要記住倍角公式兩類重要變形并能熟練應(yīng)用:縮 角 升 幫 公 式(aa1+sincr = sin + cos / 、2,aa1-sina = sin -cos I 22)I 22) 1 + cosa = 2cos竺，1cosa = 2sin2 (2)擴(kuò)角降幕2 2八 a = 1 +cos 2a . 21 - cos 2a公式 cos* a =,

17、sin* a =2 2例 7 已知向量“ = (l + sin2x,sinx-cosx) = (l,sinx + cosx),求函數(shù)f(x)=a b (1 )求/(A)的最大值及相應(yīng)的X值：(2)若/(&)= |，求COS2扌一2” 的值.【思路點(diǎn)撥】利用向量數(shù)量積公式的坐標(biāo)形式，將題設(shè)條件中所涉及的向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化 為三角函數(shù)中的“數(shù)量關(guān)系”，從而建立函數(shù)f(x)關(guān)系式.【答案】(1) V2+1 x = k + (keZ) (2)825【解析】(1)因?yàn)閍 =(l + sin2x,sinx-cosx), b = (l,sinx+cosx),所以/(x) = l + sin2x + sin2 x

18、-cos2 x = l + sin2x-cos 2x = /2 sin 2x- +1. 4丿因此，也-2如?即“熾+ (keZ)時(shí)，/(x)取得最大值血+ 18(2)由 /(&) = l sin2&cos20及/(&) =q3一得 sin 20 cos2& = =兩邊平方得1-sin 40 = 225即sin4一石因此,= cos 一40= sin49 = 25舉一反三：【變式 1己知函數(shù)/(x) = sincos+ cos2 -1.(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；IT 31T(II)求函數(shù)f(x)上的最小值.4 2【答案】(【)2兀，2+ -,2 + , k已乙(II) 44【解析】(【)/(x) = sin丄cos丄+上竺丄一12 2 21.1 1=sinx + cosx 2 2 2sin(x + -)-l.242所以函數(shù)/(x)的最小正周期為2兀.7T7T3kjt511由 2kTi + -x + -2kTi + 9 keZ,則 271 + -x2 + .242447T5tt函數(shù)/(X)單調(diào)遞減區(qū)間是2&兀+石，2*兀+丁, k已兀4 4(II)由x,得x+ .4 2244則當(dāng)x + -