平面幾何考試試題

1、.全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題平面幾何（高二數(shù)學(xué)514 ）2012 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試1 如圖，在銳角 ABC 中， ABAC ， M 、N 是 BC 邊上不同的兩點，使得 BAM=CAN ，設(shè) ABC 和 AMN 的外心分別為 O1 、 O2 ，求證：O1、 O2、A 三點共線2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試1.（40分） P, Q 分別是圓內(nèi)接四邊形ABCD 的對角線 AC, BD 的中點若BPADPA ，證明：AQBCQB A2011 全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬題加試PE2. （本題滿分 40 分）在直角三角形ABC 中， BF90 ，BC它的內(nèi)切圓分別與邊 BC，CA ， AB 相切與點 D ，E

2、， F，D連接 AD ，與內(nèi)切圓相交于另一點P，連接 PC， PE， PF已知 PCPF ，求證： PE BC .AOBC2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試E KDPQ1.（ 40 分）如圖，銳角三角形ABC 的外心為 O，K 是邊NMBC 上一點（不是邊 BC 的中點），D 是線段 AK 延長線上一點，直線 BD 與 AC 交于點 N ，直線 CD 與 AB 交于點 M 求證：若OK MN ，則 A ，B，D ，C 四點共圓2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試一、如圖， M ，N 分別為銳角三角形 ABC（AB ）的外接圓?上弧 BC 、AC 的中點 過點C作PC/ MN交圓于 P 點， I 為A

3、BC 的內(nèi)心，連接PI 并延長交圓于 T （ I ）求證：當(dāng) MP MTNP NT；?C）上任取一點（，T，B），記，的內(nèi)心分（ II ）在弧 AB （不含點QQAAQCQCB別為 I1， I2，求證： Q， I1， I2， T 四點共圓PCNMI.2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試 A卷一、（本題滿分 50分）如題一圖，給定凸四邊形 ABCD，BD180o，P是平面 上的 動點，令f ( P)PA BCPD CAPCAB （）求證：當(dāng)f ( P) 達到最小值時，P, A, B, C 四點共圓；（）設(shè)E 是?AE3，ABC 外接圓 O 的 AB 上一點，滿足：AB2圖 1BC31，ECB1EC

4、A ，又 DA, DC是 e O 的切線， AC2 ，求 f ( P) 的最小值EC2.2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試 B 卷一、（本題滿分50 分）如題一圖，ABCD 是圓內(nèi)接四邊形AC 與 BD 的交點為P EAB上一點，連接EP并延長交DC于點F，點G, H，是弧?分別在CE， DE的延長線上，滿足 EAGFAD ，EBHFBC ，求證： C,D,G,H 四點共圓題一圖2007 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試A一、（本題滿分 50分）如圖，在銳角 ABC 中， ABAC ，點 O 是外心，兩條高BE、CF 交于 H 點，點 M 、N 分別在線段 BH 、 HF 上，且滿足 BM=CNMH

5、NH，求的值。OHB2001年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題加試一（本題滿分50 分）AFNOHEMCA如圖，ABC 中， O 為外心，三條高AD 、 BE、 CF 交于O點 H，直線 ED 和 AB 交于點 M，F(xiàn)D 和 AC 交于點 NFOB DF，OCDE；E求證： (1)H(2)OHMN CBDNM.2000年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷加試A一、 (滿分 50分 ) 如圖，在銳角 ABC 的 BC 邊上有兩點 E、F，BAE= FM AB,FN(,是垂足 )，M滿足，作NCAFACM N延長 AE 交ABC 的外接圓于點D。證明：四邊形BE FCAMDN與ABC 的面積相等。DADEFBG19

6、99年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試C一 ( 滿分 50 分 ) 如圖，在四邊形ABCD 中，對角線AC 平分BAD 。在 CD 上取一點 E，BE 與 AC 相交于 F，延長 DF 交 BC 于 G。求證： GAC EAC.1998年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽二試一、（滿分50 分）如圖， O、 I 分別為ABC 的外心和內(nèi)心，AD 是 BC邊上的高， I 在線段 OD 上。求證： ABC 的外接圓半徑等于BC 邊上的旁切圓半徑。注：的BC邊上的旁切圓是與邊AB、AC的延長線以及邊BC都相切的圓。ABC1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷二試.一、（本題 50 分）如圖，已知兩個半徑不相等的O1 與 O2

7、 相交于 M 、 N 兩點，且 O1 、O2 分別與 O 內(nèi)切于 S、 T 兩點。求證： OM MN 的充分必要條件是S、 N 、 T 三點共線。1996 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽二試三、（本題滿分35 分）如圖，圓O1 和圓 O2 與ABC 的三邊所在的三條直線都相切，E、F、G、H 為切點，并且EG、 FH 的延長線交于P 點。求證直線PA 與 BC 垂直。PGHO1 。A。 O2EBCF.1995年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第二試三、 (35 分 ) 如圖，菱形AEHMQBNPFGCABCD 的內(nèi)切圓 O 與各邊分別切于E， F， G， H ，在弧 EF 與 GH 上分別作圓 O 的切線交AB 于

8、M ，交 BC 于 N，交 CD 于 P，交DA 于 Q，求證：MQ NP D1994 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第二試EAOIBC.三、(本題滿分 35 分 ) 如圖，設(shè)三角形的外接圓O 的半徑為 R，內(nèi)心為 I，B60 ， AC ，A 的外角平分線交圓 O 于 E，證明 :(1) IO=AE ；(2)2RIOIAIC(13)R1993年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試一、（ 35分）設(shè)一凸四邊形ABCD ，它的內(nèi)角中僅有D是鈍角，用一些直線段將該凸四邊形分割成n個鈍角三角形，但除去A、 B、 C、D外，在該四邊形的周界上，不含分割出的鈍角三角形頂點試證n 應(yīng)滿足的充分必要條件是n 4 .三、（ 35

9、 分）水平直線m 通過圓 O 的中心， 直線 lm ，l 與 m 相交于 M ，點 M 在圓心的右側(cè)，直線 l 上不同的三點A,B,C 在圓外， 且位于直線m 上方， A 點離 M 點最遠， C 點離 M 點最近，AP,BQ,CR 為 圓O的三條切線，P,Q,R為 切 點 試 證 ： (1) l與圓 O 相切時，AB CR+ BC AP=ACBQ ；(2) l 與圓 O 相交時， AB CR+ BC AP ACBQ ；(3) l 與圓 O 相離時， ABCR+ BC AP AC BQ.1992年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試一、(35 分) 設(shè) A1A 2A3A 4 為 O 的內(nèi)接四邊形， H 1

10、、H 2、H 3、H 4 依次為 A2A 3A 4、A 3A4A 1、A 4A 1 A2 、A 1 A 2 A3 的垂心求證：H 1、 H 2、 H 3 、 H 4 四點在同一個圓上，并定出該圓的圓心位置.1991年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試二設(shè)凸四邊形ABCD 的面積為 1 ，求證：在它的邊上 (包括頂點 )或內(nèi)部可以找出四個點，1以其中任意三點為頂點所構(gòu)成的四個三角形的面積大于4DO3O4P1990 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試OAO1F使得CO2B.一 ( 本題滿分35 分 )四邊形 ABCD 內(nèi)接于圓O，對角線 AC 與 BD 相交于 P，設(shè)三角形ABP 、BCP、 CDP 和 DAP

11、 的外接圓圓心分別是O1 、O2 、O3 、O4 求證 OP、O1O3、O2 O4 三直線共點1989年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試一 (本題滿分 35 分 )E已知在 ABC 中， AB AC，A 的一個外角的平分線交ABCA的外接圓于點 E，過 E作 EF AB ，垂足為 FF求證2AF=AB - ACBC.1988年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試二如圖，在 ABC 中， P、 Q、 R 將其周長三等分，且P、 Q 在 AB 邊ASP上，求證：SPQRABC2 9HNQRBC1987 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試一如圖， ABC 和ADE 是兩個不全等的等腰直角三角形，現(xiàn)固定ABC ，而將ADE

12、 繞 A 點在平面上旋轉(zhuǎn)，試證：不論ADE 旋轉(zhuǎn)到什么位置，線段 ECB上必存在點M，使為等腰直角三角形BMDEACD.1986 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試2 (本題滿分 17 分 ) 已知銳角三角形 ABC 的外接圓半徑為R，點 D 、E、F 分別在邊 BC、CA、AB 上，求證： AD ， BE，CF 是ABC 的三條高的充要條件是RS= (EF+FD+DE ）式中 S 是三2角形 ABC 的面積.1985年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試4 平面上任給5 個點，以 表示這些點間最大的距離與最小的距離之比，證明：2sin541984 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試3(本題滿分 15 分)在中，P

13、為邊BC上任意一點， ，若 1 ，證ABCPE BAPF CAS ABC=4明： SBPF、 SPCE、 SPEAF 中至少有一個不小于( SXYZ 表示多邊形 XY Z 的面積 )9D1983年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試AEBMNC.3 (本題滿分16 分) 在四邊形ABCD 中，ABD 、BCD、ABC 的面積比是3 4 1 ，點 M 、N 分別在 AC 、CD 上滿足 AM AC=CN CD，并且 B、M 、N 三點共線求證：M 與 N 分別是 AC 與 CD 的中點1982 年二十五省、市、自治區(qū)中學(xué)生聯(lián)合數(shù)學(xué)競賽3 (本題 16 分 )已知：半圓的直徑 AB 長為 2 r； 半圓外的

14、直線l 與 BA 的延長線垂直，垂足為 T， |AT|=2a (2 arM 、N ，它們與直線 l 的距離 | MP |、| NQ |) ； 半圓上有相異兩點2|MP|NQ|求證： | AM |+| AN |=| AB |滿足條件=1|AM|AN|.4 (本題 20 分 ) 已知邊長為4 的正三角形ABC D、 E、 F 分別是BC、 CA 、 AB 上的點，且| AE|=| BF|=| CD|=1 ，連結(jié) AD 、BE、 CF，交成RQS點 P 在RQS 內(nèi)及邊上移動，點P 到ABC 三邊的距離分別記作x 、y 、 z 求證當(dāng)點 P 在RQS 的頂點位置時乘積xyz 有極小值； 求上述乘積x

15、yz 的極小值1981年二十五省、市、自治區(qū)中學(xué)生聯(lián)合數(shù)學(xué)競賽3 (本題 15 分 )在圓 O 內(nèi)，弦 CD 平行于弦EF，且與直徑AB 交成 45 角，若 CD 與 EF 分別交直徑 AB 于 P 和 Q，且圓 O 的半徑為 1 ，求證：PC?QE+ PD ?QF 2 5 (本題 20 分 )一張臺球桌形狀是正六邊形ABCDEF ，一個球從AB 的中點 P 擊出，擊中BC邊上的某點Q，并且依次碰擊CD 、DE 、EF、FA 各邊， 最后擊中 AB 邊上的某一點 設(shè)BPQ=，求 的范圍.提示：利用入射角等于反射角的原理1979年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試2 命題“一對對邊相等及一對對角相等的四

16、邊形必為平行四邊形”對嗎？如果對，請證明，如果不對，請作一四邊形，滿足已知條件，但它不是平行四邊形并證明你的作法4 在單位正方形周界上任意兩點間連了一條曲線，如果它把正方形分成兩個面積相等的兩部分，試證這條曲線的長度不小于1 .DCAFEO 2O 16 如圖，假設(shè)兩圓 O1 和 O2 交于 A 、 B， O1 的弦 BC 交 O2 于 E，O2 的弦 BD 交 O1 于 F，證明 若DBA= CBA ，則 DF=CE ；B 若 DF=CE ，則DBA= CBA 1978年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第一試6 設(shè)線段AB的中點為M ，從線段AB上的另一點C 向直線AB的一側(cè)引線段CD ，令線段CD的中點為N ，BD的中點為P， MN的中點為Q