31不等關(guān)系與不等式(2)

1、不等關(guān)系與不等式（不等關(guān)系與不等式（2 2） 復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入 1. 比較兩實(shí)數(shù)大小的理論依據(jù)是什么比較兩實(shí)數(shù)大小的理論依據(jù)是什么? 2. “作差法作差法”比較兩實(shí)數(shù)的大小的一般比較兩實(shí)數(shù)的大小的一般 步驟步驟? 如果如果ab ab0; 如果如果ab ab0; 如果如果ab ab0 探究（一）：不等式的基本性質(zhì)探究（一）：不等式的基本性質(zhì) 思考思考1 1：若甲的身材比乙高，則乙的身材比甲：若甲的身材比乙高，則乙的身材比甲 矮，反之亦然矮，反之亦然. .從從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)分析，這里反映數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)分析，這里反映 了一個(gè)不等式性質(zhì)，了一個(gè)不等式性質(zhì)，你能用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表你能用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表 述這個(gè)不等式

2、性質(zhì)嗎？述這個(gè)不等式性質(zhì)嗎？ a ab bb ba a（對(duì)稱性）（對(duì)稱性） 思考思考2 2：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙 高，那么甲的身材比丙高，這里反映出的高，那么甲的身材比丙高，這里反映出的 不等式性質(zhì)如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述？不等式性質(zhì)如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述？ a ab b，b bc ac ac c； a ab b，b bc ac ac c（傳遞性傳遞性） 思考思考3 3：再有一個(gè)不爭(zhēng)的事實(shí)：若甲的年薪比再有一個(gè)不爭(zhēng)的事實(shí)：若甲的年薪比 乙高，如果年終兩人發(fā)同樣多的獎(jiǎng)金或捐贈(zèng)乙高，如果年終兩人發(fā)同樣多的獎(jiǎng)金或捐贈(zèng) 同樣多的善款，則甲的年薪仍然比乙高，這同樣

3、多的善款，則甲的年薪仍然比乙高，這 里反映出的不等式性質(zhì)如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言里反映出的不等式性質(zhì)如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言 表述？表述？ a ab a+cb a+cb+cb+c（可加性可加性） 思考思考4 4：還有一個(gè)不爭(zhēng)的事實(shí)：若甲班的：還有一個(gè)不爭(zhēng)的事實(shí)：若甲班的 男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多， 則甲班的人數(shù)比乙班多則甲班的人數(shù)比乙班多. . 這里反映出的這里反映出的 不等式性質(zhì)如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述？不等式性質(zhì)如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述？ a ab b，c cd a+cd a+cb+db+d（同向可加性）（同向可加性） 思考思考5 5：如果：如果a ab b，

4、c c0 0，那么，那么acac與與bcbc的的 大小關(guān)系如何？如果大小關(guān)系如何？如果a ab b，c c0 0，那么，那么 acac與與bcbc的大小關(guān)系如何？為什么？的大小關(guān)系如何？為什么？ 思考思考6 6：如果：如果a ab b0 0，c cd d0 0，那么，那么 acac與與bdbd的大小關(guān)系如何？為什么？的大小關(guān)系如何？為什么？ a ab b，c c0 ac0 acbcbc； a ab b，c c0 ac0 acbcbc a ab b0 0，c cd d0 ac0 acbd bd (可乘性可乘性) (正數(shù)同向不等式的可乘性正數(shù)同向不等式的可乘性) a ab b0 0 (nN(nN*

5、) ) 思考思考7 7：如果：如果a ab b0 0，nNnN*，那么，那么a an n與與 b bn n的大小關(guān)系如何？的大小關(guān)系如何？ 思考思考8 8：如果：如果a ab b0 0，nNnN*，那么，那么 與與 的大小關(guān)系如何？的大小關(guān)系如何？ n a n b a ab b0 a0 an nb bn n (nN (nN*) ) (可乘方性可乘方性) (可開(kāi)方性可開(kāi)方性) n a n b 探究（二）：探究（二）：不等式的拓展性質(zhì)不等式的拓展性質(zhì) 思考思考1 1：在等式中有移項(xiàng)法則，即：在等式中有移項(xiàng)法則，即a ab b c ac ac cb b，那么移項(xiàng)法則在不等式，那么移項(xiàng)法則在不等式 中

6、成立嗎？中成立嗎？ a ab bc ac ac cb b 思考思考2 2：如果：如果a ai ib bi i(i(i1 1，2 2，3 3， n)n)，a a1 1a a2 2a an n與與b b1 1b b2 2b bn n的的 大小關(guān)系如何？大小關(guān)系如何？ a ai ib bi i (i (i1 1，2 2，3 3，n)n) a a1 1a a2 2a an nb b1 1b b2 2b bn n 思考思考3 3：如果：如果a ai ib bi i(i(i1 1，2 2，3 3， n)n)，那么，那么a a1 1a a2 2aan nb b1 1b b2 2bbn n嗎？嗎？ aibi0

7、 (i1，2，3，n) a1a2anb1b2bn 思考思考4 4：如果：如果a ab b，那么，那么a an n與與b bn n的大小關(guān)的大小關(guān) 系確定嗎？系確定嗎？ a ab b，n n為正奇數(shù)為正奇數(shù) a an nb bn n 思考思考5 5：如果：如果a ab b，c cd d，那么，那么a ac c與與b b d d的大小關(guān)系確定嗎？的大小關(guān)系確定嗎？a ac c與與b bd d的大的大 小關(guān)系確定嗎？小關(guān)系確定嗎？ a ab b，c cd ad ac cb bd d 思考思考6 6： 若若a ab b，abab0 0，那么，那么 的大小關(guān)系如何？的大小關(guān)系如何？ 11 ab 與 a

8、ab b，abab0 0 11 ab 不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì) 對(duì)稱性對(duì)稱性 ab 傳遞性傳遞性 ab，bc 可加性可加性 ab 推推 論論 移項(xiàng)法則移項(xiàng)法則 a+cb 同向可加同向可加 ab，cd 可乘性可乘性 ab, 推推 論論 同向同向正正可乘可乘ab0，cd0 可乘方可乘方 ab0 可開(kāi)方可開(kāi)方 ab0 (n R+) (n N) bb+c ab-c a+cb+d ac acbc c0 c0acbn nn ba acbd 例例1：應(yīng)用不等式的性質(zhì)，證明下列不等式：應(yīng)用不等式的性質(zhì)，證明下列不等式： （1）已知）已知ab，ab0，求證：，求證： ； 11 ab 證明：證明： （1）因?yàn)椋┮?/p>

9、為ab0，所以，所以 1 0 ab 又因?yàn)橛忠驗(yàn)閍b，所以，所以 11 ab abab 即即 1 1 ba 因此因此 11 ab （2）已知）已知ab， cbd； 證明：（證明：（2）因?yàn)椋┮驗(yàn)閍b，cb，cd， 根據(jù)性質(zhì)根據(jù)性質(zhì)3的推論的推論2，得，得 a+(c)b+(d)，即，即acbd. （3）已知）已知ab0，0cd，求證：，求證： ab cd 證明：（證明：（3）因?yàn)椋┮驗(yàn)?cb0，所以，所以 11 ab cd 即即 ab cd 例例2. 已知已知ab，不等式，不等式:（1）a2b2； （2） ；（；（3） 成立的個(gè)數(shù)是（成立的個(gè)數(shù)是（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 1

10、1 ab 11 aba A 例例3設(shè)設(shè)A=1+2x4，B=2x3+x2，xR，則，則A， B的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是 。 AB （2）若若3ab1，2c1， 求求(ab)c2的取值范圍。的取值范圍。 因?yàn)橐驗(yàn)?ab0，1c24， 所以所以16(ab)c20 例例4（1）如果）如果30 x36，2y6，求，求x 2y及及 的取值范圍。的取值范圍。 x y 18x2yb，那么，那么 ba ；如果；如果aa 性質(zhì)、如果性質(zhì)、如果ab且且bc，那么，那么ac 推論：如果推論：如果ab且且bc，那么，那么ab，那么，那么acbc； 推論、如果推論、如果a b c，那么，那么a c b ； 性質(zhì)、性質(zhì)、a

11、b0,且且cd0，那么，那么acbd 性質(zhì)性質(zhì)4、如果、如果ab且且c0，那么，那么acbc； 如果如果ab且且c0，那么，那么acb,且且cd，那么，那么acbd 性質(zhì)、性質(zhì)、ab0, 那么那么anbn 性質(zhì)性質(zhì)8、ab0, 那么那么 nn ab 性質(zhì)性質(zhì)1：如果如果ab，那么，那么ba；如果；如果bb. 性質(zhì)性質(zhì)1表明，把不等式的左邊和右邊交表明，把不等式的左邊和右邊交 換位置，所得不等式與原不等式異向，我換位置，所得不等式與原不等式異向，我 們把這種性質(zhì)稱為不等式的們把這種性質(zhì)稱為不等式的對(duì)稱性對(duì)稱性。 常用的基本不等式的性質(zhì)常用的基本不等式的性質(zhì) (對(duì)稱性對(duì)稱性) 性質(zhì)性質(zhì)2：如果如果

12、ab，bc，那么，那么ac. 證明：根據(jù)兩個(gè)正數(shù)之和仍為正數(shù)，得證明：根據(jù)兩個(gè)正數(shù)之和仍為正數(shù)，得 0 0 abab bcbc (ab)+(bc)0 ac0 ac. 這個(gè)性質(zhì)也可以表示為這個(gè)性質(zhì)也可以表示為cb，ba，則，則cb，則，則a+cb+c. 證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)閍b，所以，所以ab0， 因此因此(a+c)(b+c)=a+cbc=ab0， 即即 a+cb+c. 性質(zhì)性質(zhì)3表明，不等式的表明，不等式的兩邊都加上同一兩邊都加上同一 個(gè)實(shí)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)，所得的不等式與原不等式同向，所得的不等式與原不等式同向. (可加性可加性) a+bc a+b+(b)c+(b) acb. 由性質(zhì)由性質(zhì)3可以得出可

13、以得出 推論推論1：不等式中的任意一項(xiàng)都可以把它不等式中的任意一項(xiàng)都可以把它 的符號(hào)變成相反的符號(hào)后，從不等式的的符號(hào)變成相反的符號(hào)后，從不等式的 一邊移到另一邊。一邊移到另一邊。 （移項(xiàng)法則移項(xiàng)法則） 推論推論2：如果如果ab，cd，則，則a+cb+d. 證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)閍b，所以，所以a+cb+c， 又因?yàn)橛忠驗(yàn)閏d，所以，所以b+cb+d， 根據(jù)不等式的傳遞性得根據(jù)不等式的傳遞性得 a+cb+d. 幾個(gè)幾個(gè)同向不等式同向不等式的兩邊分別的兩邊分別相加相加，所，所 得的不等式與原不等式得的不等式與原不等式同向同向。 同向不等式可相加性同向不等式可相加性 性質(zhì)性質(zhì)5： 推論推論1：如果如果ab0，cd0，則，則acbd. 性質(zhì)性質(zhì)4：如果如果ab，c0，則，則acbc；如果；如果 ab，c0，則，則acb，c0，所以，所以acbc， 又因?yàn)橛忠驗(yàn)閏d，b0，所以，所以bcbd， 根據(jù)不等式的傳遞性得根據(jù)不等式的傳遞性得 acbd。 幾個(gè)兩邊都是正數(shù)的幾個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式同向不等式的兩邊的兩邊 分別分別相乘相乘，所得的不等式與原不等式，所得的不等式與原不等式同向同向。 (可乘性可乘性) 性質(zhì)性質(zhì)6： 推論推論2：如果如果ab0，則，則anbn，(nN+， n1). 證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)?