可直線化非線性回歸分析

1、直直 線線 相相 關(guān)關(guān) 直直 線線 回回 歸歸 x SS SP b r r：+ +，兩變量間的相關(guān)關(guān)系同向變化；，兩變量間的相關(guān)關(guān)系同向變化； - -，兩變量間的相關(guān)關(guān)系反向變化。，兩變量間的相關(guān)關(guān)系反向變化。 b: +b: +，y y 隨隨x x的增加的增加( (減少減少) )而增加而增加( (減少減少) )； - -， y y 隨隨x x的增加的增加( (減少減少) )而減少而減少( (增加增加) )。 聯(lián)系聯(lián)系 r r與與b b符號(hào)相同，都取決于兩變量離均差乘積和符號(hào)相同，都取決于兩變量離均差乘積和SPSP。 yx SSSS SP r 回歸方程的顯著性回歸方程的顯著性 回歸系數(shù)的顯著性回

2、歸系數(shù)的顯著性 相關(guān)系數(shù)的顯著性相關(guān)系數(shù)的顯著性 xy bxay 三者同時(shí)顯著或不顯著，是等價(jià)的。 由于r的檢驗(yàn)可以直接查表，較為簡(jiǎn)單， 可以用其代替對(duì)b的假設(shè)檢驗(yàn)。 )2( n Q U F bb b s b s b t rr r s r s r t 22 rb ttF y SS U r 1 2 rSSU y x或y的總變異能夠通過(guò)y或x以直線回歸的關(guān)系來(lái)估計(jì) 的比重只占25，其余75的變異無(wú)法借助直線回 歸來(lái)估計(jì)，說(shuō)明兩變量間的相關(guān)關(guān)系實(shí)際意義不大。 如果如果r r r rr r0.01(24) 0.01(24)，相關(guān)系數(shù)極顯著 ，相關(guān)系數(shù)極顯著 df=24df=24 r r0.01(24)

3、 0.01(24) r r2 2 y y依依x x的直線回歸系數(shù)的直線回歸系數(shù)x x 依依y y的直線回歸系數(shù)的直線回歸系數(shù) x xy SS SP b / y yx SS SP b / yx SSSS SP r 2 2 yxxy bbr / 2 回歸回歸 相關(guān)相關(guān) x x可以精確測(cè)量、可以精確測(cè)量、 嚴(yán)格控制嚴(yán)格控制 y y服從正態(tài)分布。服從正態(tài)分布。 x x服從正態(tài)分布。服從正態(tài)分布。y y服從正態(tài)分布。服從正態(tài)分布。 xbay xyxy/ ybax yxyx/ I型回歸型回歸 II型回型回 歸歸 區(qū)別區(qū)別 xbay xyxy/ 兩變量間兩變量間依存變化依存變化的數(shù)量關(guān)系的數(shù)量關(guān)系 兩變量間

4、兩變量間相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系的數(shù)量關(guān)系的數(shù)量關(guān)系 回歸 相關(guān) 單向 xy xy雙向 & 有些資料用相關(guān)表示較適宜，比如兄弟與姐妹有些資料用相關(guān)表示較適宜，比如兄弟與姐妹 間的身高關(guān)系、人的身高與前臂長(zhǎng)之間的關(guān)系等間的身高關(guān)系、人的身高與前臂長(zhǎng)之間的關(guān)系等 資料。資料。 & 有些資料用相關(guān)和回歸都適宜，此時(shí)須視研究有些資料用相關(guān)和回歸都適宜，此時(shí)須視研究 需要而定。需要而定。 & 就一般計(jì)算程序來(lái)說(shuō)，是先求出相關(guān)系數(shù)就一般計(jì)算程序來(lái)說(shuō)，是先求出相關(guān)系數(shù)r r并并 對(duì)其進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，如果對(duì)其進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，如果r r顯著并有進(jìn)行回歸分顯著并有進(jìn)行回歸分 析之必要，再建立回歸方程。析之必要，再建立回歸方程

5、。 回歸系數(shù)有單位，形式為（依變量單位回歸系數(shù)有單位，形式為（依變量單位/ / 自變量單位），相關(guān)系數(shù)沒(méi)有單位。自變量單位），相關(guān)系數(shù)沒(méi)有單位。 相關(guān)系數(shù)的范圍在相關(guān)系數(shù)的范圍在-1-1+1+1之間，而回歸系之間，而回歸系 數(shù)沒(méi)有這種限制。數(shù)沒(méi)有這種限制。 不要把毫無(wú)關(guān)聯(lián)的兩個(gè)事物或現(xiàn)象用來(lái)作不要把毫無(wú)關(guān)聯(lián)的兩個(gè)事物或現(xiàn)象用來(lái)作 相關(guān)或回歸分析。相關(guān)或回歸分析。 * * l相關(guān)分析只是以相關(guān)系數(shù)來(lái)描述兩個(gè)變量間相互關(guān)相關(guān)分析只是以相關(guān)系數(shù)來(lái)描述兩個(gè)變量間相互關(guān) 系的密切程度和方向，并不能闡明兩事物或現(xiàn)象間存系的密切程度和方向，并不能闡明兩事物或現(xiàn)象間存 在聯(lián)系的本質(zhì)。在聯(lián)系的本質(zhì)。 * * l

6、相關(guān)并不一定就是內(nèi)在關(guān)系，切不可單純依靠相關(guān)相關(guān)并不一定就是內(nèi)在關(guān)系，切不可單純依靠相關(guān) 系數(shù)或回歸系數(shù)的顯著性系數(shù)或回歸系數(shù)的顯著性“證明證明”內(nèi)在關(guān)系之存在。內(nèi)在關(guān)系之存在。 l要證明兩事物間的內(nèi)在關(guān)系，必須憑籍專業(yè)知識(shí)從理要證明兩事物間的內(nèi)在關(guān)系，必須憑籍專業(yè)知識(shí)從理 論上加以闡明。但是，當(dāng)事物間的因果關(guān)系未被認(rèn)識(shí)論上加以闡明。但是，當(dāng)事物間的因果關(guān)系未被認(rèn)識(shí) 前，相關(guān)分析可為理論研究提供線索。前，相關(guān)分析可為理論研究提供線索。 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 正向直線關(guān)系正向直線關(guān)系負(fù)向直線關(guān)系負(fù)向

7、直線關(guān)系曲線關(guān)系曲線關(guān)系 直線關(guān)系是兩變量間最簡(jiǎn)單的一種關(guān)系。直線關(guān)系是兩變量間最簡(jiǎn)單的一種關(guān)系。 這種關(guān)系僅在變量的一定取值范圍內(nèi)可用，范圍這種關(guān)系僅在變量的一定取值范圍內(nèi)可用，范圍 過(guò)大，散點(diǎn)圖就偏離直線，需要借助于曲線描述。過(guò)大，散點(diǎn)圖就偏離直線，需要借助于曲線描述。 如果縮小研究范圍，則任意非直線關(guān)系最后都可以如果縮小研究范圍，則任意非直線關(guān)系最后都可以 用線性關(guān)系來(lái)近似，但范圍過(guò)小，使用上不方便。用線性關(guān)系來(lái)近似，但范圍過(guò)小，使用上不方便。 不能對(duì)變量間的關(guān)系有一個(gè)整體上的認(rèn)識(shí)。不能對(duì)變量間的關(guān)系有一個(gè)整體上的認(rèn)識(shí)。 在不同取值范圍內(nèi)還要換用不同的方程。在不同取值范圍內(nèi)還要換用不同的

8、方程。 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 曲線資料曲線資料直線資料直線資料 直線回歸方程直線回歸方程曲線回歸方程曲線回歸方程 xy 非線性回歸直線化過(guò)程非線性回歸直線化過(guò)程 對(duì)數(shù)函數(shù)曲線對(duì)數(shù)函數(shù)曲線 指數(shù)函數(shù)曲線指數(shù)函數(shù)曲線 冪函數(shù)曲線冪函數(shù)曲線 LogisticLogistic生長(zhǎng)曲線生長(zhǎng)曲線 曲線類型的確定曲線類型的確定 數(shù)據(jù)變換數(shù)據(jù)變換 常用曲線回歸的直線化常用曲線回歸的直線化 倒數(shù)函數(shù)曲線倒數(shù)函數(shù)曲線 單細(xì)胞生物生長(zhǎng)初期數(shù)量單細(xì)胞生物生長(zhǎng)初期數(shù)量 酶促反應(yīng)動(dòng)力學(xué)米氏方程酶促反應(yīng)動(dòng)力學(xué)米氏方程 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 單細(xì)胞生物全生長(zhǎng)期數(shù)量單細(xì)胞生物全生長(zhǎng)期數(shù)量S S 型曲線型曲線 雙曲

9、線雙曲線 一、非線性回歸直線化過(guò)程一、非線性回歸直線化過(guò)程 通過(guò)所獲得資料的自然尺度繪制散點(diǎn)圖，通過(guò)所獲得資料的自然尺度繪制散點(diǎn)圖， 按照散點(diǎn)趨勢(shì)畫出相應(yīng)的曲線。按照散點(diǎn)趨勢(shì)畫出相應(yīng)的曲線。 如果有多種曲線類型可供選擇，可多做幾如果有多種曲線類型可供選擇，可多做幾 次回歸，進(jìn)行比較，從中確定最好的曲線類型。次回歸，進(jìn)行比較，從中確定最好的曲線類型。 散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖 確定了曲線類型之后，回歸的任務(wù)就變成確定了曲線類型之后，回歸的任務(wù)就變成 確定曲線公式中的參數(shù)，稱為確定曲線公式中的參數(shù)，稱為曲線擬合曲線擬合。 根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行直觀的比較，選出一種曲根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行直觀的比較，選出一種曲 線類型，并將原

10、數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將曲線方程直線類型，并將原數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將曲線方程直 線化，用轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，若該圖形線化，用轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，若該圖形 為直線趨勢(shì)，即表明選取的曲線是恰當(dāng)?shù)?，否為直線趨勢(shì)，即表明選取的曲線是恰當(dāng)?shù)?，?則將重新進(jìn)行選擇。則將重新進(jìn)行選擇。 數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換 實(shí)際上，只有少數(shù)幾種簡(jiǎn)單非線性方程可實(shí)際上，只有少數(shù)幾種簡(jiǎn)單非線性方程可 用這種方法線性化，而絕大多數(shù)都是不行的。用這種方法線性化，而絕大多數(shù)都是不行的。 曲線擬合曲線擬合 曲線與實(shí)測(cè)點(diǎn)吻合程度的高低曲線與實(shí)測(cè)點(diǎn)吻合程度的高低 2 2 )( ) ( yy yy 小小吻合程度高吻合程度高 大大吻合程度低吻合程度低

11、 2 2 )( ) ( 1 yy yy 2 R 相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù) (1) (1) 回歸曲線擬合程度的高低；回歸曲線擬合程度的高低； (2) (2) 利用回歸方程進(jìn)行估測(cè)的可靠利用回歸方程進(jìn)行估測(cè)的可靠 程度的高低；程度的高低； 直接引入新變量。直接引入新變量。 曲線方程數(shù)學(xué)變換后，再引入新變量。曲線方程數(shù)學(xué)變換后，再引入新變量。 xbaylg xxlgbxay b axy xbaylglglg bxay 對(duì)數(shù)函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)： 冪函數(shù)：冪函數(shù)： 例：例： xbaylnxbay xxln 2 bxaxybxay xyy/ bx axey bxay )/ln(xyy aaln b ax y 1 xb

12、ay )/1ln(yy xxlnaaln 倒數(shù)函數(shù) x bxa y yxy bxay (reciprocal function) bxa y 1 bxa x y yy/1 bxay yxy/ bxay 二、常用曲線回歸的直線化二、常用曲線回歸的直線化 指數(shù)函數(shù) bx aey bxay lnln (exponential function) x aby yyln bxay aaln bxaylnlnln yyln xbay aaln bbln 對(duì)數(shù)函數(shù) xbaylg xxlg bxay (logarithmic function) xbayln xxln bxay 冪函數(shù) b axy bxay

13、xbaylnlnln (power function) yyln aaln xxln 雙曲線 x b a y 1 bxay y y 1 x x 1 S形曲線 x bea y 1 x bea y 1 bxay y y 1 x ex 烘烤時(shí)間對(duì)葉綠素含量的影響烘烤時(shí)間對(duì)葉綠素含量的影響 b axy b xaylglglg xbaylglglg bxay 9631. 01464. 0 xy 4009. 11010 1464. 0 a a 烘烤時(shí)間對(duì)葉綠烘烤時(shí)間對(duì)葉綠 素含量的影響素含量的影響 5402. 0735. 0 22 )9(01. 0 r 開始增長(zhǎng)緩慢，而在以后的某一范圍內(nèi)開始增長(zhǎng)緩慢，而在

14、以后的某一范圍內(nèi) 迅速增長(zhǎng)，達(dá)到某限度后，增長(zhǎng)又緩慢下來(lái)，迅速增長(zhǎng)，達(dá)到某限度后，增長(zhǎng)又緩慢下來(lái)， 曲線略呈拉長(zhǎng)的曲線略呈拉長(zhǎng)的“S” S” 。 Logistic生長(zhǎng)曲線 0 x y bx ae K y 1 0 x y K 1+a K bx ae K y 1 0 x a K y 1 x Ky 起始量起始量 終極量終極量 K 2 bx ae K y 1 b a x )/ 1ln( 2 K y 下凹下凹 上凸上凸 1 bx ae b a)/ 1ln( 0 x y K 1+a K bx ae K y 1 bx ae y yK )ln( y yK y aalnbb xbay ?K ?K 1 2 y是累

15、積頻率，則是累積頻率，則y無(wú)限增大的終極量為無(wú)限增大的終極量為100(%)。 100K y是生長(zhǎng)量或繁殖量時(shí)，可限是生長(zhǎng)量或繁殖量時(shí)，可限3對(duì)等距觀測(cè)值，計(jì)算對(duì)等距觀測(cè)值，計(jì)算K。 31 2 2 32131 2 2 2)( yyy yyyyyy K x(周次)y(kg) 20.30 40.86 61.73 82.2 102.47 122.67 142.80 x(周次)y(kg) 20.30 40.86 61.73 82.2 102.47 122.67 142.80 x(周次)y(kg) 20.30 40.86 61.73 82.2 102.47 122.67 142.80 x(周次)y(kg) 20.30 40.86 61.73 82.2 102.47 122.67 142.80 827. 2K759. 2K996. 2K692. 2K x(周次)y(kg)(2.827-y)/yy=ln(2.827-y)/y) 20.30 8.4233 2.1310 40.86 2.2872 0.8273 61.73 0.6341 -0.4555 82.20 0.2850