222一元二次方程的幾種解法

1、一元二次方程的幾種解法一元二次方程的幾種解法 引例 剪一塊面積為150cm2的長方形鐵片，使 它的長比寬多5cm，這塊鐵片應(yīng)怎樣剪？ 解：設(shè)這塊鐵片的寬為x cm，那么它的 長為（x+5) cm. 根據(jù)題意，得 x（x+5)=150. 去括號(hào)，得 x2+5x=150. 第十二章第十二章 一元二次方程一元二次方程 12.1 用公式解一元二次方程用公式解一元二次方程 第一節(jié) 一、一元二次方程的定義一、一元二次方程的定義 只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最 高次數(shù)是高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程的整式方程叫做一元二次方程. 1、只含一個(gè)未知數(shù)的只含一個(gè)未知數(shù)的 一

2、元方程一元方程； 2、未知數(shù)的最高次數(shù)是未知數(shù)的最高次數(shù)是2的的 二次方程二次方程； 3、整式方程整式方程. 1505 2 xx01505 2 xx 7)3( 2 x026 2 xx 053 2 xx 01 2 1 2 x 04 2 x 3 5 2 2 x 5 xx 032 2 yx 1232 2 xxx （不是整式方程）（不是整式方程） （不是整式方程）（不是整式方程） （不是一元方程）（不是一元方程） .16 1262 22 x xxx 合并同類項(xiàng)： 去括號(hào)： 3 5 2 2 x 5 xx 032 2 yx 1232 2 xxx （不是整式方程）（不是整式方程） （不是整式方程）（不是整式

3、方程） （不是一元方程）（不是一元方程） （不是二次方程）（不是二次方程） 一元二次方一元二次方 程的一般形式程的一般形式 ax2+bx+c=0 (a0) 完全的一元二次方程完全的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0, b0, c0) 不完全的不完全的 一元二次方程一元二次方程 ax2+c=0 (a0,c0) ax2+bx=0 (a0,b0) ax2=0 (a0) （）（）化為一般形式后化為一般形式后， （）（）二次項(xiàng)的系數(shù)是否為二次項(xiàng)的系數(shù)是否為0 是判斷一元二次方程的關(guān)鍵是判斷一元二次方程的關(guān)鍵. . 例、方程是否例、方程是否 為一元二次方程？如果不是，說明理由；為一元二次方程？如果

4、不是，說明理由； 如果是，指出它的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)如果是，指出它的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù) 及常數(shù)項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng). . 82213xxx 解：去括號(hào)，得解：去括號(hào)，得 3x2-3x=2x+4+8. 移項(xiàng)，得移項(xiàng)，得 3x2-3x-2x-4-8=0. 合并同類項(xiàng)，得合并同類項(xiàng)，得 3x2-5x-12=0. 原方程是一元二次方程；二次項(xiàng)系數(shù)是原方程是一元二次方程；二次項(xiàng)系數(shù)是， 一次項(xiàng)系數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)是 - 5- 5，常數(shù)項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)是 12 12. . . 023 2 xx . 0352 2 xx . 253 2 xx . 32312xx （1） （2） （3） （4） 答：答：a=1, b=3, c=

5、-2. 答：答：a=3, b=-5, c= 2. 答：答：a=-2, b=-5, c= 3. . 0253 2 xx . 056 , 32346 2 2 xx xxx 答：答：a=6, b=1, c= -5. 練習(xí)：說出下列方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一練習(xí)：說出下列方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一 次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)： 例例2 2、 已知：關(guān)于已知：關(guān)于x的方程的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m 是一元二次方程是一元二次方程, 求：求：m的取值范圍的取值范圍. 解：解：原方程是一元二次方程，原方程是一元二次方程， 2m-10， m . 2 1 二、一元二次方程的解法二、一元二次方程的解法

6、形如形如 的一元二次方程的解法：的一元二次方程的解法： ax2=0 (a0) ax2=0 (a0) 2x2=0, 解：解：x2=0， x=0. 形如形如 的一元二次方程的解法：的一元二次方程的解法： ax2=0 (a0) 5x2=0, 解：解：x2=0， x=0. 形如形如 的一元二次方程的解法：的一元二次方程的解法： ax2=0 (a0) -3x2=0, 解：解：x2=0， x=0. 形如形如 的一元二次方程的解法：的一元二次方程的解法： ax2=0 (a0) ax2=0, 解：解：x2=0， x=0. 形如形如 的一元二次方程的解法：的一元二次方程的解法： 4x2=36, 解：解：x2=9

7、， x=3. 即即x1=3, x2= -3. 4x2=36, x2=9， 4x2-36=0. 解：解： x=3. 即即x1=3, x2= -3. 0 2 cax . 2 cax . 2 a c x . a c x當(dāng)ac0時(shí) ， 形如形如 （a0，c 0）的的 一元二次方程的解法：一元二次方程的解法： 當(dāng)ac0時(shí) ，此方程無實(shí)數(shù)解此方程無實(shí)數(shù)解. 解法解法1、直接開平方法、直接開平方法 如如 x2=8, 2x2=9, -3x2+7=0,等等等等. x2=8. . 22 , 8 x x解： 2x2=9. . 2 23 , 2 23 , 2 23 , 2 9 , 2 9 21 2 xx x x x解

8、： -3x2+7=0. 解： . 3 21 , 3 21 , 3 21 , 3 7 , 3 7 ,73 21 2 2 xx x x x x . 52 2 x . 52x . 52x . 52,52 21 xx即： 將將(x-2)看作一個(gè)看作一個(gè) 整體整體, 開平方，得開平方，得: . 522 2 x , 2 5 2 2 x解：系數(shù)化解：系數(shù)化1，得，得 . 522 2 x . 2 5 2x , 2 10 2 1 x , 2 5 2 2 x解：解：系數(shù)化系數(shù)化1，得，得 2 10 2 x 開平方開平方，得，得 解這兩個(gè)一元一次方程解這兩個(gè)一元一次方程，得，得 . 2 10 2x或或 . 2 10

9、 2 2 x 解法解法1：直接開平方法：直接開平方法 凡形如凡形如 ax2+c=0 (a0, ac0) 或或 a(x+p)2+q=0 (a0, aq0) 的一元二次方程都可用直接開平方法解的一元二次方程都可用直接開平方法解. . 52 2 x . 544 2 xx . 52 2 x . 544 2 xx 寫成（）寫成（）2 的形式，的形式，得得 . 52 2 x . 544 2 xx 寫成（）寫成（）2 的形式，的形式，得得 .14 2 xx . 52 2 x . 544 2 xx 寫成（）寫成（）2 的形式，的形式，得得 配方：配方：左右兩邊同時(shí)加上一個(gè)常左右兩邊同時(shí)加上一個(gè)常 數(shù)，湊成完全

10、平方，得數(shù)，湊成完全平方，得 . 4144 2 xx .14 2 xx . 52 2 x . 544 2 xx . 014 2 xx 寫成（）寫成（）2 的形式，的形式，得得 . 4144 2 xx .14 2 xx 配方：配方：左右兩邊同時(shí)加上一個(gè)常左右兩邊同時(shí)加上一個(gè)常 數(shù)，湊成完全平方，得數(shù)，湊成完全平方，得 . 52 2 x . 544 2 xx . 014 2 xx 寫成（）寫成（）2 的形式，的形式，得得 . 4144 2 xx .14 2 xx 解：解： 移項(xiàng)：移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得 配方：配方：左右兩邊同時(shí)加上一個(gè)常左右兩邊同時(shí)加上一個(gè)常 數(shù)，湊

11、成完全平方，得數(shù)，湊成完全平方，得 . 52 2 x . 544 2 xx . 014 2 xx 寫成（）寫成（）2 的形式，的形式，得得 . 4144 2 xx .14 2 xx 解：解： 移項(xiàng)：移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得 開平方，開平方，得得. 52x . 52,52 21 xx 解這兩個(gè)方程，解這兩個(gè)方程，得得 配方：配方：左右兩邊同時(shí)加上一個(gè)常左右兩邊同時(shí)加上一個(gè)常 數(shù)，湊成完全平方，得數(shù)，湊成完全平方，得 怎樣配方：怎樣配方：常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng) 系數(shù)一半的平方系數(shù)一半的平方. . a22ab+b2=(ab)2. . 52 2 x . 544 2

12、xx . 014 2 xx 寫成（）寫成（）2 的形式的形式，得得 配方配方：左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng) 系數(shù)一半的平方，得系數(shù)一半的平方，得 . 4144 2 xx .14 2 xx 解：解： 移項(xiàng)移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得 開平方開平方，得得. 52x . 52,52 21 xx 解這兩個(gè)方程解這兩個(gè)方程，得得 二次項(xiàng)系數(shù)化二次項(xiàng)系數(shù)化1：兩邊同時(shí)兩邊同時(shí) 除以二次項(xiàng)系數(shù)，得除以二次項(xiàng)系數(shù)，得 . 03123 2 xx 寫成（）寫成（）2 的形式，的形式，得得 配方：配方：左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng) 系數(shù)一半的平方，得系數(shù)一半

13、的平方，得 解：解： 移項(xiàng)：移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得 開平方，開平方，得得 解這兩個(gè)方程，解這兩個(gè)方程，得得 二次項(xiàng)系數(shù)化二次項(xiàng)系數(shù)化1：兩邊同時(shí)兩邊同時(shí) 除以二次項(xiàng)系數(shù)，得除以二次項(xiàng)系數(shù)，得 . 076 2 xx練習(xí)： . 23 2 x . 296 2 xx 寫成（）寫成（）2 的形式，的形式，得得 配方：配方：左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng) 系數(shù)一半的平方，得系數(shù)一半的平方，得 . 9796 2 xx .76 2 xx 解：解： 移項(xiàng)：移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得 開平方，開平方，得得. 23x . 23,23 21 x

14、x 解這兩個(gè)方程，解這兩個(gè)方程，得得 . 076 2 xx練習(xí)： 寫成（）寫成（）2 的形式，的形式，得得 配方：配方：左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng) 系數(shù)一半的平方，得系數(shù)一半的平方，得 解：解： 移項(xiàng)：移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得 開平方，開平方，得得 解這兩個(gè)方程，解這兩個(gè)方程，得得 二次項(xiàng)系數(shù)化二次項(xiàng)系數(shù)化1：兩邊同時(shí)兩邊同時(shí) 除以二次項(xiàng)系數(shù)，得除以二次項(xiàng)系數(shù)，得 .732 2 xx練習(xí)： . 16 24 16 49 4 7 2 x . 2 7 2 3 2 xx 寫成（）寫成（）2 的形式，的形式，得得 配方：配方：左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)左右兩邊

15、同時(shí)加上一次項(xiàng) 系數(shù)一半的平方，得系數(shù)一半的平方，得 . 2 3 4 7 4 7 2 7 22 2 xx . 2 3 2 7 2 xx 解：解： 移項(xiàng)：移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊，得 開平方，開平方，得得 . 16 25 4 7 x . 3, 2 1 . 4 5 4 7 , 4 5 4 7 21 21 xx xx 解這兩個(gè)方程，解這兩個(gè)方程，得得 二次項(xiàng)系數(shù)化二次項(xiàng)系數(shù)化1：兩邊同時(shí)兩邊同時(shí) 除以二次項(xiàng)系數(shù)，得除以二次項(xiàng)系數(shù)，得 .732 2 xx練習(xí)： 解法解法2 2：配方法：配方法 1、將二次項(xiàng)系數(shù)化為、將二次項(xiàng)系數(shù)化為1：兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；：兩邊同時(shí)除以二次

16、項(xiàng)系數(shù)； 2、移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊；、移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一邊； 3、配方：配方：左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方； 4、等號(hào)左邊寫成（、等號(hào)左邊寫成（ ）2 的形式；的形式； 5、開平方：化成一元一次方程；、開平方：化成一元一次方程； 6、解一元一次方程；、解一元一次方程； 配方法的基本步驟配方法的基本步驟： 7、寫出方程的解、寫出方程的解. 三、練習(xí)三、練習(xí) ._8 2 2 xxx ._5 2 2 xxx ._ 3 4 2 2 xxx ._ 4 3 2 2 xxx ._ 2 2 xpxx 練習(xí)練習(xí) 1、填空：、填空： （1） （2） （3）

17、 （4） （5） ._8 2 2 xxx ._5 2 2 xxx ._ 3 4 2 2 xxx ._ 4 3 2 2 xxx ._ 2 2 xpxx 164 4 25 2 5 3 2 9 4 8 3 64 9 2 p 4 2 p 練習(xí)練習(xí) 1、填空、填空： （1） （2） （3） （4） （5） 2、用配方法解下列方程、用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) .613 ; 065 ; 0472 ; 046 2 2 2 2 yy xx tt xx (1). 046 2 xx . 53,53 , 53 , 53 , 9496 , 46 21 2 2 2 xx x x xx xx 解：

18、解： (2) . 0472 2 tt . 2 1 , 4 , 4 9 4 7 , 4 9 4 7 , 16 81 4 7 , 16 49 16 32 4 7 , 4 7 2 4 7 2 7 , 2 2 7 , 472 21 21 2 22 2 22 tt tt tt tt tttt解：解： (3). 065 2 xx . 6, 1, 2 7 2 5 , 2 7 2 5 , 4 49 2 5 , 4 25 6 2 5 , 2 5 6 2 5 5 , 65 2121 2 22 2 2 xxxx x x xx xx解：解： (4) .613 2 yy . 3 323 , 3 323 , 3 32 1, 3 32 1 , 3 4 1, 3 4 1 , 1 3 1 12 , 3 1 2, 0163 21 21 2 2 22 yy yy yy yy yyyy 或?qū)懗?解：解： 四、小結(jié)四、小結(jié) 1、一元二次方程的概念；、一元二次方程的概念； 2、兩種解法：（、兩種解法：（1）直接開平方法；）直接開平方法； （2）配方法）配方法. 3、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 五、作業(yè)五、作業(yè) . 3 4 34 ;0 2 1 23 ;12822 ;01211 .1 2 2 2 2 y x x y .10064 ; 1733 ;49172 ;1651 . 2 2 2 2 2 y