3.5 轉動慣量[上課課堂]

1、3.5 3.5 轉動慣量轉動慣量 1課程章節(jié) 3.5 轉動慣量轉動慣量 角速度 描述剛體的整體轉動，我 們希望把剛體的動量矩與動能，和 角速度 聯(lián)系起來。 這將引出轉動慣量的概念。 2課程章節(jié) 3.5.1 剛體的動量矩剛體的動量矩 定點轉動剛體的動量矩定點轉動剛體的動量矩 從質點組的角度來寫： i iii mvrJ i iii m)(rr rv )()()(baccabcba i iiii rm)( 2 rr (1) x y z i i v i r O M ziyixii zyxeeer(2) zzyyxx eee(3) (2)(3)代入(1)可得 zzyyxx JJJeeeJ 靜止系或活 動

2、系都可以 3課程章節(jié) 3.5.1 剛體的動量矩剛體的動量矩定點轉動剛體的動量矩定點轉動剛體的動量矩 x y z i i v i r O M zzyyxx JJJeeeJ 其中 zzzyzyxzxz zyzyyyxyxy zxzyxyxxxx IIIJ IIIJ IIIJ i iiizz i iiiyy i iiixx yxmI xzmI zymI )( )( )( 22 22 22 i iiizyyz i iiixzzx i iiiyxxy zymII xzmII yxmII 4課程章節(jié) 3.5.2 剛體的轉動動能剛體的轉動動能 i iii mTvv 2 1 i iii m)( 2 1 rv

3、i iii m)( 2 1 vrJ 2 1 )( 2 1 zzyyxx JJJ(1) zzzyzyxzxz zyzyyyxyxy zxzyxyxxxx IIIJ IIIJ IIIJ (2) )()()(bacacbcba (2)代入(1)可得 )222( 2 1 222 xzzxzyyzyxxyzzzyyyxxx IIIIIIT 5課程章節(jié) 3.5.3 轉動慣量的概念轉動慣量的概念 由轉動動能引入轉動慣量由轉動動能引入轉動慣量 i iii mTvv 2 1 i iii m)()( 2 1 rr i i i O z e i r iiii rsin|r i ii m 2 | 2 1 r i ii

4、m 22 2 1 記 i ii mI 2 V dm 2 稱為剛體對轉軸的 轉動慣量 2 2 1 IT 6課程章節(jié) 3.5.3 轉動慣量的概念轉動慣量的概念 2 mdII Cl 平行軸定理平行軸定理 C d l C l 已知剛體對通過其質心的某軸線lC 的轉動慣量為IC, 則對與lC平行的軸 線l的轉動慣量為。 其中 是剛體的總質量； m d是兩軸線的垂直距離。 7課程章節(jié) 回轉半徑回轉半徑 3.5.3 轉動慣量的概念轉動慣量的概念 有時為了方便，將剛體對某軸線的轉動 慣量等效地寫為 2 mkI 其中，m是剛體的質量；k叫做剛體對該軸 線的回轉半徑. 相當于將剛體簡化為一個集中了所有質 量的點，

5、此點到轉軸的距離就是k. 8課程章節(jié) 3.5.4 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球 轉動慣量的一般計算式轉動慣量的一般計算式 i i r O M l 某時刻，設轉軸l的方向 余弦分別是 ，, , , , zyx 則 )222 ( 2 1 222 xzzxzyyzyxxy zzzyyyxxx III IIIT 轉動動能 )222 ( 2 1 2222 zxyzxy zzyyxx III III x y z 建立直角坐標系O-xyz 靜止系或活 動系都可以 9課程章節(jié) 轉動慣量的一般計算式轉動慣量的一般計算式3.5.4 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球 )222 ( 2 1 2222 zx

6、yzxyzzyyxx IIIIIIT 前面已知 2 2 1 IT 兩式比較可得剛體對轉軸l的轉動慣量為 zxyzxyzzyyxx IIIIIII222 222 i iiizz i iiiyy i iiixx yxmI xzmI zymI )( )( )( 22 22 22 i iiizyyz i iiixzzx i iiiyxxy zymII xzmII yxmII 10課程章節(jié) 轉動慣量的一般計算式轉動慣量的一般計算式3.5.4 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球 zxyzxyzzyyxx IIIIIII222 222 dmyxyxmI dmxzxzmI dmzyzymI V i iiiz

7、z i V iiiyy V i iiixx )()( )()( )()( 2222 2222 2222 V i iiizyyz V i iiixzzx V i iiiyxxy yzdmzymII zxdmxzmII xydmyxmII 即剛體對三 個坐標軸的 轉動慣量。 即剛體對三 個坐標軸的 慣量積。 11課程章節(jié) 3.5.4 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球 慣量張量慣量張量 zzzyzx yzyyyz xzxyxx III III III 矩陣元統(tǒng)稱 慣量系數(shù) zxyzxyzzyyxx IIIIIII222 222 則對轉軸的轉動慣量可寫成矩陣形式 zzzyzx yzyyyz xzx

8、yxx III III III 12課程章節(jié) 3.5.4 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球慣量張量慣量張量 轉動動能的矩陣形式轉動動能的矩陣形式 動量矩的矩陣形式動量矩的矩陣形式 13課程章節(jié) 3.5.4 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球 慣量橢球的概念慣量橢球的概念 以剛體自身作為參考系，則瞬軸隨時間變化繞O 點轉動，不同時刻有不同的瞬軸。 記所有這些瞬軸為ln, n=1,2, 在ln上取一點Qn, 要求滿足： ,.2 , 1 , 1 n I OQ n n 剛體對ln的轉動慣量為In 則點集Q1,Q2,Qn,在空間密布成一個橢球 面，此橢球稱為此剛體的慣量橢球。 1 Q 1 l 2

9、Q 2 l n Q n l O 做定點轉動的剛體 14課程章節(jié) 3.5.4 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球慣量橢球的概念慣量橢球的概念 求證：定點轉動剛體上滿足 所有點Q 構成一個橢球面。 I OQ 1 證明證明： 在剛體上建立活動系O-xyz, 并設瞬軸l的方 向余弦為 。, x y z 令R I OQ 1 設Q點的坐標為(x,y,z)，則 RzRyRx , , (2) R z R y R x , , (1) 2 1 R I Q l O 做定點轉動的剛體 15課程章節(jié) 3.5.4 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球慣量橢球的概念慣量橢球的概念證明證明 zxyzxyzzyyxx III

10、IIII222 222 已知 (3) (2)代入(3), 并利用(1)消去I和R可得 1222 222 zxIyzIxyIzIyIxI zxyzxyzzyyxx 因為是活動系，或上式中慣量系數(shù)均為常數(shù)。 上式即點Q的坐標必須滿足的方程，這是一個 橢球面方程。得證。 16課程章節(jié) 3.5.4 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球慣量橢球的概念慣量橢球的概念 慣量橢球方程慣量橢球方程 x y z O 做定點轉動的剛體 Q l 綜上所述，任何做定點轉 動的剛體都“背著一個隱 形的包袱”即慣量橢 球。 在轉動定點O上架設一個 活動系O-xyz。 其中，Ixx,Iyy,Izz分別是剛體對三個坐標軸的轉動

11、慣 量，Ixy,Iyz,Izx分別是慣量積，它們都是常數(shù)。 1222 222 zxIyzIxyIzIyIxI zxyzxyzzyyxx 則此橢球面方程為 17課程章節(jié) 3.5.4 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球慣量橢球的概念慣量橢球的概念 慣量橢球的意義慣量橢球的意義 x y z O 做定點轉動的剛體 Q l 慣量橢球的矢徑 OQR 與剛體對 軸的轉動慣量 有如下關系： OQ 2 1 R I 因此如果知道了慣量橢球，可以利用上式 計算剛體對任意瞬軸的轉動慣量。 18課程章節(jié) 3.5.5 慣量主軸慣量主軸 x y z O 慣量主軸 Q l 慣量橢球是在活動系下 描述的結果。 所以，慣量橢球

12、也是固連 在剛體上的。 于是我們可以選擇一個 特殊的活動系： 以慣量橢球的三條互相垂直的對稱軸作為活動 系的三條坐標軸。這樣的活動系稱為主軸坐標 系。三條坐標軸稱為慣量主軸。 主軸坐標系和慣量主軸的概念主軸坐標系和慣量主軸的概念 19課程章節(jié) 3.5.5 慣量主軸慣量主軸 主軸系的特點主軸系的特點慣量積均為零慣量積均為零 x y z O Q l 證明： 在橢球面上任取一點Q(x,y,z) 根據(jù)對稱性， Q(x,y, z) 也必在橢球面上. 將這兩點分別代入橢球面方程，可得 1222 222 zxIyzIxyIzIyIxI zxyzxyzzyyxx (1) 1222 222 zxIyzIxyIz

13、IyIxI zxyzxyzzyyxx (2) 兩式相減可得 Iyzy+Izxx=0. 因為x,y是任意的，故必須Iyz=Izx=0 同理可證0 xy I 20課程章節(jié) 3.5.5 慣量主軸慣量主軸 主軸系的優(yōu)點主軸系的優(yōu)點簡潔簡潔 3 2 1 00 00 00 I I I 在主軸系下，慣量張量對角化為 zzyyxx IIIIII 321 , ,其中 對瞬軸 的轉動慣量：),(l 慣量橢球方程簡化為 對轉動定點的動量矩簡化為 轉動動能簡化為 21課程章節(jié) 3.5.5 慣量主軸慣量主軸 判斷剛體慣量主軸的方法判斷剛體慣量主軸的方法 (1) 若均勻剛體有對稱軸，且通過轉動定點， 則此對稱軸必是其慣量

14、主軸。 證明： 設此對稱軸為z軸。則點(xi, yi, zi)與點(xi,yi, zi) 必同在剛體上。于是與z軸相關的兩個慣量積： 0 , 0 i iiiyz i iiixz zym IzxmI 所以，z軸必是慣量主軸。 22課程章節(jié) 3.5.5 慣量主軸慣量主軸判斷剛體慣量主軸的方法判斷剛體慣量主軸的方法 (2) 若均勻剛體有對稱面，且轉動定點在此對 稱面上，則與該面垂直且通過轉動定點的軸必 是其慣量主軸。 證明： 以轉動定點O為原點，以此對稱面為xy平面建 立活動坐標系O-xyz。 則點(xi, yi, zi)與點(xi, yi, zi)必同在此剛體上。 因此慣量積： i iiizx x

15、zmI0 i iiizy yzmI0， 故，z軸必是慣量主軸。 23課程章節(jié) 3.5 轉動慣量轉動慣量例題例題 均勻長方形薄片的邊長為a和b, 質量為m，求此長 方形薄片繞其對角線轉動時的轉動慣量。 x y O 解：如圖建立主軸 坐標系。 l b a 薄板對對角線l的轉 動慣量，在主軸坐標 系下的計算式為 2 3 2 2 2 1 IIII l (1) 其中I1,I2,I3分別是薄板對三個坐標軸的轉動慣量， 是對角線l的三個方向余弦。 , 24課程章節(jié) 3.5 轉動慣量轉動慣量例題例題 22 cos ba a 22 ) 2 cos( ba b 0 2 cos (2) 對角線l的三個方向余弦分別為 設薄板質量密度為 ，厚度為t, 則圖中與x軸平 行的長條狀體積元的質量為 。 atdydm 薄板對x軸的轉動慣量為 1212 23 2