3.5 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[上課課堂]

1、3.5 3.5 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 1課程章節(jié) 3.5 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 角速度 描述剛體的整體轉(zhuǎn)動(dòng)，我 們希望把剛體的動(dòng)量矩與動(dòng)能，和 角速度 聯(lián)系起來(lái)。 這將引出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念。 2課程章節(jié) 3.5.1 剛體的動(dòng)量矩剛體的動(dòng)量矩 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩 從質(zhì)點(diǎn)組的角度來(lái)寫(xiě)： i iii mvrJ i iii m)(rr rv )()()(baccabcba i iiii rm)( 2 rr (1) x y z i i v i r O M ziyixii zyxeeer(2) zzyyxx eee(3) (2)(3)代入(1)可得 zzyyxx JJJeeeJ 靜止系或活 動(dòng)

2、系都可以 3課程章節(jié) 3.5.1 剛體的動(dòng)量矩剛體的動(dòng)量矩定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩 x y z i i v i r O M zzyyxx JJJeeeJ 其中 zzzyzyxzxz zyzyyyxyxy zxzyxyxxxx IIIJ IIIJ IIIJ i iiizz i iiiyy i iiixx yxmI xzmI zymI )( )( )( 22 22 22 i iiizyyz i iiixzzx i iiiyxxy zymII xzmII yxmII 4課程章節(jié) 3.5.2 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 i iii mTvv 2 1 i iii m)( 2 1 rv

3、i iii m)( 2 1 vrJ 2 1 )( 2 1 zzyyxx JJJ(1) zzzyzyxzxz zyzyyyxyxy zxzyxyxxxx IIIJ IIIJ IIIJ (2) )()()(bacacbcba (2)代入(1)可得 )222( 2 1 222 xzzxzyyzyxxyzzzyyyxxx IIIIIIT 5課程章節(jié) 3.5.3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念 由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能引入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能引入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 i iii mTvv 2 1 i iii m)()( 2 1 rr i i i O z e i r iiii rsin|r i ii m 2 | 2 1 r i ii

4、m 22 2 1 記 i ii mI 2 V dm 2 稱(chēng)為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2 2 1 IT 6課程章節(jié) 3.5.3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念 2 mdII Cl 平行軸定理平行軸定理 C d l C l 已知?jiǎng)傮w對(duì)通過(guò)其質(zhì)心的某軸線lC 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IC, 則對(duì)與lC平行的軸 線l的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。 其中 是剛體的總質(zhì)量； m d是兩軸線的垂直距離。 7課程章節(jié) 回轉(zhuǎn)半徑回轉(zhuǎn)半徑 3.5.3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念 有時(shí)為了方便，將剛體對(duì)某軸線的轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量等效地寫(xiě)為 2 mkI 其中，m是剛體的質(zhì)量；k叫做剛體對(duì)該軸 線的回轉(zhuǎn)半徑. 相當(dāng)于將剛體簡(jiǎn)化為一個(gè)集中了所有質(zhì) 量的點(diǎn)，

5、此點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離就是k. 8課程章節(jié) 3.5.4 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一般計(jì)算式轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一般計(jì)算式 i i r O M l 某時(shí)刻，設(shè)轉(zhuǎn)軸l的方向 余弦分別是 ，, , , , zyx 則 )222 ( 2 1 222 xzzxzyyzyxxy zzzyyyxxx III IIIT 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 )222 ( 2 1 2222 zxyzxy zzyyxx III III x y z 建立直角坐標(biāo)系O-xyz 靜止系或活 動(dòng)系都可以 9課程章節(jié) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一般計(jì)算式轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一般計(jì)算式3.5.4 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球 )222 ( 2 1 2222 zx

6、yzxyzzyyxx IIIIIIT 前面已知 2 2 1 IT 兩式比較可得剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸l的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 zxyzxyzzyyxx IIIIIII222 222 i iiizz i iiiyy i iiixx yxmI xzmI zymI )( )( )( 22 22 22 i iiizyyz i iiixzzx i iiiyxxy zymII xzmII yxmII 10課程章節(jié) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一般計(jì)算式轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一般計(jì)算式3.5.4 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球 zxyzxyzzyyxx IIIIIII222 222 dmyxyxmI dmxzxzmI dmzyzymI V i iiiz

7、z i V iiiyy V i iiixx )()( )()( )()( 2222 2222 2222 V i iiizyyz V i iiixzzx V i iiiyxxy yzdmzymII zxdmxzmII xydmyxmII 即剛體對(duì)三 個(gè)坐標(biāo)軸的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 即剛體對(duì)三 個(gè)坐標(biāo)軸的 慣量積。 11課程章節(jié) 3.5.4 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球 慣量張量慣量張量 zzzyzx yzyyyz xzxyxx III III III 矩陣元統(tǒng)稱(chēng) 慣量系數(shù) zxyzxyzzyyxx IIIIIII222 222 則對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可寫(xiě)成矩陣形式 zzzyzx yzyyyz xzx

8、yxx III III III 12課程章節(jié) 3.5.4 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球慣量張量慣量張量 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的矩陣形式轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的矩陣形式 動(dòng)量矩的矩陣形式動(dòng)量矩的矩陣形式 13課程章節(jié) 3.5.4 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球 慣量橢球的概念慣量橢球的概念 以剛體自身作為參考系，則瞬軸隨時(shí)間變化繞O 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，不同時(shí)刻有不同的瞬軸。 記所有這些瞬軸為ln, n=1,2, 在ln上取一點(diǎn)Qn, 要求滿足： ,.2 , 1 , 1 n I OQ n n 剛體對(duì)ln的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為In 則點(diǎn)集Q1,Q2,Qn,在空間密布成一個(gè)橢球 面，此橢球稱(chēng)為此剛體的慣量橢球。 1 Q 1 l 2

9、Q 2 l n Q n l O 做定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體 14課程章節(jié) 3.5.4 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球慣量橢球的概念慣量橢球的概念 求證：定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上滿足 所有點(diǎn)Q 構(gòu)成一個(gè)橢球面。 I OQ 1 證明證明： 在剛體上建立活動(dòng)系O-xyz, 并設(shè)瞬軸l的方 向余弦為 。, x y z 令R I OQ 1 設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,z)，則 RzRyRx , , (2) R z R y R x , , (1) 2 1 R I Q l O 做定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體 15課程章節(jié) 3.5.4 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球慣量橢球的概念慣量橢球的概念證明證明 zxyzxyzzyyxx III

10、IIII222 222 已知 (3) (2)代入(3), 并利用(1)消去I和R可得 1222 222 zxIyzIxyIzIyIxI zxyzxyzzyyxx 因?yàn)槭腔顒?dòng)系，或上式中慣量系數(shù)均為常數(shù)。 上式即點(diǎn)Q的坐標(biāo)必須滿足的方程，這是一個(gè) 橢球面方程。得證。 16課程章節(jié) 3.5.4 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球慣量橢球的概念慣量橢球的概念 慣量橢球方程慣量橢球方程 x y z O 做定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體 Q l 綜上所述，任何做定點(diǎn)轉(zhuǎn) 動(dòng)的剛體都“背著一個(gè)隱 形的包袱”即慣量橢 球。 在轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)O上架設(shè)一個(gè) 活動(dòng)系O-xyz。 其中，Ixx,Iyy,Izz分別是剛體對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

11、慣 量，Ixy,Iyz,Izx分別是慣量積，它們都是常數(shù)。 1222 222 zxIyzIxyIzIyIxI zxyzxyzzyyxx 則此橢球面方程為 17課程章節(jié) 3.5.4 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球慣量橢球的概念慣量橢球的概念 慣量橢球的意義慣量橢球的意義 x y z O 做定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體 Q l 慣量橢球的矢徑 OQR 與剛體對(duì) 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 有如下關(guān)系： OQ 2 1 R I 因此如果知道了慣量橢球，可以利用上式 計(jì)算剛體對(duì)任意瞬軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 18課程章節(jié) 3.5.5 慣量主軸慣量主軸 x y z O 慣量主軸 Q l 慣量橢球是在活動(dòng)系下 描述的結(jié)果。 所以，慣量橢球

12、也是固連 在剛體上的。 于是我們可以選擇一個(gè) 特殊的活動(dòng)系： 以慣量橢球的三條互相垂直的對(duì)稱(chēng)軸作為活動(dòng) 系的三條坐標(biāo)軸。這樣的活動(dòng)系稱(chēng)為主軸坐標(biāo) 系。三條坐標(biāo)軸稱(chēng)為慣量主軸。 主軸坐標(biāo)系和慣量主軸的概念主軸坐標(biāo)系和慣量主軸的概念 19課程章節(jié) 3.5.5 慣量主軸慣量主軸 主軸系的特點(diǎn)主軸系的特點(diǎn)慣量積均為零慣量積均為零 x y z O Q l 證明： 在橢球面上任取一點(diǎn)Q(x,y,z) 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性， Q(x,y, z) 也必在橢球面上. 將這兩點(diǎn)分別代入橢球面方程，可得 1222 222 zxIyzIxyIzIyIxI zxyzxyzzyyxx (1) 1222 222 zxIyzIxyIz

13、IyIxI zxyzxyzzyyxx (2) 兩式相減可得 Iyzy+Izxx=0. 因?yàn)閤,y是任意的，故必須Iyz=Izx=0 同理可證0 xy I 20課程章節(jié) 3.5.5 慣量主軸慣量主軸 主軸系的優(yōu)點(diǎn)主軸系的優(yōu)點(diǎn)簡(jiǎn)潔簡(jiǎn)潔 3 2 1 00 00 00 I I I 在主軸系下，慣量張量對(duì)角化為 zzyyxx IIIIII 321 , ,其中 對(duì)瞬軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：),(l 慣量橢球方程簡(jiǎn)化為 對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)的動(dòng)量矩簡(jiǎn)化為 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能簡(jiǎn)化為 21課程章節(jié) 3.5.5 慣量主軸慣量主軸 判斷剛體慣量主軸的方法判斷剛體慣量主軸的方法 (1) 若均勻剛體有對(duì)稱(chēng)軸，且通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)， 則此對(duì)稱(chēng)軸必是其慣量

14、主軸。 證明： 設(shè)此對(duì)稱(chēng)軸為z軸。則點(diǎn)(xi, yi, zi)與點(diǎn)(xi,yi, zi) 必同在剛體上。于是與z軸相關(guān)的兩個(gè)慣量積： 0 , 0 i iiiyz i iiixz zym IzxmI 所以，z軸必是慣量主軸。 22課程章節(jié) 3.5.5 慣量主軸慣量主軸判斷剛體慣量主軸的方法判斷剛體慣量主軸的方法 (2) 若均勻剛體有對(duì)稱(chēng)面，且轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)在此對(duì) 稱(chēng)面上，則與該面垂直且通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)的軸必 是其慣量主軸。 證明： 以轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)O為原點(diǎn)，以此對(duì)稱(chēng)面為xy平面建 立活動(dòng)坐標(biāo)系O-xyz。 則點(diǎn)(xi, yi, zi)與點(diǎn)(xi, yi, zi)必同在此剛體上。 因此慣量積： i iiizx x

15、zmI0 i iiizy yzmI0， 故，z軸必是慣量主軸。 23課程章節(jié) 3.5 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例題例題 均勻長(zhǎng)方形薄片的邊長(zhǎng)為a和b, 質(zhì)量為m，求此長(zhǎng) 方形薄片繞其對(duì)角線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 x y O 解：如圖建立主軸 坐標(biāo)系。 l b a 薄板對(duì)對(duì)角線l的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量，在主軸坐標(biāo) 系下的計(jì)算式為 2 3 2 2 2 1 IIII l (1) 其中I1,I2,I3分別是薄板對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量， 是對(duì)角線l的三個(gè)方向余弦。 , 24課程章節(jié) 3.5 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例題例題 22 cos ba a 22 ) 2 cos( ba b 0 2 cos (2) 對(duì)角線l的三個(gè)方向余弦分別為 設(shè)薄板質(zhì)量密度為 ，厚度為t, 則圖中與x軸平 行的長(zhǎng)條狀體積元的質(zhì)量為 。 atdydm 薄板對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 1212 23 2