動點問題中的最值最短路徑問題解析版

1、專題01動點問題中的最值、最短路徑問題動點問題是初中數(shù)學階段的難點，它貫穿于整個初中數(shù)學，自數(shù)軸起始，至幾何圖形的存在性、幾何圖形的長度及面積的最值，函數(shù)的綜合類題目，無不包含其中其中尤以幾何圖形的長度及面積的最值、最短路徑問題的求解最為繁瑣且靈活多變，而其中又有一些技巧性很強的數(shù)學思想（轉化思想） ，本專題以幾個基本的知識點為經(jīng)，以歷年來中考真題為緯，由淺入深 探討此類題目的求解技巧及方法 .、基礎知識點綜述1. 兩點之間，線段最短；2. 垂線段最短；3. 若A、B是平面直角坐標系內兩定點，P是某直線上一動點，當P、A、B在一條直線上時，|PA PB最大，最大值為線段 AB的長（如下圖所示）

2、；la/y i / z/pPOx4.最短路徑模型（1）單動點模型作圖方法：作已知點關于動點所在直線的對稱點，連接成線段與動點所在直線的交點即為所求點的位 置.如下圖所示，P是x軸上一動點，求 PA+PB的最小值的作圖.y（2）雙動點模型P是/ AOB內一點，M、N分別是邊 OA、OB上動點，求作 PMN周長最小值作圖方法：作已知點 P關于動點所在直線 OA、OB的對稱點P、P,連接PP與動點所在直線的交點M、N即為所求5.二次函數(shù)的最大（?。┲礧ord文檔2y ax h k，當a0時，y有最小值k；當a0 )經(jīng)過點 A(- 1,0)，點 M(m,O)是 x軸正半軸上的動點，若點1丄，yQ）在拋

3、物線上,233/22QM的最小值為7時，求b的值.例5. （ 2019）如圖，一副含30。和45。角的三角板ABC和EDF拼合在個平面上，邊 AC與EF重合,AC 12cm 當點E從點A出發(fā)沿AC方向滑動時，點F同時從點C出發(fā)沿射線BC方向滑動.當點E從點A滑動到點C時，點D運動的路徑長為cm ;連接BD，則 ABD的面積最大值為2cm例6.(2019如圖，在菱形 ABCD中，連接BD、AC交于點O,過點O作OH丄BC于點H,以O為圓心，OH為半徑的半圓交 AC于點M.(1) 求證：DC是圓O的切線；(2) 若AC=4MC,且AC=8，求圖中陰影部分面積；(3) 在(2)的前提下，P是線段BD

4、上的一動點，當PD為何值時，PH+PM的值最小，并求出最小值專題01動點問題中的最值、最短路徑問題(解析)例1.（ 2019 涼山州）如圖，正方形 ABCD中，AB=12 , AE=3，點P在BC上運動（不與 B、C重合），過點P作PQ丄EP,交CD于點Q,貝U CQ的最大值為【答案】4.【解析】解： PQ丄EP,/ EPQ=90。，即 ZEPBf / QPC=90四邊形ABCD是正方形，/ B= / C=90 ,ZEPBn / BEP=90/ BEP= / QPC, BEFA CPQ, be CP CQ，/ AB=12 , AE=3 , BE=9 ,設 CQ=y, BP=x, CP=12 x

5、, ( 0x12 ) 9 x12 x y x 12 x 即y k當x=6時，y有最大值為4, 即CQ的最大值為4.【點睛】此題為“一線三直角模型”，解題方法為相似三角形性質求解，綜合利用二次函數(shù)的性質求解最值問題例2.（2019）如圖，已知 A、B兩點的坐標分別為（8,0） , （0,8） 點C、F分別是直線x= 5和x軸上的動點，CF=10，點D是線段CF的中點，連接 AD交y軸于點 巳當厶ABE面積取最小值時，tan / BAD=A.81717c. 4D.-【答案】B.【解析】解：Sabe= 1 BE OA 4BE ,2當BE取最小值時， ABE面積為最小值設x= 5與x軸交于點G,連接D

6、G,因為D為CF中點， CFG為直角三角形，1 “廠所以 DG=CD 5,2AD與圓G相切時，BE的長度最小，如下圖,D點的運動軌跡為以 G為圓心，以5半徑的圓上，如圖所示iyBDEGOAX= 5x由圖可知:x=- 5過點E作EH丄AB于H,-OG=5 , 0A=8 , DG=5 ,在RtA ADG中，由勾股定理得：AD=12 , AOEs ADG,AO AD OE dg , 10 求得：OE= ,314B旨，/琢,AB=8.2 EH=BH=AH= AB BH= 7-233 tan/ BAD=EHAH72317 23717由 OB=OA=8，得:故答案為B.【點睛】此題解題的關鍵是找到厶 AB

7、E面積最小時即是 AD與D的遠動軌跡圓相切的時刻.進而構造以 / BAD為內角的直角三角形，利用勾股定理求出邊長，代入三角函數(shù)定義求解例3. ( 2019 )如圖，矩形硬紙片 ABCD的頂點A在y軸的正半軸及原點上滑動，頂點 B在x軸的正半 軸及原點上滑動，點 E為AB的中點，AB=24, BC=5,給出結論：點 A從點O出發(fā)，至到點 B運動至點O為 止，點 E經(jīng)過的路徑長為 12 n厶OAB的面積的最大值為 144 ;當 OD最大時，點 D的坐標為(填寫序號)1【解析】解：根據(jù)題意可知：oe=1ab=12,即E的軌跡為以0為圓心以12為半徑的四分之一圓（第一象限的部分）根據(jù)弧長公式，得點 E

8、的路徑長為:90面12 =6 n，故錯誤;因為AB=24,當斜邊AB上的高取最大值時， OAB的面積取最大值，點0在以AB為直徑的圓上（圓心為 E）,當0E丄AB時，斜邊AB上的高最大,1所以 OAB的面積取最大值為：24 12=144，故正確；2連接OE、DE,得：0D0 )經(jīng)過點A(- 1,0)，點M(m,0)是x軸正半軸上的動點若點Q(b 2,yQ)在拋物線上，當2AM 2QM的最小值為專時，求b的值【答案】見解析【解析】解： ybxc經(jīng)過點A(- 1,0),1 + b+c=0 ,即卩 ybx點 Q ( b yQ1 yQ234，)在拋物線y x2 bx c 上,/ b0 , Q點在第四象

9、限,2AM2QM 2 -AM2QM所以只要構造出子AM QM即可得到2am 2QM的最小值Word文檔 AGM為等腰直角三角形，GM=?AM，即當G、M、Q三點共線時，GM+MQ取最小值，即.2 AM 2QM取最小值, 2此時 MQH為等腰直角三角形，b QM= 2QH = 2 ,GM= AM2、2AM 2QM2討QM =2血33 242.b3 .1b1 QH=MH , =b-m，解得：m=-24224聯(lián)立得：7 m=-b=4.即當2AM2QM的最小值為31 時,4=4.【點睛】此題需要利用等腰直角三角形將2QM轉化為QM ，進而根據(jù)兩點4之間線段最短及等腰三角形性質求解例 5. ( 2019

10、)如圖,副含30。和45。角的三角板ABC和EDF拼合在個平面上，邊AC與EF重合,AC 12cm .當點E從點A出發(fā)沿AC方向滑動時，點F同時從點C出發(fā)沿射線BC方向滑動.當點E從點A滑動到點C時，點D運動的路徑長為 cm ;連接BD，則 ABD的面積最大值為2【答案】24-12、2;36、224.3 12.6解：如圖1所示，當E運動至E F滑動到F時,【解析】過D作 DG丄AC于G, DH丄BC交BC延長線于點 H,可得/ EDG= / FDH, DEDF, RtA EDGB RtA FDH, DG=GH, D在/ ACH的角平分線上，即C, D, D三點共線.通過分析可知，當 DE丄AC

11、時，DD的長度最大，隨后返回初始 D點，如圖2所示, 為DtD JD,行走路線長度為 2DD;D點的運動路徑圖2/ BAC=30 ,AC=12 , DE=CD BC= 4、3 , CD=DE= 6 & ,由圖知：四邊形 ECFD為正方形，CD=EF=12 , DDCDCD=12- 6V2,D 點運動路程為 2DD24- 12血;D圖3如圖3所示，當點D運動至D時， ABD的面積最大，最大面積為:SABCS正方形 ecfDSaaedSabdf=- 4 3 8、36.2 2 - 6、212 6 2 丄 6 2 4.36.22 2 2= 36、,2 24., 3 12.6【點睛】準確利用全等、角平分

12、線判定得到D點的運動軌跡是關鍵，利用三角函數(shù)及勾股定理求解,計算較為繁瑣，尤其是利用割補法求解三角形的面積時對學生計算能力要求較高，此題難度較大，新穎不失難度例6.(2019 -如圖，在菱形 ABCD中，連接BD、AC交于點0,過點0作0H丄BC于點H,以0為圓心,0H為半徑的半圓交 AC于點M.(1) 求證：DC是圓0的切線；(2) 若AC=4MC, 且 AC=8，求圖中陰影部分面積；(3) 在(2)的前提下，P是線段BD上的一動點，當PD為何值時，PH+PM的值最小，并求出最小值【答案】見解析.【解析】(1)證明：過點0作0N丄CD于N ,AC是菱形ABCD的對角線， AC平分/ BCD, 0H 丄 BC, 0N 丄 CD, 0H=0N,又0H為圓0的半徑， 0N為圓0的半徑，即CD是圓0的切線.(2)由題意知：0C=2MC=4 , MC= 0M=2 ,即 0H=2 ,在 RQ OHC 中,OC=2OH ,可得：/ OCH=30 ,zCOH=60由勾股定理得：CH=2i3S陰影二SOCHS扇形OMH2.33(3)作點M關