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文檔簡介
1、專題01動點問題中的最值、最短路徑問題動點問題是初中數(shù)學(xué)階段的難點,它貫穿于整個初中數(shù)學(xué),自數(shù)軸起始,至幾何圖形的存在性、幾何圖形的長度及面積的最值,函數(shù)的綜合類題目,無不包含其中其中尤以幾何圖形的長度及面積的最值、最短路徑問題的求解最為繁瑣且靈活多變,而其中又有一些技巧性很強的數(shù)學(xué)思想(轉(zhuǎn)化思想) ,本專題以幾個基本的知識點為經(jīng),以歷年來中考真題為緯,由淺入深 探討此類題目的求解技巧及方法 .、基礎(chǔ)知識點綜述1. 兩點之間,線段最短;2. 垂線段最短;3. 若A、B是平面直角坐標系內(nèi)兩定點,P是某直線上一動點,當P、A、B在一條直線上時,|PA PB最大,最大值為線段 AB的長(如下圖所示)
2、;la/y i / z/pPOx4.最短路徑模型(1)單動點模型作圖方法:作已知點關(guān)于動點所在直線的對稱點,連接成線段與動點所在直線的交點即為所求點的位 置.如下圖所示,P是x軸上一動點,求 PA+PB的最小值的作圖.y(2)雙動點模型P是/ AOB內(nèi)一點,M、N分別是邊 OA、OB上動點,求作 PMN周長最小值作圖方法:作已知點 P關(guān)于動點所在直線 OA、OB的對稱點P、P,連接PP與動點所在直線的交點M、N即為所求5.二次函數(shù)的最大(小)值Word文檔2y ax h k,當a0時,y有最小值k;當a0 )經(jīng)過點 A(- 1,0),點 M(m,O)是 x軸正半軸上的動點,若點1丄,yQ)在拋
3、物線上,233/22QM的最小值為7時,求b的值.例5. ( 2019)如圖,一副含30。和45。角的三角板ABC和EDF拼合在個平面上,邊 AC與EF重合,AC 12cm 當點E從點A出發(fā)沿AC方向滑動時,點F同時從點C出發(fā)沿射線BC方向滑動.當點E從點A滑動到點C時,點D運動的路徑長為cm ;連接BD,則 ABD的面積最大值為2cm例6.(2019如圖,在菱形 ABCD中,連接BD、AC交于點O,過點O作OH丄BC于點H,以O(shè)為圓心,OH為半徑的半圓交 AC于點M.(1) 求證:DC是圓O的切線;(2) 若AC=4MC,且AC=8,求圖中陰影部分面積;(3) 在(2)的前提下,P是線段BD
4、上的一動點,當PD為何值時,PH+PM的值最小,并求出最小值專題01動點問題中的最值、最短路徑問題(解析)例1.( 2019 涼山州)如圖,正方形 ABCD中,AB=12 , AE=3,點P在BC上運動(不與 B、C重合),過點P作PQ丄EP,交CD于點Q,貝U CQ的最大值為【答案】4.【解析】解: PQ丄EP,/ EPQ=90。,即 ZEPBf / QPC=90四邊形ABCD是正方形,/ B= / C=90 ,ZEPBn / BEP=90/ BEP= / QPC, BEFA CPQ, be CP CQ,/ AB=12 , AE=3 , BE=9 ,設(shè) CQ=y, BP=x, CP=12 x
5、, ( 0x12 ) 9 x12 x y x 12 x 即y k當x=6時,y有最大值為4, 即CQ的最大值為4.【點睛】此題為“一線三直角模型”,解題方法為相似三角形性質(zhì)求解,綜合利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值問題例2.(2019)如圖,已知 A、B兩點的坐標分別為(8,0) , (0,8) 點C、F分別是直線x= 5和x軸上的動點,CF=10,點D是線段CF的中點,連接 AD交y軸于點 巳當厶ABE面積取最小值時,tan / BAD=A.81717c. 4D.-【答案】B.【解析】解:Sabe= 1 BE OA 4BE ,2當BE取最小值時, ABE面積為最小值設(shè)x= 5與x軸交于點G,連接D
6、G,因為D為CF中點, CFG為直角三角形,1 “廠所以 DG=CD 5,2AD與圓G相切時,BE的長度最小,如下圖,D點的運動軌跡為以 G為圓心,以5半徑的圓上,如圖所示iyBDEGOAX= 5x由圖可知:x=- 5過點E作EH丄AB于H,-OG=5 , 0A=8 , DG=5 ,在RtA ADG中,由勾股定理得:AD=12 , AOEs ADG,AO AD OE dg , 10 求得:OE= ,314B旨,/琢,AB=8.2 EH=BH=AH= AB BH= 7-233 tan/ BAD=EHAH72317 23717由 OB=OA=8,得:故答案為B.【點睛】此題解題的關(guān)鍵是找到厶 AB
7、E面積最小時即是 AD與D的遠動軌跡圓相切的時刻.進而構(gòu)造以 / BAD為內(nèi)角的直角三角形,利用勾股定理求出邊長,代入三角函數(shù)定義求解例3. ( 2019 )如圖,矩形硬紙片 ABCD的頂點A在y軸的正半軸及原點上滑動,頂點 B在x軸的正半 軸及原點上滑動,點 E為AB的中點,AB=24, BC=5,給出結(jié)論:點 A從點O出發(fā),至到點 B運動至點O為 止,點 E經(jīng)過的路徑長為 12 n厶OAB的面積的最大值為 144 ;當 OD最大時,點 D的坐標為(填寫序號)1【解析】解:根據(jù)題意可知:oe=1ab=12,即E的軌跡為以0為圓心以12為半徑的四分之一圓(第一象限的部分)根據(jù)弧長公式,得點 E
8、的路徑長為:90面12 =6 n,故錯誤;因為AB=24,當斜邊AB上的高取最大值時, OAB的面積取最大值,點0在以AB為直徑的圓上(圓心為 E),當0E丄AB時,斜邊AB上的高最大,1所以 OAB的面積取最大值為:24 12=144,故正確;2連接OE、DE,得:0D0 )經(jīng)過點A(- 1,0),點M(m,0)是x軸正半軸上的動點若點Q(b 2,yQ)在拋物線上,當2AM 2QM的最小值為專時,求b的值【答案】見解析【解析】解: ybxc經(jīng)過點A(- 1,0),1 + b+c=0 ,即卩 ybx點 Q ( b yQ1 yQ234,)在拋物線y x2 bx c 上,/ b0 , Q點在第四象
9、限,2AM2QM 2 -AM2QM所以只要構(gòu)造出子AM QM即可得到2am 2QM的最小值Word文檔 AGM為等腰直角三角形,GM=?AM,即當G、M、Q三點共線時,GM+MQ取最小值,即.2 AM 2QM取最小值, 2此時 MQH為等腰直角三角形,b QM= 2QH = 2 ,GM= AM2、2AM 2QM2討QM =2血33 242.b3 .1b1 QH=MH , =b-m,解得:m=-24224聯(lián)立得:7 m=-b=4.即當2AM2QM的最小值為31 時,4=4.【點睛】此題需要利用等腰直角三角形將2QM轉(zhuǎn)化為QM ,進而根據(jù)兩點4之間線段最短及等腰三角形性質(zhì)求解例 5. ( 2019
10、)如圖,副含30。和45。角的三角板ABC和EDF拼合在個平面上,邊AC與EF重合,AC 12cm .當點E從點A出發(fā)沿AC方向滑動時,點F同時從點C出發(fā)沿射線BC方向滑動.當點E從點A滑動到點C時,點D運動的路徑長為 cm ;連接BD,則 ABD的面積最大值為2【答案】24-12、2;36、224.3 12.6解:如圖1所示,當E運動至E F滑動到F時,【解析】過D作 DG丄AC于G, DH丄BC交BC延長線于點 H,可得/ EDG= / FDH, DEDF, RtA EDGB RtA FDH, DG=GH, D在/ ACH的角平分線上,即C, D, D三點共線.通過分析可知,當 DE丄AC
11、時,DD的長度最大,隨后返回初始 D點,如圖2所示, 為DtD JD,行走路線長度為 2DD;D點的運動路徑圖2/ BAC=30 ,AC=12 , DE=CD BC= 4、3 , CD=DE= 6 & ,由圖知:四邊形 ECFD為正方形,CD=EF=12 , DDCDCD=12- 6V2,D 點運動路程為 2DD24- 12血;D圖3如圖3所示,當點D運動至D時, ABD的面積最大,最大面積為:SABCS正方形 ecfDSaaedSabdf=- 4 3 8、36.2 2 - 6、212 6 2 丄 6 2 4.36.22 2 2= 36、,2 24., 3 12.6【點睛】準確利用全等、角平分
12、線判定得到D點的運動軌跡是關(guān)鍵,利用三角函數(shù)及勾股定理求解,計算較為繁瑣,尤其是利用割補法求解三角形的面積時對學(xué)生計算能力要求較高,此題難度較大,新穎不失難度例6.(2019 -如圖,在菱形 ABCD中,連接BD、AC交于點0,過點0作0H丄BC于點H,以0為圓心,0H為半徑的半圓交 AC于點M.(1) 求證:DC是圓0的切線;(2) 若AC=4MC, 且 AC=8,求圖中陰影部分面積;(3) 在(2)的前提下,P是線段BD上的一動點,當PD為何值時,PH+PM的值最小,并求出最小值【答案】見解析.【解析】(1)證明:過點0作0N丄CD于N ,AC是菱形ABCD的對角線, AC平分/ BCD, 0H 丄 BC, 0N 丄 CD, 0H=0N,又0H為圓0的半徑, 0N為圓0的半徑,即CD是圓0的切線.(2)由題意知:0C=2MC=4 , MC= 0M=2 ,即 0H=2 ,在 RQ OHC 中,OC=2OH ,可得:/ OCH=30 ,zCOH=60由勾股定理得:CH=2i3S陰影二SOCHS扇形OMH2.33(3)作點M關(guān)
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