11特殊值法——教師版

1、實(shí)用文案第 11 講特殊值法一、方法技巧特殊值法（一）定義又叫特值法， 即通過設(shè)題中某個(gè)未知量為特殊值，從而通過簡(jiǎn)單的運(yùn)算，得出最終答案的一種方法這個(gè)特殊值必須滿足無論這個(gè)量的值是多少，對(duì)最終結(jié)果所要求的量的值沒有影響；（二）使用條件有些選擇題或填空題，用常規(guī)方法求解比較困難，若根據(jù)已知或答案所提供信息，選擇某些特殊值進(jìn)行分析或計(jì)算，把一般形式變?yōu)樘厥庑问?，再進(jìn)行判斷往往比較簡(jiǎn)單（三）專題目標(biāo)通過訓(xùn)練，能迅速作出判斷并能用特殊值法解決問題（四）解題思路標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案1 一定要按照題目所給的具體條件取值2 所取的數(shù)值一般最大不超過5，最小不超過5這樣的整數(shù)，例如11、0最常用、3 將所取的特殊

2、值代入題干直接判斷或逐一代入題支判斷即可得出正確答案（四）應(yīng)用類型類型一已知中具體數(shù)量關(guān)系較少的問題類型二化簡(jiǎn)與求值的問題類型三恒等式問題類型四解以“不論 k 為何值時(shí)”為條件的問題類型五驗(yàn)證結(jié)論的正確性的問題類型六比較大小的問題類型七幾何問題二、應(yīng)用舉例類型一已知中具體數(shù)量關(guān)系較少的問題【例題 1 】有兩只相同的大桶和一只空杯子，甲桶裝牛奶，乙桶裝糖水先從甲桶內(nèi)取出一杯牛奶倒入乙桶， 再?gòu)囊彝爸腥〕鲆槐撬团Ｄ痰幕旌弦旱谷爰淄罢?qǐng)問此時(shí)甲桶內(nèi)糖水多還是乙桶內(nèi)的牛奶多？標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案A 甲桶多B乙桶多C一樣多D 無法判斷【答案】 C【解析】題干全部為文字?jǐn)⑹?，沒有具體數(shù)據(jù)，可采用特值法解：令

3、甲桶牛奶量= 乙桶牛奶量 = 1L ，空杯子體積為1L ，第一次取一杯牛奶即將甲桶牛奶全部倒入乙桶，充分混合，此時(shí)乙桶內(nèi)牛奶和糖水的比例為1： 1，乙桶有 2L ，甲桶 0L ，又從乙桶取一杯混合液倒入甲桶，此時(shí)甲桶溶液量= 乙桶溶液量 = 1L ，且牛奶和糖水各占一半即甲桶內(nèi)糖水= 乙桶內(nèi)糖水故選C【難度】一般類型二化簡(jiǎn)與求值的問題【例題 2 】已知 a 、b滿足 baa2abb22 ，則4abb2aba2A 11C31B4D 24【答案】 B【解析】滿足題干條件的bba b 1，a 、 的數(shù)據(jù)很多，但結(jié)果是唯一的， 所以可以對(duì) a 、 特殊化，令a2abb231則4abb26，故選擇 Ba

4、22【難度】一般類型三恒等式問題標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案20 ，則下列式子一定成立的【例題 3 】若實(shí)數(shù) x 、 y 、 z 滿足 x z4 x y y z是（）A x yz 0B x y 2z 0C y z2x 0D z x 2y 0【答案】 D【解析】本題三個(gè)未知數(shù)，一個(gè)方程，如果不用特值法很難解答取特殊值： x 1 ， y 2 ， z3 ，滿足 x z24 x y y z 0 ，A x y z 1 2 3 6 0 ,B x y 2z 1 2 2 33 0C y z 2x 2 3 2 3 0D z x 2 y 3 1 2 2 0故選擇 D【難度】一般類型四解以“不論 k 為何值時(shí)”為條件的問題【例

5、題 4 】不論參數(shù) a 取什么值， 直線 y2aax 總通過一個(gè)定點(diǎn)， 這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)為 （）A0,2B2,0C 2,0D0, 2【答案】 C【解析】標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案由條件“不論參數(shù)a取什么值” ，可知 a 的取值不影響直線y 2a ax 通過定點(diǎn)，故簡(jiǎn)單的方法是將選項(xiàng)直接代入來驗(yàn)證將選項(xiàng)代入直線 y2a ax ，可以看出只有C 選項(xiàng) 2,0代入時(shí)恒等成立，故選 C【難度】容易類型五驗(yàn)證結(jié)論的正確性的問題【例題 5 】已知有理數(shù)a 、 b 滿足 ab ，則下列式子正確的是（）A abB abCabD ab【答案】 C【解析】由有理數(shù) a 、 b 滿足 ab ，取 a 1 ， b 0 ，那么A ：

6、10，成立， B：10 ，成立， C：10 ，成立， D ：10，不成立，故排除D 取 a1 ， b2 ，那么A ： 12 ，不成立， B：12，不成立， C： 12 ，成立，故選C點(diǎn)評(píng)：特殊值法將抽象的字母換成形象的數(shù)字，使解題更為方便【難度】一般類型六比較大小的問題【例題 6 】當(dāng) m0 ， m 與1）m 的大小關(guān)系為（5標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案A m 1 mB m 1 mC m= 1 mD無法確定555【答案】 B【解析】因?yàn)?m0 ，取 m1，則 1 m11 1m 1 m，故選 B55 ，因5 ，故5【難度】較易類型七幾何問題【例題 7 】 如圖，過 y 軸上任意一點(diǎn) P ，作 x 軸的平行線

7、，分別與反比例函數(shù)y4和2xyAC 、 BC ，則 ABC的面的圖象交于 A 點(diǎn)和 B 點(diǎn)若 C 為 x 軸上任意一點(diǎn)，連接x積為【答案】 3【解析】因?yàn)?P 為 y 軸上任意一點(diǎn)且C 為 x 軸上任意一點(diǎn)，本題為填空題，故選擇特殊值法比較適合解：令 P 0,1， C0,0，則 A4,1 ，B 2,1 ，即AB 246， OP1標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案SV ABC16 1 32【難度】較易三、實(shí)戰(zhàn)演練類型一已知中具體數(shù)量關(guān)系較少的問題11 一個(gè)圓柱的半徑比原來的圓柱的半徑多3 倍，高是原來的，則這個(gè)圓柱的體積是原來4圓柱體積的（）A 一樣多B 9倍C 3倍D4倍44【答案】 D【解析】此題若不用特殊值

8、法解答，勢(shì)必要去尋找兩者的數(shù)量關(guān)系，而這個(gè)數(shù)量關(guān)系還要靠字母來體現(xiàn)，若用特殊值法，數(shù)量關(guān)系明了，能輕松順利的解答解：令原來的圓柱半徑是1,高是 1，則體積是新圓柱半徑是4 ,高是 1 ，則體積是 44則這個(gè)圓柱的體積是原來的4倍，故選 D【難度】一般2 老王前幾年投資的一套藝術(shù)品市價(jià)上漲了50%，為盡快出手， 老王將該藝術(shù)品按市價(jià)的八折出售，扣除成交價(jià)5% 的交易費(fèi)后，發(fā)現(xiàn)與買進(jìn)時(shí)相比賺了7 萬元問老王買進(jìn)該藝術(shù)標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案品花了多少元？A84B 42C100D 50【答案】 D【解析】本題是選擇題， 已知的數(shù)量關(guān)系是百分?jǐn)?shù)，因此把購(gòu)入價(jià)格看作100比較快捷、 準(zhǔn)確的解答此題解：令該藝術(shù)品

9、兩年前價(jià)格為100則現(xiàn)在市價(jià)為 150八折售價(jià)為 1500.8=120交易費(fèi)用為 120 5%=6實(shí)際售價(jià)為1206 114利潤(rùn)為 11410014因?qū)嶋H賺了7 萬元，則萬元= 14，故購(gòu)買價(jià)格為50 萬元選擇 D7購(gòu)買價(jià)格100點(diǎn)評(píng) :本題若列方程，可設(shè)買進(jìn)價(jià)格為x 萬元，則 1 50%80% 1 5% 1 x 7 ，求解容易出錯(cuò)，這樣題型特值法較好【難度】一般3 若 2x3x213xk 有一個(gè)因式為2x1 ，求 k 的值【答案】6【解析】根據(jù)大綱要求這部分知識(shí)難度已降低，因此不采用特殊值法將無從下手因式2x1 已定，標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案故 2x3x213xk 已定，故 k 不變的，適合使用特值

10、法令 2x3x213xk 2x 1 A，把 x1代入可求得 k 62【難度】較難類型二化簡(jiǎn)與求值問題4 如果 abc 1，則111的值是（）abb1 bc c1caa1A 4B 1C 1D 不確定【答案】 C【解析】試題分析：本題已知條件只給了abc1，因此令 abc1，即可迅速得出答案試題解析：解：（方法一）令 abc1，則1111111abb1bcc1caa1333（方法二） abc1ab111b1bcc1caa1abc11abbabc1c1caa 1aaca1a1ac1acacaa1aca1a1ac1點(diǎn)評(píng)：顯然特值法對(duì)這樣條件較少，但題目很繁冗復(fù)雜的問題很快捷【難度】較難標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案

11、5 已知【答案】【解析】11ab1 ，則的值為 _a1b11因?yàn)?ab1 ，所以令 ab 1 ，原式111，即11值為 122a 1b1點(diǎn)評(píng)：由于選擇題、填空題不需要寫出解題的過程，只要求出正確答案即可，解答選擇題，填空題時(shí)運(yùn)用特殊值法能提高解題的速度和準(zhǔn)確性【難度】較易6 若 a1 ，則 3 3 a3 的最后結(jié)果是（）A 3 aB 3 aC 3 aD a 3【答案】 B【解析】本題若用常規(guī)的方法應(yīng)根據(jù)a1，先討論 a3 的正負(fù)，進(jìn)而討論3a3 的正負(fù)，最后得出最終答案，相比較選擇題中此題特值法比較好用解：（法一） a 1，故 a340 ，即 a33a 3 a 3a ，則 3 3 a 33a（

12、法二）由于 a1，故令 a2，則3 3a333231故選B【難度】一般標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案7 已知一次函數(shù)ya2 x 1的圖像不經(jīng)過第三象限，則化簡(jiǎn)a24a 496aa2的結(jié)果是（）A 1B 1C 2a 5D 5 2a【答案】 D【解析】我們不妨從已知，即一次函數(shù)ya2 x1的圖像不經(jīng)過第三象限這一條件入手，因?yàn)閥a2 x1的圖像必經(jīng)過0,1 這點(diǎn)，而經(jīng)過0,1 這點(diǎn)的圖像要想不經(jīng)過第三象限，只有當(dāng) a20 ，即 a2 ，我們?nèi)?a0 代入即可得到答案解：一次函數(shù) ya2 x1的圖像不經(jīng)過第三象限a20 ，即 a2取 a 0代入 a24a 4 9 6a a24 9235，顯然答案 A、B 錯(cuò)，答案

13、 C 為 2a5，由 a0 ，故 2a55，故 C錯(cuò)答案D為52a，由 a0，故 52a5 ，故 D 正確故選擇 D【難度】一般類型三恒等式問題3228 若2 xa bx cx2dx3，求 a cb d 的值【答案】 1標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案【解析】對(duì)于恒等式問題，當(dāng)?shù)仁街械牡淖帜溉∈沟仁接幸饬x的任何一個(gè)特殊值時(shí)，等式都成立， 根據(jù)恒等式這個(gè)性質(zhì)，可以用特殊值法求恒等式中參數(shù)的值令 x1 時(shí)，321abcd3令 x1 時(shí)，21abcd所以 a c2b d2a c b d a c b d232132121311【難度】較難類型四解以“不論 k 為何值時(shí)”為條件的問題9 求證：不論 k 為何值時(shí)，一次函

14、數(shù)2k1 xk3 yk110 的圖像恒過一定點(diǎn)【答案】證明：條件為不論k 為何值時(shí)，故可取特殊值令 k0 時(shí)，x 3 y110 令 k1 時(shí)， x4 y10 0把 、 聯(lián)立成方程組x 3y110x24 y100解得：3xy當(dāng) x2 ， y3 時(shí)， 2k 1 x k 3 yk 11 0 成立所以不論 k 為何值時(shí)，一次函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)2,3【解析】因?yàn)闂l件為“不論k 為何值時(shí)”，即定義范圍內(nèi)的所有數(shù)值都會(huì)使圖象經(jīng)過定點(diǎn)，故取兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案數(shù)值即可確定這個(gè)定點(diǎn)證明：條件為不論 k 為何值時(shí)，故可取特殊值令 k0 時(shí)，x 3 y110 令 k1 時(shí)， x4 y10 0把 、 聯(lián)立成方程組x

15、3y110x24 y100解得：3xy當(dāng) x2 ， y3 時(shí)， 2k 1 x k 3 yk 11 0 成立所以不論 k 為何值時(shí)，一次函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)2,3點(diǎn)評(píng)：解決以“不論k 為何值時(shí)或 k 為任意實(shí)數(shù)時(shí)”為條件的問題，可以取特殊值法，探求出定點(diǎn)，然后加以驗(yàn)證即可【難度】較難10 若點(diǎn) A a,b 在第一象限，則點(diǎn)Ba,b2 在（）A 第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn) 第四象限【答案】 B【解析】按題目要求取A 1,1 ，即 a1 ， b1，則a1 ， b2123 ，故 B 點(diǎn)為1,3顯而易見在第二象限故選B【難度】容易標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案11 當(dāng) 2 m1時(shí)，點(diǎn) P 3m 2， m 1在第（）

16、象限3A 一B 二C 三D 四【答案】 D【解析】由于數(shù)學(xué)選擇題的唯一性，因此取滿足條件2 m1的特殊值 m5，通過計(jì)算點(diǎn)P 的坐36標(biāo)為1， 1，在第四象限內(nèi)，故選D 26【難度】較易12 二次函數(shù) y ax2c a 0 ，若當(dāng) x 取 x1 、 x2 時(shí)函數(shù)值相等，當(dāng)x 取 x1x2 時(shí)函數(shù)值等于 _【答案】 c【解析】本題在解答時(shí)需根據(jù)二次函數(shù)圖像的特點(diǎn)，二次函數(shù)y ax2c 的對(duì)稱軸為 y 軸，則可得x1 x20 ，從而得 x1 x20時(shí)，取 x 0 代入 yax 2c 中得 y c2【難度】一般類型五驗(yàn)證結(jié)論的正確性問題13 “如果兩個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角與三條邊六個(gè)元素中有五個(gè)元素分別

17、相等，那么這兩個(gè)三角形一定全等” ，這個(gè)命題正確嗎？說明理由標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案【答案】不正確【解析】?jī)蓚€(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別取特殊值為8、 12、 18或12 、18、 27因?yàn)?81218 ，所以兩個(gè)三角形相似，所以兩個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角分別相等，又有兩條121827邊分別相等，即五個(gè)元素相等，但這兩個(gè)三角形不全等，所以這個(gè)命題是假命題點(diǎn)評(píng)：要想說明一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)符合條件但不符合結(jié)論的特殊值反例即可【難度】較易14 如果 x 、 y 、 z 是不全相等的實(shí)數(shù)，且ax2yz ， by2zx ， cz2xy ，則下列結(jié)論正確的是（）A a 、 b 、 c 都不小于 0B a 、 b 、

18、c 都不大于 0Ca 、 b 、 c 至少一個(gè)小于0D a 、 b 、 c 至少一個(gè)大于0【答案】 D【解析】本題若不用特值法將無從下手，x 、 y、 z是不全相等的實(shí)數(shù)，可取范圍較大，故令 x1， y1， z1，則 a2， b0 ， c2 ，排除 B、 C故令 x1， y1， z2，則 a3， b1， c5 ，排除 A故選 D【難度】較難標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案15 如果方程y q y 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則q 的取值范圍是（）A q0B q 1C 0 q 1D q 1444【答案】 B【解析】此題直接解比較困難，可采用特值法，由選項(xiàng)可知q 的取值將實(shí)數(shù)分為三部分，即q0 、0 q 1 、 q 1

19、 ，故可取三個(gè)特殊值來驗(yàn)證44令 q1 ，yqy 變形得 y2y10 ，50，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根令 q1，yqy 變形得 5y25y10 ，50 ，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根5令 q1，yqy 變形得 y2y10，30 ，沒有實(shí)數(shù)根故排除 D ，選擇 B【難度】較難類型六比較大小問題16 若 x0 ， y0 ，且 x y ，則 xy0 若 x0 ，y0 ，且 x y ，則 xy0 【答案】，【解析】因?yàn)?x0 ， y0 ，且 x y ，所以設(shè) x1 ， y2 ，則 121 ，所以 xy0標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案因?yàn)?x0 ， y0 ，且 x y ，所以設(shè) x2 ， y1 ，則 2+1=3，所以 xy0點(diǎn)評(píng)：此題若不用特殊值法，就要考慮絕對(duì)值的性質(zhì)，會(huì)顯得繁瑣，現(xiàn)在用特殊值法，會(huì)使表達(dá)更清晰直觀【難度】一般17 如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A 、 B 分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a 、 b ，下列結(jié)論中正確的是（）A abB a bCabD ab0【答案】 C【解析】根據(jù)數(shù)軸確定出a 、 b 的正負(fù)情況以及絕對(duì)