(浙江專用)高考數(shù)學二輪復習專題七數(shù)學思想方法(選用)第2講分類討論思想、轉化與化歸思想課件

1、第2講 分類討論思想、轉化與化歸思想般體現(xiàn)在高考定位 分類討論思想，轉化與化歸思想近幾年高考每年必考, 解析幾何、函數(shù)與導數(shù)解答題中,難度較大.思忍II述應用點拔I詈:臆題1. 中學數(shù)學中可能引起分類討論的因素(1) 由數(shù)學概念而引起的分類討論：如絕對值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定 義、直線的傾斜角等.(2) 由數(shù)學運算要求而引起的分類討論：如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負 數(shù)，對數(shù)運算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式中兩邊同乘以 一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域，等比數(shù)列勺的前斤項和公式等.(3) 由性質、定理、公式的限制而引起的分類討論：如函數(shù)的單調性、基本不等

2、 式等.(4) 由圖形的不確定性而引起的分類討論：如二次函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)圖象、對 數(shù)函數(shù)圖象等.(5) 由參數(shù)的變化而引起的分類討論：如某些含有參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值 不同會導致所得的結果不同，或者由于對不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證 明方法等.2. 常見的轉化與化歸的方法轉化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學問題時，思維受阻或尋求簡單方法 或從一種狀況轉化到另一種情形，也就是轉化到另一種情境使問題得到解決, 這種轉化是解決問題的有效策略，同時也是獲取成功的思維方式.常見的轉 化方法有：(1) 直接轉化法：把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題.(2) 換元法：運用“換元”把

3、式子轉化為有理式或使整式降幕等，把較復雜的 函數(shù)、方程、不等式問題轉化為易于解決的基本問題.(3) 數(shù)形結合法：研究原問題中數(shù)量關系(解析式)與空間形式(圖形)關系，通過互相變換 獲得轉化途徑.(4) 等價轉化法：把原問題轉化為一個易于解決的等價命題，達到化歸的目的.(5) 特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉化，并證明特殊化后的問題結論適合 原問題.(6) 構造法：“構造” 一個合適的數(shù)學模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題.(7) 坐標法：以坐標系為工具，用計算方法解決幾何問題是轉化方法的一個重要途徑.(8) 類比法：運用類比推理，猜測問題的結論，易于確定.(9) 參數(shù)法：引進參數(shù)，使原問題

4、轉化為熟悉的形式進行解決.(10) 補集法：如果正面解決原問題有困難，可把原問題的結果看作集合A,而把包含該 問題的整體問題的結果類比為全集通過解決全集C7及補集泌獲得原問題的解決， 體現(xiàn)了正難則反的原則.熱點聚焦丨分類突破 研熱點藝;析老法濱鹽召熱點一分類討論思想的應用應用1由性質、定理、公式的限制引起的分類【例1一1】(1)設數(shù)列如的前項和為S/已知2S尸3+,則數(shù)列仏的通項(2)已知實數(shù)aHO，函數(shù)滄尸2xa, x0 時，1al,這時/(Ia) = 2(1a)ha = 2a,(1 +a) 2a = 1 3ci.3由得 2 a= l3a,解得 ci=Q,不合題意，舍去；當 avO 時，1a

5、l 9 1+gV1,這時a)(1a) 2a = 1a,夬1+a) = 2(l+d)+a = 2 + 3a.由 f(la)=f(l3+a)得一1 a = 2 +3a, 解得 a才3綜上可知，a的值為一才川=1,3合木3匕心2習探究提高 由性質、定理、公式的限制引起的分類整合法往往是因為有的數(shù)學 定理、公式、性質是分類給出的,在不同的條件下結論不一致的情況下使用， 如等比數(shù)列的前項和公式、函數(shù)的單調性等.應用2由數(shù)學運算要求引起的分類【例1-2】（1）不等式Ixl + I2x+3I$2的解集是（）A. （, |）U（1，+）（5B. （一_1）噸，+,(5C一, o U 1, +)f5 )D. (

6、一+J已知mGR，則函數(shù) = (4-3m)x2-2 + m在區(qū)間0,1上的最大值為_3解析(1)原不等式可轉化為f0,故原不等式的解集為 .，-|u-l, +-).44當4一3加=0,即加=3時，函數(shù)夕=一2兀+亍4它在0, 1是減函數(shù)，所以ymax=5-4當4一3加即加Hg時，y是二次函數(shù).41當43加0,即加V3時，二次函數(shù)y的圖象開口向上，對稱軸方程x=4ZT3m0,它在0, 1上的最大值只能在區(qū)間端點取得(由于此處不涉及最小值，故不需討論區(qū) 間與對稱軸的關系).幾0)=加，幾1) = 2 2加，、/424當 又 m,時，ymax = /n.42當加V2 2m，又 加Vj 即 加V3時，

7、max = 2(lm).當4 3加V0,即加扌時，二次函數(shù)y的圖象開口向下，又它的對稱軸方程兀=孑土0,由、所以函數(shù)y在0, 1是減函數(shù)，于是ymax=f(0)=加.可知，這個函數(shù)的最大值為VmaxT2-2m, m2m,答案(1)C (2)ymax22m, m0,所以兀x)在(0, +oo)上單調遞增.(1)仃)(1若 t/0,則當o,時,/(%)0；當+oo 時,/(%)0時，兀X)在0,-上單調遞增，在-，上單調遞減.0時，幾勸在x=-處取得最大值，最大值為/ - =ln -+J1- =-na-al. ClCIJCl Cl)因此/ 2a 2 等價于 In aaIVO.令 g(a)=ln a

8、a1,則 g)在(0, + )_Jb 丿單調遞增，g(l) = O于是，當 0VaV 1 時，g(d)VO；當 al 時，g(a)0因此，Q的取值范圍是(0, 1).探究提高由參數(shù)的變化引起的分類整合法經常用于某些含有參數(shù)的問題, 如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導致所得結果不同，或對 于不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法.熱點二轉化與化歸思想應用1換元法【例21】 已知實數(shù), b, c滿足q + Z? + c = O,+ Z?2 + c2 = 1,貝【Jo的最大值是解析 令b = x , c = y ,貝狀 + y = - a , x2 + y2 = 1 - a2.此時直線兀

9、+y = a與x2+y2 1 a 有交點,貝（J圓心到直線的距離寸1解得/彳，所以的最大值為3.咎案坐探允提咼 換兀法是一種變重代換,也是一種特殊的轉化與化歸方法,是用一種 變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式,是將生疏（或復雜）的式子（或數(shù)）,用熟悉（或簡 單）的式子（或字母）進行替換；化生疏為熟悉、復雜為簡單、抽象為具體，使運算 或推理可以順利進行.應用2特殊與一般的轉化【例2-2過拋物線丁 =俶20）的焦點尸作一直線交拋物線于p, Q兩點，若線 段PF與FQ的長度分別為, q,貝寸+*等于（）14A. 2aB茲C. 4aD.解析 拋物線y=axa0）的標準方程為x2=y（a0）.（ 1 1 1焦

10、點片6 詁 取過焦點F的直線垂直于y軸，則PF = QF= 所以#+廠4仏答案C探究提高 一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單.特殊問題一般化, 可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律,從而達到成批處理問題 的效果.應用3常量與變量的轉化【例2 3】 對任意的lmlC2,函數(shù)/（兀）=加齊一2%+ 1 加恒為負,貝吹的取值范圍為解析 對任意的lmlC2 ,有加界2x + 1 - m Of旦成立,即I加IW2時,(%2 - l)m - 2% + 1 0恒成立設gO) = (%2 - l)m2x + 1 ,則原問題轉化為gO) 0,2x2 2x 1V0.VxV迥乂，即實數(shù)兀的取值范探究提

11、高 在處理多變元的數(shù)學問題時，我們可以選取其中的參數(shù)，將其 看作是“主元”，而把其它變元看作是常量，從而達到減少變元簡化運算 的目的應用4正與反的相互轉化( 【例2-4】若對于任意圧1, 2,函數(shù)在區(qū)間(/, 3)上總不為單調函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是.解析gG) = 3” + (加+4)兀一2,若g(x)在區(qū)間(篤3)上總為單調函數(shù)，則0(兀)20 在(f, 3)上恒成立，或gG)W0在(/, 3)上恒成立.2 _ 2由得3“ + (加+4)x2三0，即加+4三一3x在兀W 3)上怛成立，：加+4三；一XT3亙成立，則771 + 4-1,2 一即加三一5；由得加+4W3兀在兀丘(九3)上怛成

12、立，X237則 加+4W9，艮卩mW了37函數(shù)g(x)在區(qū)間3)上總不為單調函數(shù)的加的取值范圍為一y/n1和OVaVl的討論；函數(shù) y=ax2-bx-c有時候分a=O和aHO的討論；對稱軸位置的討論；判別式的討論.數(shù)列：由S“求a“分”=1和斤1的討論；等比數(shù)列中分公比g= 1和qHl的討論.(4) 三角函數(shù)：角的象限及函數(shù)值范圍的討論.(5) 不等式：解不等式時含參數(shù)的討論，基本不等式相等條件是否滿足的討論.(6) 立體幾何：點線面及圖形位置關系的不確定性引起的討論；(7) 平面解析幾何：直線點斜式中k分存在和不存在，直線截距式中分b = 0和bHO的 討論；軌跡方程中含參數(shù)時曲線類型及形狀的討論.(8) 排列、組合、概率中的分類計數(shù)問題.(9) 去絕對值時的討論及分段函數(shù)的討論等.2.轉化與化歸思想遵循的原則：(1) 熟悉已知化原則：將陌生的問題轉化為熟悉的問題，將未知的問題轉化為已知的問題，以便于我們運用熟知的知識、經驗和問題來解決.總 I(2