單位圓與三角函數(shù)線[優(yōu)選課資]

1、1教學類別 復習三角函數(shù)的坐標法定義 自主學習自主學習 ._tan_,cos_,sin yxr00yx oxx 22 的三角函數(shù)為規(guī)定角 ，）的距離是，（與原點），點，（點 的終邊上任取一角，建立直角坐標系，在軸的正半軸 原點，以它的始邊作為，我們以它的頂點作為設(shè)有一個角 OPP 2教學類別 前面我們前面我們學習學習了了三角函數(shù)的坐標法定義三角函數(shù)的坐標法定義， 三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號，學習了任意角，學習了任意角 的三角函數(shù)。的三角函數(shù)。 由三角函數(shù)的定義我們知道，對于角由三角函數(shù)的定義我們知道，對于角 的各種三角函數(shù)我們都是用的各種三角函數(shù)我們都是用比值比值來表示的

2、，來表示的， 或者說是用或者說是用數(shù)數(shù)來表示的，今天我們再來學習來表示的，今天我們再來學習 正弦、余弦、正切函數(shù)正弦、余弦、正切函數(shù)的另一種的另一種表示方法表示方法 幾何表示法幾何表示法 3教學類別 1.2.1 單位圓與三角函數(shù)線單位圓與三角函數(shù)線 -三角函數(shù)的幾何表示法 4教學類別 目標定位目標定位 (一)學習目標 1理解任意角的三角函數(shù)線的概念 2能應用三角函數(shù)線解不等式 (二)學習建議 借助單位圓會畫正弦線、余弦線、正切線 (三)重點、難點 重點：畫三角函數(shù)線 難點：三角函數(shù)線的應用 5教學類別 “疑”海拾貝 l有向線段與三角函數(shù)線的關(guān)系？ l用三角函數(shù)線表示的三角函數(shù)的符號是如 何確定

3、的？ 6教學類別 （二）有向線段與三角函數(shù)線 （1）有向線段：帶有_的 線段。 （2）三角函數(shù)線：如圖，已 知角的終邊的位置，則由三 角函數(shù)的定義可知點P的坐標 為_，點T的坐標為 _.其中 sin=_,cos=_, tan=_. 把有向線段MP、OM、AT叫 做的正弦線、余弦線和正切 線 自主學習自主學習 N 1 B(0,-1) B(0,1) A(-1,0) A(1,0) M P y x O T 7教學類別 我們首先建立下面的坐標系：我們首先建立下面的坐標系： 在觀覽車轉(zhuǎn)輪圓面所在的平面在觀覽車轉(zhuǎn)輪圓面所在的平面 內(nèi)，以觀覽車內(nèi)，以觀覽車轉(zhuǎn)輪中心為原點轉(zhuǎn)輪中心為原點， 以水平線為以水平線為x

4、軸，以軸，以轉(zhuǎn)輪半徑為轉(zhuǎn)輪半徑為 單位長單位長建立直角坐標系建立直角坐標系 sinMP xOP 設(shè)設(shè)P 點為轉(zhuǎn)輪邊緣上的一點點為轉(zhuǎn)輪邊緣上的一點, 它表示座椅的位置，記它表示座椅的位置，記 ，則由正弦函數(shù)的定義可知，則由正弦函數(shù)的定義可知， 8教學類別 1.單位圓的概念單位圓的概念 一般地，我們把一般地，我們把半徑為半徑為1的圓的圓叫做叫做單位圓單位圓， 設(shè)單位圓的圓心與坐標原點重合，則單位圓與設(shè)單位圓的圓心與坐標原點重合，則單位圓與 x軸的交點分別為軸的交點分別為 A(1，0)，A(1，0). 而與而與y軸的交點分別為軸的交點分別為 B(0，1)，B(0，1). (三三)單位圓、有向線段的概

5、念單位圓、有向線段的概念 9教學類別 2. 有向線段的概念：有向線段的概念： 帶有方向的線段叫有向線段帶有方向的線段叫有向線段 ； 有向線段的有向線段的數(shù)值數(shù)值由其長度由其長度大小大小和和方向方向來決定。來決定。 如在數(shù)軸上，如在數(shù)軸上，|OA|=3，|OB|=3 OA=3 OB=-3 10教學類別 設(shè)任意角設(shè)任意角的頂點的頂點 在原點，始邊與在原點，始邊與x軸的軸的 正半軸重合，終邊與正半軸重合，終邊與 單位圓相交于點單位圓相交于點P(x， y），過），過P作作x軸的垂線，軸的垂線， 垂足為垂足為M； 做做PN垂直垂直 y軸于點軸于點N， 則點則點M、N分別是點分別是點P在在x軸、軸、y軸上

6、的正射影軸上的正射影. (四)用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值 11教學類別 根據(jù)三角函數(shù)的定義有點根據(jù)三角函數(shù)的定義有點P的坐標為的坐標為(cos,sin) 其中其中cos=OM，sin=ON. 這就是說，這就是說，角角的余弦和正弦的余弦和正弦分別等于角分別等于角 的終邊與單位圓的終邊與單位圓交點的橫坐標與縱坐標交點的橫坐標與縱坐標. 以以A為原點建立為原點建立y軸與軸與y 軸同向，軸同向，y軸與軸與角的終邊角的終邊 (或其反向延長線或其反向延長線)相交于點相交于點 T(或或T )，則，則tan=AT(或或 AT ) 12教學類別 我們把軸上的有向線段我們把軸上的有向線段 分別叫做分別叫做的的

7、余弦線、正弦線和正切線余弦線、正弦線和正切線. ,()OM ONATAT 和或 13教學類別 角角的終邊在四個象限的情況的終邊在四個象限的情況 14教學類別 題型一、利用三角函數(shù)線確定角的終邊題型一、利用三角函數(shù)線確定角的終邊 課堂互動 例1、在單位圓中畫出滿足下列條件的角的終邊 （1） 2tan)3( , 2 1 cos)2( , 2 1 sin 15教學類別 2tan)3( , 2 1 cos)2( , 2 1 sin) 1 ( O y x O y x O y x A T M P M1 P1 M P A1 T1 16教學類別 題型二、利用三角函數(shù)線解三角不等式 例2、在單位圓中畫出適合下列

8、條件的角 終邊的范圍，并寫出角的集合。 2 1 cos) 2( , 2 3 sin) 1 ( 17教學類別 2 1 cos)2(, 2 3 sin)1( O y x 2 3 2 3 O y x 2 1 2 1 ZkkkZkkk,2 3 4 2 3 2 ,2 3 2 2 3 18教學類別 的定義域變式：求函數(shù)3sin2yx Zkkxkx,2 3 2 2 3 2 3 2 3 由三角函數(shù)線，得 即 只需 有意義，解：要使 , 2 3 sin , 03sin2 3sin2 x x x O y x 2 3 2 3 19教學類別 例例3.確定下式的符號確定下式的符號 解：解： 由三角函數(shù)線得由三角函數(shù)線得

9、 題型三、利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值題型三、利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值 的大小的大小 1cos1sin y x OM P 4 1 因為 01cos1sin 20教學類別 五、千錘百煉 l 1、如圖在單位圓中角的 正弦線、余弦線、正切線完 全正確的是（ ） l A、正弦線PM,正切線 l B、正弦線MP，正切線 l C、正弦線MP，正切線AT l D正弦線PM,正切線AT O y x A T M P A T T A T A 21教學類別 的集合。出角終邊的范圍，并由此寫 的角、在單位圓中，畫出 的大小是、觀察 數(shù)線，從單位圓中的三角函、若 ”）”或“（填“、 上、直線上，、直線 軸上、軸上、

10、 的終邊在（）那么角 有向線段，的余弦值是單位長度的、已知角 2 1 sin 2 2 -5 _tancossin 2 - 4 3 -4 3 sin_1sin3 -xyxy y,x 2 DC BA 22教學類別 (五五)小結(jié)小結(jié) 1. 給定任意一個角給定任意一個角，都能在單位圓中作出它，都能在單位圓中作出它 的正弦線、余弦線、正切線。的正弦線、余弦線、正切線。 2. 三角函數(shù)線的位置三角函數(shù)線的位置 ： 正弦線正弦線為從原點到為從原點到的終邊與單位圓的交點的終邊與單位圓的交點 在在y軸上的射影的軸上的射影的有向線段有向線段； 余弦線余弦線為從原點到為從原點到的終邊與單位圓的交點的終邊與單位圓的交

11、點 在在x軸上的射影的軸上的射影的有向線段有向線段； 正切線正切線在過單位圓與在過單位圓與x軸正方向的交點的切軸正方向的交點的切 線上，為有向線段線上，為有向線段AT 23教學類別 3. 特殊情況：特殊情況： 當角的終邊在當角的終邊在x軸上時，點軸上時，點P與點與點M重合，重合， 點點T與點與點A重合，這時正弦線與正切線都變成重合，這時正弦線與正切線都變成 了一點，數(shù)量為零，而余弦線了一點，數(shù)量為零，而余弦線OM=1或或1。 當角的終邊在當角的終邊在y軸上時，正弦線軸上時，正弦線MP=1或或1 余弦線變成了一點，它表示的數(shù)量為零，余弦線變成了一點，它表示的數(shù)量為零，正切正切 線不存在線不存在。 24教學類別 作業(yè)作業(yè) 利用單位圓中的三角函數(shù)線