不等式證明的若干方法

1、不等式證明的若干方法摘要：不等式作為一個(gè)重要的分析工具和分析手段，在數(shù)學(xué)中具有舉足輕重的地位不等式的證明是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)也是考試的一個(gè)重要考點(diǎn)。 不等式的證明問題，由于題型多變、方法多樣、技巧性強(qiáng)，加上無固定的規(guī)律可循，往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運(yùn)用，也是各種思想方法的集中體現(xiàn)，因此難度較大.解決這個(gè)問題的途徑在于熟練掌握不等式的性質(zhì)和一些基本不等式，靈活運(yùn)用常用的和特殊的證明方法。因此本文歸納總結(jié)不等式一些常見的證明放法.并就每一種證法舉例說明. 關(guān)鍵詞：不等式 ；證法1、 比較法： 比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩

2、個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用，比較法可分為作差比較法( 簡稱為求差法) 和作商比較法( 簡稱為求商法) 。1 作差比較法： 作差比較法的理論依據(jù)是根據(jù)公理：，利用不等式兩邊的差是正數(shù)或負(fù)數(shù)來證明，一般的步驟是：作差變形判斷符號得出結(jié)論。 例1、求證： 2 作商比較法： 作商比較法的理論依據(jù)是：“若，+， / 1 ； / 1 ”. 例2、 已知 x,y 為不等的正數(shù)，求證 ： ： 比較法是證明不等式的最基本的方法，采用作差法還是作商法，關(guān)鍵 在于 所證不等式的結(jié)構(gòu)和條件，其目的在于作差或作商后，是否易于變形，是否易于判斷符號。2、 分析法:分析法是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的

3、充分條件，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定那個(gè)條件是否具備，其特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”. 用分析法證明的邏輯關(guān)系為：書寫的模式是：為了證明命題成立，只需證明命題 1 為真，從而有 ，這只需證明 2 為真，從而又有 ， 這只需證明為真，而已知為真，故必為真. 這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。 例3、已知：求證： 3、 綜合法:綜合法利用已知事實(shí)( 已知條件、重要不等式或已證明的不等式) 作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч?，從“已知”看“需知”，逐步推出“結(jié)論”. 其

4、邏輯關(guān)系為：即從已知逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論。 例4、已知是不全相等的正數(shù)，求證： 證明：, ； 同理：, ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即取等號，而是不全相等的正數(shù). 分析法的步驟為從未知到已知，在證題過程中，“要證”、“只要證”這些詞語是必不可少的，否則是錯(cuò)誤的，綜合法是分析法的逆過程，表述簡單，條理清楚，分析法是由果索因，綜合法是由因?qū)Ч? 所以在實(shí)際證題時(shí)，往往用分析法探索，用綜合法書寫.4、 反證法:反證法是在有些不等式的證明中，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式 AB，先假設(shè) AB，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定 AB。當(dāng)涉及到的證明不等式為否定命

5、題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時(shí)，可以考慮用反證法。例5、 已知 0a1,0b1,0c0；當(dāng) 或 為時(shí)，=0；當(dāng) 或 為時(shí)， 不存在，從而有。6、 放縮法：放縮法是指在證題過程中，根據(jù)不等式的傳遞性，采用舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）而使不等式的各項(xiàng)之和變?。ɑ蜃兇螅虬押停ɑ蚍e）里的各項(xiàng)換以較大（或較?。┑臄?shù)，或在分式中擴(kuò)大（或縮?。┓质街械姆肿樱ɑ蚍帜福?，從而達(dá)到證明的目的，要注意的是“放”、“縮”得當(dāng)，不要過頭，才有利于問題的解決。 例8、求證: 不等式兩邊同時(shí)乘以 7、 換元法：我們知道，換元法在不等式的證明中也是很常見的方法之一，通過對不等式添加或者去

6、掉某些元素，使原來的未知量（或變量）變換成新的未知量（或變量），起到化難為易，化繁為簡的作用，從而更容易達(dá)到證明原有不等式的目的。1 三角換元法： 例9、已知：求證： 2 向量換元法：例10、已知，求證：證明： 設(shè)，則有，由性質(zhì)，得3 代數(shù)換元法：例11、 已知a,b,c，且證明 ： 設(shè) 8、 數(shù)學(xué)歸納法： 如果求證的不等式與自然數(shù)有關(guān)，證明時(shí)往往采用數(shù)學(xué)歸納法. 例12：設(shè)數(shù)列 證明： 對一切正整數(shù) n 立。 結(jié)語： 以上簡單的歸納了幾種證明不等式的方法，其他證明不等式的方法還有很多這里就不做詳細(xì)的介紹了。在解決不等式過程中，由于不等式的不同，證明的方法也各有不同。在證明不等式時(shí)，應(yīng)注意多種證明方法的綜合應(yīng)用，絕不可以將某種證法看成是孤立的?？傊?，解題有法，但無定法，遵循規(guī)律，因擇法，想要熟練掌握這些技巧，必須多實(shí)踐，悟出規(guī)律。參考文獻(xiàn)：1胡漢明，不等式證明問題的思考方法J數(shù)學(xué)通訊.2001( 09) 2王保國. 不等式證明的六種非常規(guī)方法.J數(shù)學(xué)愛好者.2007（06） 3