初高中數(shù)學(xué)銜接教材12講配答案

1、初高中數(shù)學(xué)銜接教材12講編者的話高中數(shù)學(xué)難學(xué)，難就難在初中教材與高中教材之間剃度過大，因此我們要認(rèn)真搞好初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接，使初高中的數(shù)學(xué)教學(xué)具有連續(xù)性和統(tǒng)一性?，F(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)教材存在以下“脫節(jié)”：1、絕對(duì)值型方程和不等式，初中沒有講，高中沒有專門的內(nèi)容卻在使用；2、立方和與差的公式在初中已經(jīng)刪去不講，而高中還在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式的分解，對(duì)系數(shù)不為1的涉及不多，而且對(duì)三次或高次多項(xiàng)式的分解幾乎不作要求；高中教材中許多化簡(jiǎn)求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中對(duì)分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中數(shù)學(xué)中函數(shù)、不等式常用的

2、解題技巧； 5初中教材對(duì)二次函數(shù)的要求較低，學(xué)生處于了解水平。而高中則是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)教材的始終的重要內(nèi)容；配方、作簡(jiǎn)圖、求值域（取值范圍）、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大最小值、研究閉區(qū)間上的函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)所必須掌握的基本題型和常用方法；6、二次函數(shù)、二次不等式與二次方程之間的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）初中不作要求，此類題目?jī)H限于簡(jiǎn)單的常規(guī)運(yùn)算，和難度不大的應(yīng)用題，而在高中數(shù)學(xué)中，它們的相互轉(zhuǎn)化屢屢頻繁，且教材沒有專門講授，因此也脫節(jié)；7、圖像的對(duì)稱、平移變換初中只作簡(jiǎn)單介紹，而在高中講授函數(shù)時(shí)，則作為必備的基本知識(shí)要領(lǐng)；8、含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式初中只是定量介紹了解，

3、高中則作為重點(diǎn)，并無專題內(nèi)容在教材中出現(xiàn)，是高考必須考的綜合題型之一；9、幾何中很多概念（如三角形的四心：重心、內(nèi)心、外心、垂心）和定理（平行線等分線段定理、平行線分線段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已經(jīng)刪除，大都沒有去學(xué)習(xí)；10、圓中四點(diǎn)共圓的性質(zhì)和判定初中沒有學(xué)習(xí)。高中則在使用。另外，象配方法、換元法、待定系數(shù)法、雙十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老師根本沒有去延伸發(fā)掘，不利于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。高一數(shù)學(xué)相對(duì)于初中數(shù)學(xué)而言，邏輯推理強(qiáng)，抽象程度高，知識(shí)難度大。初中畢業(yè)生以較高的數(shù)學(xué)成績(jī)升入高中后，不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)習(xí)成績(jī)大幅度下降，出現(xiàn)了嚴(yán)重的兩極分化，心理失落感很

4、大，過去的尖子生可能變?yōu)閷W(xué)習(xí)后進(jìn)生，甚至，少數(shù)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)失去了信心。初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容作了較大程度的壓縮、上調(diào)，中考難度的下調(diào)、新課程的實(shí)驗(yàn)和新教材的教學(xué)，使高中數(shù)學(xué)在教材內(nèi)容以及高考中都對(duì)學(xué)生的能力提出了更高的要求，使得原來的矛盾更加突出。高中教材從知 識(shí)內(nèi)容上整體數(shù)量較初中劇增；在知識(shí)的呈現(xiàn)、過程和聯(lián)系上注重邏輯性，且數(shù)學(xué)語言抽象程度發(fā)生了突變，教材敘述比較嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范而抽象。知識(shí)難度加大，且習(xí)題類型多，解題技巧靈活多變，計(jì)算繁冗復(fù)雜，體現(xiàn)了“起點(diǎn)高、難度大、容量多”的特點(diǎn)。其次，初中難度降低，有中考試卷的難度降低作保障；而高中由于受高考的限制，教師都不敢降低難度，造成了高中數(shù)學(xué)實(shí)際難度并沒有

5、降低。因此，從一定意義上講，調(diào)整后的教材不僅沒有縮小初高中教材內(nèi)容的難度差距，反而加大了。如現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材在內(nèi)容上進(jìn)行了較大幅度的調(diào)整，難度、深度和廣度大大降低了，那些在高中學(xué)習(xí)中經(jīng)常應(yīng)用到的知識(shí)，如十字相乘法、分組分解法等內(nèi)容，都轉(zhuǎn)移到高一階段補(bǔ)充學(xué)習(xí)。這樣初中教材就體現(xiàn)了“淺、少、易”的特點(diǎn)，但卻加重了高一數(shù)學(xué)的份量。在初中，教師講得細(xì)，類型歸納得全，練得熟，考試時(shí)，學(xué)生只要記準(zhǔn)概念、公式及教師所講例題類型，一般均可對(duì)號(hào)入座取得中考好成績(jī)。而高考要求則不同，有的高中教師往往用高三復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)達(dá)到的類型和難度來對(duì)待高一教學(xué)，造成了輕過程、輕概念理解、重題量的情形，造成初、高中教師教學(xué)方法上的巨

6、大差異，中間又缺乏過渡過程，至使新生普遍適應(yīng)不了高中教師的教學(xué)方法。高中許多知識(shí)僅憑課堂上聽懂是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要認(rèn)真消化。這就要求學(xué)生具有較強(qiáng)的閱讀分析能力和自學(xué)理解能力。因此，在初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接中，教師要有意識(shí)地指導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)課本，通過編擬閱讀提綱，幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念，對(duì)某些簡(jiǎn)單章節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，可組織閱讀討論，以培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)理解能力以及獨(dú)立鉆研問題的良好習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生形成有效的學(xué)習(xí)策略。新的課程改革，難免會(huì)導(dǎo)致很多知識(shí)的脫節(jié)和漏洞。本書當(dāng)然也沒有詳盡列舉出來。我們會(huì)不斷的研究新課程及其體系，將不遺余力地找到新的初高

7、中數(shù)學(xué)教材體系中存在的不足，加以補(bǔ)充和完善。我們的目標(biāo)是使所有的學(xué)生在努力之后，都能摘到相應(yīng)的果實(shí)，所以我們要不惜時(shí)間與精力，進(jìn)行初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接，讓“銜接教學(xué)”更好地為高一新生鋪設(shè)一條成功的路。 南僑中學(xué)高一數(shù)學(xué)備課組目錄第一章 數(shù)與式1.1 數(shù)與式的運(yùn)算1.1.1 乘法公式 31.1.2 分式 41.2 分解因式 5第二章 二次方程、二次函數(shù)與二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判別式 112.1.2 根與系數(shù)的關(guān)系 132.2 二次函數(shù)2.2.1 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì) 192.2.2 二次函數(shù)的三種表達(dá)方式 252.3 一元二次不等式的解法 28第三章

8、相似形、三角形3.1 相似形3.1.1 平行線分線段成比例定理 333.1.2 相似三角形形的性質(zhì)與判定 363.2 三角形3.2.1 三角形的四心、 403.2.2 幾種特殊的三角形 43課后練習(xí)與習(xí)題答案 461.1 數(shù)與式的運(yùn)算1.1.1 乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 。我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三數(shù)和平方公式 ；（4）兩數(shù)和立方公式 ；（5）兩數(shù)差立方公式 。對(duì)上面列出的五個(gè)公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明。例1 計(jì)算：。解法一：原式=。解法二：原式=。例2 已知，求的

9、值。解： 。練習(xí)：1填空：（1）（ ）；（2） ；(3) 。2選擇題：（1）若是一個(gè)完全平方式，則等于（ ）A、 B、 C、 D、（2）不論，為何實(shí)數(shù)，的值（ ）A、總是正數(shù) B、總是負(fù)數(shù) C、可以是零 D、可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)1.1.2 分式1分式的意義：形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式。當(dāng)M0時(shí)，分式具有下列基本性質(zhì)：；。2繁分式：像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。例1若，求常數(shù)的值。解：， 解得 。例2（1）試證：（其中n是正整數(shù)）；（2）計(jì)算：；（1）證明：，（其中n是正整數(shù)）成立。（2）解：由（1）可知。練 習(xí)：1.對(duì)任意的正整數(shù)n， ()；2計(jì)算：。12

10、 分解因式因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法。1、提取公因式法例1 分解因式：（1）（2） 解：（1）=（2）= =。或 練習(xí)：一、填空題：1、多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式是_。2、_。3、_。4、_。5、_。6、分解因式得_。7計(jì)算= 二、判斷題：（正確的打上“”，錯(cuò)誤的打上“” ）1、（ ） 2、（ ）3、（ ） 4、（ ）2、公式法例2 分解因式：（1） （2）解：(1)=(2) =練習(xí)一、，的公因式是_。二、判斷題：（正確的打上“”，錯(cuò)誤的打上“” ）1、（ ）2、（ ）3、（ ）4、（ ）5、（ ）五、把下列各式分解1、 2、3

11、、 4、3、分組分解法例3 分解因式：（1） （2）。解：（1）或（2）=。或=。練習(xí)：用分組分解法分解多項(xiàng)式（1） （2）4、十字相乘法例4 分解因式：（1）32； （2）412； （3）； （4）。 解：（1）如圖111，將二次項(xiàng)x2分解成圖中的兩個(gè)x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成1與2的乘積，而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為3x，就是x23x2中的一次項(xiàng)，所以，有32(1)( 2)。aybyxx圖1142611圖1131211圖11212xx圖11111xy圖115 說明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖111中的兩個(gè)x用1來表示（如圖112所示）。（2）由圖113，得412

12、(2)( 6)。（3）由圖114，得（4）y(y)1(1) (y+1) （如圖115所示）。練習(xí)一、填空題：1、把下列各式分解因式：（1）_。（2）_。（3）_。（4）_。（5）_。（6）_。（7）_。（8）_。（9）_。（10）_。2、3、若則，。二、選擇題：（每小題四個(gè)答案中只有一個(gè)是正確的）1、在多項(xiàng)式（1）（2）（3）（4），（5）中，有相同因式的是（ ）A、只有（1）（2） B、只有（3）（4）C、只有（3）（5） D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分解因式得（ ）A、 B、 C、 D、3、分解因式得（ ）A、 B、C、 D、4、若多項(xiàng)式可分解為，則、的值是（ ）

13、A、， B、， C、， D、，5、若其中、為整數(shù)，則的值為（ ）A、或 B、 C、 D、或三、把下列各式分解因式1、 2、3、 4、5、關(guān)于x的二次三項(xiàng)式+b+c(a0)的因式分解。若關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是、，則二次三項(xiàng)式就可分解為。例5把下列關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式：（1）； （2）。解：（1）令=0，則解得，=。（2）令=0，則解得，=。練習(xí)1選擇題：多項(xiàng)式的一個(gè)因式為（ ）（A） （B） （C） （D）2分解因式：（1）x26x8 （2）8a3b3（3）x22x1 （4）習(xí)題12 1分解因式：（1）= （2）； （3）； （4）。2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：（1） ； （2）； （3）

14、； （4）。3分解因式：x(a2a)。2.1 一元二次方程2.1.1根的判別式情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過具體實(shí)例探索二次方程的根的求法，如求方程的根：(1)；(2)；(3)。用配方法可把一元二次方程bc0（a0）變?yōu)閍0，4a20。于是（1）當(dāng)b24ac0時(shí)，方程的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)b24ac0時(shí)，方程的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)b24ac0時(shí)，方程的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒有實(shí)數(shù)根。由此可知，一元二次方程bc0（a0）的根的情況可以由b24ac來判定，我們把b24ac叫做一元二次方程bc0（a0）

15、的根的判別式，通常用符號(hào)“”來表示。綜上所述，對(duì)于一元二次方程bc0（a0），有（1）當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不相bc0等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，；（3）當(dāng)0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。例1 判定下列關(guān)于的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實(shí)數(shù)根，寫出方程的實(shí)數(shù)根。（1）330； （2）10；（3）(1)0； （4）2a0。解：（1）3241330，方程沒有實(shí)數(shù)根。（2）該方程的根的判別式a241(1)a240，所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，。（3）由于該方程的根的判別式為a241(a1)a24a4(a2)2，所以，當(dāng)a2時(shí)，0，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1x21；當(dāng)a2

16、時(shí)，0， 所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x11，x2a1。（4）由于該方程的根的判別式為2241a44a4(1a)，所以當(dāng)0，即4(1a) 0，即a1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，；當(dāng)0，即a1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1x21；當(dāng)0，即a1時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。說明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號(hào)隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對(duì)a的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類討論。分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來解決問題。2.1.2 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）若一元二次方程bc0（a0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根則有；。所以，一元二

17、次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：如果bc0（a0）的兩根分別是,，那么+， 。這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理。特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2pq0，若,是其兩根，由韋達(dá)定理可知，+p，q，即p(+)，q，所以，方程pq0可化為(+)0，由于,是一元二次方程x2pxq0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程(+)0。因此有以兩個(gè)數(shù),為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是(+)0。所以，方程的另一個(gè)根為，k的值為7。例2已知方程的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值。分析：由于已知了方程的一個(gè)根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個(gè)根。但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用

18、韋達(dá)定理來解題，即由于已知了方程的一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩根之和求出k的值。解法一：2是方程的一個(gè)根，522k260，k7。所以，方程就為5x27x60，解得2，。解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為，則 2，。由（）2，得 k7。所以，方程的另一個(gè)根為，k的值為7。例3 已知關(guān)于的方程2(m2)xm240有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21，求m的值。分析：本題可以利用韋達(dá)定理，由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得m的值。但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零

19、。解：設(shè),是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得+2(m2)，m24。21，(+)23 21，即2(m2)23(m24)21，化簡(jiǎn)，得 m216m170，解得m1，或m17。當(dāng)m1時(shí)，方程為650，0，滿足題意；當(dāng)m17時(shí)，方程為302930，302412930，不合題意，舍去。綜上，m17。說明：（1）在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對(duì)應(yīng)的m的范圍，然后再由“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可。（2）在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的判別式是否大于或大于零。因?yàn)?，韋達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根。例4已知兩個(gè)

20、數(shù)的和為4，積為12，求這兩個(gè)數(shù)。分析：我們可以設(shè)出這兩個(gè)數(shù)分別為，y，利用二元方程求解出這兩個(gè)數(shù)。也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解。解法一：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是，則 解得： ，因此，這兩個(gè)數(shù)是2和6。解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個(gè)數(shù)是方程x24x120的兩個(gè)根。解這個(gè)方程，得2，6。所以，這兩個(gè)數(shù)是2和6。說明：從上面兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達(dá)定理來解題）要比解法一簡(jiǎn)捷。例5 若和分別是一元二次方程25x30的兩根。（1）求|的值； （2）求的值； （3）。解：和分別是一元二次方程2530的兩根，。（1）| |2x12+ x222 (+)246，|-|。（2）。（3）(

21、+2)( )(+) (+) 23()()23()。說明：一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量，今后我們經(jīng)常會(huì)遇到求這一個(gè)量的問題，為了解題簡(jiǎn)便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)x1和x2分別是一元二次方程bc0（a0），則，|-|。于是有下面的結(jié)論：若和分別是一元二次方程bc0（a0），則|-|（其中b24ac）。今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論。例6 若關(guān)于x的一元二次方程a40的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：設(shè),是方程的兩根，則a40，且(1)24(a4)0。由得a4，由得a。a的取值范圍是a4。練 習(xí)1.選擇題：（1）方程的根的情

22、況是（ ）（A）有一個(gè)實(shí)數(shù)根 （B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（C）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（D）沒有實(shí)數(shù)根（2）若關(guān)于x的方程mx2 (2m1)xm0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ） （A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m02填空:（1）若方程310的兩根分別是x1和x2，則 。（2）方程mx2x2m0（m0）的根的情況是 。（3）以3和1為根的一元二次方程是 。3.若，當(dāng)k取何值時(shí)，方程kab0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根？4已知方程310的兩根為和，求(3)( 3)的值。習(xí)題2.1 A組1選擇題:（1）已知關(guān)于的方程k20的一個(gè)根是1，則它的另一個(gè)根是（ ）（A）3 （B）3 （

23、C）2 （D）2（2）下列四個(gè)說法：其中正確說法的個(gè)數(shù)是（ ）個(gè) （A）1 （B）2 （C）3 （D）4方程2x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程2x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程370的兩根之和為0，兩根之積為；方程32x0的兩根之和為2，兩根之積為0。（3）關(guān)于x的一元二次方程a5xa2a0的一個(gè)根是0，則a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:（1）方程k4x10的兩根之和為2，則k 。（2）方程2x2x40的兩根為，則22 。（3）已知關(guān)于x的方程ax3a0的一個(gè)根是2，則它的另一個(gè)根是 。（4）方程22x10的兩根為x1和x2，則| x1x2|

24、。3試判定當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程(2m1) x10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？沒有實(shí)數(shù)根？4求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程x27x10各根的相反數(shù)。B 組1選擇題:若關(guān)于x的方程(k21) xk10的兩根互為相反數(shù)，則k的值為（ ）（A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）02填空:（1）若m，n是方程2005x10的兩實(shí)數(shù)根，則m2nmn2mn的值等于 。（2）若a，b是方程x10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式a3a2bab2b3的值是 。3已知關(guān)于x的方程kx20。（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩根為x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，

25、求實(shí)數(shù)k的取值范圍。4一元二次方程abxc0（a0）的兩根為x1和x2。求：（1）| x1x2|和；（2）x13x23。5關(guān)于x的方程4xm0的兩根為x1，x2滿足| x1x2|2，求實(shí)數(shù)m的值。C 組1.選擇題：（1）已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)恰好是方程28x70的兩根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于（ ） （A） （B）3 （C）6 （D）9（2）若x1，x2是方程24x10的兩個(gè)根，則的值為（ ）（A）6 （B）4 （C）3 （D）（3）如果關(guān)于x的方程2(1+m)xm20有兩實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（ ）（A） （B） （C）1 （D）1 （4）已知a，b，c是ABC的三邊長(zhǎng)，那么方

26、程c(ab)x0的根的情況是（ ）（A）沒有實(shí)數(shù)根 （B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（C）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 （D）有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根2.填空：若方程8xm0的兩根為x1，x2，且3x12x218，則m 。3.已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4k4kxk10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。（1）是否存在實(shí)數(shù)k，使(2x1x2)( x12x2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；（2）求使2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值；（3）若k2，試求的值。4已知關(guān)于x的方程。（1）求證：無論m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根；（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足|x2|x1|2，求m的值及相應(yīng)的x1，x2。

27、5若關(guān)于x的方程xa0的根一個(gè)大于1、另一根小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。22 二次函數(shù)2.2.1 二次函數(shù)yax2bxc的圖象和性質(zhì)情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過具體實(shí)例探索二次函數(shù)的圖象，如作圖（1） (2) (3) 教師可采用計(jì)算機(jī)繪圖軟件輔助教學(xué)問題1 函數(shù)ya與y的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？為了研究這一問題，我們可以先畫出y2，y，y2的圖象，通過這些函數(shù)圖象與函數(shù)y的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)ya與y的圖象之間所存在的關(guān)系。先畫出函數(shù)y，y2的圖象。先列表：x321012394101492188202818從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴(kuò)大到兩倍就可以了。圖2.2-2

28、xyO1y2x2y2(x1)2y2(x1)21yx2y2x2圖2.2-1xOy再描點(diǎn)、連線，就分別得到了函數(shù)y，y2的圖象（如圖21所示），從圖21我們可以得到這兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y2的圖象可以由函數(shù)yx2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫?。同學(xué)們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)y，y2的圖象，并研究這兩個(gè)函數(shù)圖象與函數(shù)y的圖象之間的關(guān)系。通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)ya (a0)的圖象可以由yx2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍得到。在二次函數(shù)ya (a0)中，二次項(xiàng)系數(shù)a決定了圖象的開口方向和在同一個(gè)坐標(biāo)系中的開口的大小。問題2 函數(shù)ya(xh)2k與ya的圖

29、象之間存在怎樣的關(guān)系？同樣地，我們可以利用幾個(gè)特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來研究它們之間的關(guān)系。同學(xué)們可以作出函數(shù)y2(x1)21與y2的圖象（如圖22所示），從函數(shù)的圖象我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y2的圖象向左平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位，就可以得到函數(shù)y2(x1)21的圖象。這兩個(gè)函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點(diǎn)。類似地，還可以通過畫函數(shù)y3，y3(x1)21的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系。通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)ya(xh)2k(a0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)

30、圖象的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”。由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)yabxc(a0)的圖象的方法：由于yabxca()ca()c ，所以，yabxc(a0)的圖象可以看作是將函數(shù)ya的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)yabxc(a0)具有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)yabxc圖象開口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線x；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而減?。划?dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取最小值y。（2）當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)yabxc圖象開口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線x；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而減?。划?dāng)x時(shí)，函數(shù)取最大值y。 上述二次

31、函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過圖223和圖224直觀地表示出來。因此，在今后解決二次函數(shù)問題時(shí)，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題。xOyx1A(1,4)D(0,1)BC圖2.25xyOxA圖2.2-3xyOxA圖2.2-4例1 求二次函數(shù)y36x1圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值（或最小值），并指出當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大（或減小）？并畫出該函數(shù)的圖象。解：y36x13(x1)24，函數(shù)圖象的開口向下；對(duì)稱軸是直線x1；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)；當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)y取最大值y4；當(dāng)x1時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x1時(shí)，y隨著x的增大而減小；采用描點(diǎn)法畫圖，選頂點(diǎn)A(1，4

32、)，與x軸交于點(diǎn)B和C，與y軸的交點(diǎn)為D(0，1)，過這五點(diǎn)畫出圖象（如圖25所示）。說明：從這個(gè)例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點(diǎn)，減少了選點(diǎn)的盲目性，使畫圖更簡(jiǎn)便、圖象更精確。函數(shù)yabxc圖象作圖要領(lǐng)：確定開口方向：由二次項(xiàng)系數(shù)a決定。確定對(duì)稱軸：對(duì)稱軸方程為確定圖象與x軸的交點(diǎn)情況，若0則與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可由方程bxc=0求出若=0則與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，可由方程x2bxc=0求出若0則與x軸有無交點(diǎn)。確定圖象與y軸的交點(diǎn)情況,令x=0得出y=c，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）由以上各要素出草圖。練習(xí)：作出以下二次函數(shù)的草圖：（1） (2) (3) x /元13

33、0150165y/件705035例2 某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關(guān)系如下表所示：若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤(rùn)，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每天的銷售利潤(rùn)是多少？分析：由于每天的利潤(rùn)日銷售量y(銷售價(jià)x120)，日銷售量y又是銷售價(jià)x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤(rùn)最大值，首先需要求出每天的利潤(rùn)與銷售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤(rùn)的最大值。解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設(shè)ykxb，將x130，y70；x150，y50代入方程，有 解得。 yx200。設(shè)每天

34、的利潤(rùn)為z（元），則z(x+200)(x120)x2320x24000 (x160)21600，當(dāng)x160時(shí)，z取最大值1600。答：當(dāng)售價(jià)為160元/件時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，為1600元。例3 把二次函數(shù)ybxc的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)yx2的圖像，求b，c的值。解法一：ybxc(x +)2，把它的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到的圖像，也就是函數(shù)y的圖像，所以， 解得b8，c14。解法二：把二次函數(shù)ybxc的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y的圖像，等價(jià)于把二次函數(shù)yx2的圖像向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到函數(shù)ybxc的

35、圖像。由于把二次函數(shù)y的圖像向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y(x4)22的圖像，即為y8x14的圖像，函數(shù)y8x14與函數(shù)ybxc表示同一個(gè)函數(shù)，b8，c14。說明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來解決問題，所以，同學(xué)們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律。這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進(jìn)行正向的思維來解決的，其運(yùn)算量相對(duì)較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來的問題等價(jià)轉(zhuǎn)化成與之等價(jià)的問題來解，具有計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)。今后，我們?cè)诮忸}時(shí)，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉斫鉀Q問題。例4 已知函數(shù)yx2，2xa，其中a2，求該函數(shù)的最大值

36、與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值。 分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個(gè)變化的范圍，需要對(duì)a的取值進(jìn)行討論。解：（1）當(dāng)a2時(shí)，函數(shù)y的圖象僅僅對(duì)應(yīng)著一個(gè)點(diǎn)(2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時(shí)x2；（2）當(dāng)2a0時(shí)，由圖226可知，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)取最大值y4；當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)取最小值ya2；（3）當(dāng)0a2時(shí)，由圖226可知，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)取最大值y4；當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)取最小值y0；（4）當(dāng)a2時(shí)，由圖226可知，當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)取最大值ya2；當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)取最小值y0。xyO2axyO2aa24圖2.26xyOa224a22xyOaa24說明：在本例中，利用了

37、分類討論的方法，對(duì)a的所有可能情形進(jìn)行討論。此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實(shí)數(shù)，而是取部分實(shí)數(shù)來研究，在解決這一類問題時(shí)，通常需要借助于函數(shù)圖象來直觀地解決問題。練習(xí) 1選擇題：（1）下列函數(shù)圖象中，頂點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上的是（ ）（A）y2 （B）y24x2 （C）y21 （D）y24x （2）函數(shù)y2(x1)22是將函數(shù)y2（ ） （A）向左平移1個(gè)單位、再向上平移2個(gè)單位得到的（B）向右平移2個(gè)單位、再向上平移1個(gè)單位得到的（C）向下平移2個(gè)單位、再向右平移1個(gè)單位得到的（D）向上平移2個(gè)單位、再向右平移1個(gè)單位得到的2填空題（1）二次函數(shù)y2mxn圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1

38、，2)，則m ，n 。（2）已知二次函數(shù)y+(m2)x2m，當(dāng)m 時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)m 時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)m 時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)。（3）函數(shù)y3(x2)25的圖象的開口向 ，對(duì)稱軸為 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ；當(dāng)x 時(shí)，函數(shù)取最 值y ；當(dāng)x 時(shí)，y隨著x的增大而減小。3求下列拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大（?。┲导皔隨x的變化情況，并畫出其圖象。（1）y2x3； （2）y16 x。4已知函數(shù)y2x3，當(dāng)自變量x在下列取值范圍內(nèi)時(shí)，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當(dāng)函數(shù)取最大（?。┲禃r(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值：；。2.2.2 二次函數(shù)的三種表示方式通過上一小節(jié)的學(xué)習(xí)，我們

39、知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：1一般式：yabxc(a0)；2頂點(diǎn)式：ya(xh)2k (a0)，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h，k)。除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來表示。為了研究另一種表示方式，我們先來研究二次函數(shù)yabxc(a0)的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)。當(dāng)拋物線yabxc(a0)與x軸相交時(shí)，其函數(shù)值為零，于是有abxc0。 ，并且方程的解就是拋物線yabxc(a0)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)為零），于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線yabxc(a0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程的解的個(gè)數(shù)有關(guān)，而方程的解的個(gè)數(shù)又與方程的根的判別式b24ac有關(guān)，由此可知，拋物線yabxc(a0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的

40、判別式b24ac存在下列關(guān)系：（1）當(dāng)0時(shí)，拋物線yabxc(a0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；反過來，若拋物線yabxc(a0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則0也成立。（2）當(dāng)0時(shí)，拋物線yabxc(a0)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（拋物線的頂點(diǎn)）；反過來，若拋物線yabxc(a0)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則0也成立。（3）當(dāng)0時(shí)，拋物線yabxc(a0)與x軸沒有交點(diǎn)；反過來，若拋物線yabxc(a0)與x軸沒有交點(diǎn)，則0也成立。于是，若拋物線yabxc(a0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2是方程abxc0的兩根，所以x1x2，x1x2，即(x1x2)， x1x2。所以，yabxca()= a(

41、x1x2)xx1x2a(xx1)(xx2)。 由上面的推導(dǎo)過程可以得到下面結(jié)論：若拋物線yax2bxc(a0)與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點(diǎn)，則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為ya(xx1)(xx2)(a0)。這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：3交點(diǎn)式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。今后，在求二次函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式這三種表達(dá)形式中的某一形式來解題。例1 已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點(diǎn)在直線yx1上，并且圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，1），求二次函數(shù)的解析式。分析：在解本例時(shí)，要充分利

42、用題目中所給出的條件最大值、頂點(diǎn)位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點(diǎn)式，再由函數(shù)圖象過定點(diǎn)來求解出系數(shù)a。解：二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2。又頂點(diǎn)在直線yx1上，所以，2x1，x1。頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）。設(shè)該二次函數(shù)的解析式為，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（3，1），解得a2。二次函數(shù)解析式為，即y2x28x7。說明：在解題時(shí)，由最大值確定出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)的位置求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，最終解決了問題。因此，在解題時(shí)，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡(jiǎn)捷地解決問題。例2 已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(3，0)，(1，0)，且頂點(diǎn)到x軸的距

43、離等于2，求此二次函數(shù)的表達(dá)式。分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過的兩點(diǎn)實(shí)際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，于是可以將函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成交點(diǎn)式。解法一：二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(3，0)，(1，0)，可設(shè)二次函數(shù)為ya(x3)(x1)(a0)，展開，得：ya2ax3a， 頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ，由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離2，|4a|2，即a。所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為y，或y。分析二：由于二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(3，0)，(1，0)，所以，對(duì)稱軸為直線x1，又由頂點(diǎn)到x軸的距離為2，可知頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成頂點(diǎn)式來解，然后再利用圖象過點(diǎn)(3，0)，

44、或(1，0)，就可以求得函數(shù)的表達(dá)式。解法二：二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(3，0)，(1，0)，對(duì)稱軸為直線x1。又頂點(diǎn)到x軸的距離為2，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或2。于是可設(shè)二次函數(shù)為ya(x1)22，或ya(x1)22，由于函數(shù)圖象過點(diǎn)(1，0)，0a(11)22，或0a(11)22。a，或a。所以，所求的二次函數(shù)為y(x1)22，或y(x1)22。說明：上述兩種解法分別從與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)的坐標(biāo)這兩個(gè)不同角度，利用交點(diǎn)式和頂點(diǎn)式來解題，在今后的解題過程中，要善于利用條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉斫鉀Q問題。例3已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函數(shù)的表達(dá)式。解：設(shè)二次函數(shù)為。由函數(shù)圖象過點(diǎn)(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得，解得故所求二次函數(shù)為y2x212x8。通過上面的幾道例題，同學(xué)們能否歸納出：在什么情況下，分別利用函數(shù)的一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式來求二次函數(shù)的表達(dá)式？練習(xí)1.選擇題