解析幾何坐標系變換

1、定義定義 設設 ， 令令 稱矩陣稱矩陣 為矩陣為矩陣 與與 矩陣的乘矩陣的乘 積，記為積，記為 。 ( () ), ,( () ) i ij j m mp pi ij j p p n n A Aa aB Bb b 創(chuàng) = 1 1 1 12 2 2 2 1 1, ,2 2, , , ,; ;1 1, ,2 2, , , , i ij ji ij ji ij ji ip pp pj j c ca a b ba a b ba a b b i im mj jn n =+ = L L L LL L ( () ) i ij j m mn n C Cc c =A AB B C CA A B B= 方法如下：

2、方法如下： 矩陣的乘法矩陣的乘法 記為記為 1 1 2 2 1 12 2 j j j j i ii ii ip pi ij j p pj j b b b b a aa aa ac c b b M MM M L LL LL L L LM ML L M MM M 驏 驏驏 鼢瓏 鼢 瓏 鼢 瓏 鼢 瓏 鼢 = 瓏 鼢 瓏鼢 瓏鼢 鼢瓏 鼢鼢瓏瓏 桫桫 桫 m mn nm mn n A AB BC C 創(chuàng) = W WW W 106 861 985 123 321 例如例如 1 2 3 321 132231 .10 不存在不存在. 主對角元全為主對角元全為1 1而其他元素全為零而其他元素全為零 的的n

3、 n階方陣稱為階方陣稱為n n階單位矩陣，記為階單位矩陣，記為 或或 , ,即即 n n I II I 定義定義 100100 010010 001001 n n IIII 驏 = 桫 L L L L LLLLLLLL L L 稱為單位矩陣（或單位陣）稱為單位矩陣（或單位陣）. . 性質(zhì)性質(zhì)1 1 對任一對任一m mn n矩陣矩陣 nm A , ,均有均有 ， , , m mn nn nm mn nm mm mn nm mn n A AI IA AI I A AA A 創(chuàng)創(chuàng) = 0 00 0, ,0 00 0. . m mn nn n q qm mq qp p m mm mn np p n n

4、 A AA A 創(chuàng)創(chuàng)創(chuàng) = 2 : ()()2 : ()()A B CA B CA B CA B C=性性質(zhì)質(zhì) 在不同的坐標系下，同一個點的坐標是不同的，從而 圖形的方程也是不同的。 問題問題1：對于給定的圖形，怎樣選坐標系？使得它的：對于給定的圖形，怎樣選坐標系？使得它的 方程最簡單。方程最簡單。 問題問題2：在不同的坐標系下，同一圖形的不同方程之：在不同的坐標系下，同一圖形的不同方程之 間有什么關(guān)系？間有什么關(guān)系？ 設在空間中我們?nèi)《▋蓚€仿射坐標系，它們的標架分別 為 和 123 ( ;,)I O e e e 123 (;,).I O eee 123 ( , , ) OMxeyeze Mx

5、 y z 123 (;,)I O eee 123 ( ;,)I O e e e 123 (,) O Mx ey ez e Mx y z O e1 e2 e3 O e1 e2 e3 M 111 121 231 3 212 122 232 3 313 123 233 3 , , , ec ec ec e ec ec ec e ec ec ec e 設 在 中的坐標依次為 123 ,eee I 112131122232132333 (,),(,),(,).c cccccccc 1 1121311 21222322 3132333 3 e ccce eccce eccc e 用矩陣表示為 111 12

6、1 231 3 212 122 232 3 313 123 233 3 , , , ec ec ec e ec ec ec e ec ec ec e 矩陣111213 212223 313233 ccc Cccc ccc 稱為從坐標系 到 的過渡矩陣，它是以 在 中的坐標為各個列向量的三階矩陣。 I I I 123 ,eee 設向量 在 和 中的坐標分別為 I I ( , , )(,),x y zx y z和和 它們與 和 之間的位 置關(guān)系有直接相關(guān)的。 123 ( ;,)I O e e e 123 (;,)I O eee 123 xeyeze 123 xeyeze 于是由坐標的定義， 123

7、 1 112 123 13 1 212 223 23 1 312 323 33 () () () x ey ez e xcecece ycecece zcecece 這說明 在 中的坐標為 I 111213 212223 313233 , , , xc xc yc z yc xc yc z zc xc yc z 用矩陣表示為： 111213 212223 313233 xccc x ycccy zccc z 向量的坐標變換公式：向量的坐標變換公式： 111213 212223 313233 , , , xc xc yc z yc xc yc z zc xc yc z 111213 212223

8、 313233 xccc x ycccy zccc z 下面討論點的坐標變換公式。設點M在 和 中的 坐標分別為 ，它們分別是向量 在 中的坐標和向量 在 中的坐標。 由公式得 在 中的坐標為 I I ( , , )(,),x y zx y z和和 I OM O M I O M I 111213 212223 313233 xccc cccy cccz 由于 ，如果設點 在 中的坐標 為 ，則 OMOOO M O I 123 (,)d d d 1112131 2122232 3313233 xcccd x ycccyd zdccc z 這就是點的坐標變換公式的矩陣形式。點的坐標變 換公式的一般

9、形式為 1112131 2122232 3132333 , , , xcxcyczd ycxcyczd zcxcyczd 曲面的方程的變換公式。 設S是一張曲面，它在 中的一般方程為 求它在 中的一般方程。 對于點M，如果它在 中的坐標為 ，則 在 中的坐標為 I( , , )0,F x y z I I (,)x y z I 1112131 2122232 3132333 (, , ) cxcyczd cxcyczd cxcyczd 因此點M在S上充要條件為： 1112131 2122232 3132333 (, , )0 F cxcyczd cxcyczd cxcyczd 把上式左端的函數(shù)式

10、記作 則 是S在 中的一般方程，稱它 為由S在 中的方程 經(jīng)過坐標變換 化為S在 中的方程。 (,)0,G x y z (,)0G x y z I I ( , , )0F x y z I 過渡矩陣的性質(zhì)過渡矩陣的性質(zhì) 因為 中的坐標向量 是不共面的，所以 過渡矩陣的行列式 ，即 是滿秩矩陣。 I 123 ,eee | 0C C 命題命題 設有三個仿射坐標系 。 到 的過 渡矩陣為 ， 到 的過渡矩陣為 ，則 到 的過渡矩陣為 ,I I I I I C I I D I I .CD 直角坐標變換的過渡矩陣，正交矩陣直角坐標變換的過渡矩陣，正交矩陣 設 和 是空間中的兩個直 角坐標系， 到 的過渡矩

11、陣為 123 ( ;,)I O e e e 123 (;,)I O eee II 111213 212223 313233 ccc Cccc ccc 112233 ,1,2,3. ijijijij eec cc cc ci j 因為 是直角坐標系，C的各個列向量依次是 在 中的坐標，所以它們之間的內(nèi)積為 I 123 ,eee I 又 是直角坐標系，所以 I 112233 1, 0, ijijijij ij c cc cc cee ij 于是 111213 212223 313233 1 0 0 0 1 0 0 0 1 T eeeeee C Ceeeeee eeeeee I 實方矩陣 ，滿足 ，

12、則稱 為正交矩陣。 T A AI 命題命題 兩個直角坐標系之間的過渡矩陣是正交矩陣。兩個直角坐標系之間的過渡矩陣是正交矩陣。 AA 對于平面上兩個直角坐標系，它們的過渡矩 陣是正交矩陣。則它是二階正交矩陣，設為 1112 2122 cc C cc 則 2222 11121121 2222 21221222 11 1212 2211 2121 22 1, 1, 0. cccc cccc c cc cc cc c 于是 11221221 | |,| |.cccc 于是二階正交矩陣只有下面兩種形式： cossincossin , sincossincos 平面直角坐標變換公式 1 2 cossin sincos xxyd yxyd 一個是旋轉(zhuǎn), 一個是旋轉(zhuǎn)加反射. 現(xiàn)考慮在一個右手直角坐標系中，一個二次方程 22 11221212 2220a xa ya xyb xb yc 做法是通過轉(zhuǎn)軸和移軸，尋找一個新的右手直角坐標系， 使得方程最簡，從而看出其幾何形狀。 下面用轉(zhuǎn)軸消去交叉項。 cossin sincos xxy yxy 22 112212 2 2 1122 12 222 111222 222 111222 221112 2 (cossin)(sincos) 2(cossin)(sincos) (