【公開課】橢圓的簡單幾何性質

1、-1- 2 2.1 1.2 2橢圓的簡單幾何性質橢圓的簡單幾何性質 課標闡釋思維脈絡 1.掌握橢圓的范圍、對稱 性、中心、頂點、軸、離 心率等幾何性質; 2.能夠應用橢圓的標準方 程研究橢圓的幾何性質; 3.掌握根據橢圓的幾何性 質解決有關問題的方法. 課前篇自主預習 【思考】觀察橢圓 (ab0)的形狀(如圖),你能從圖中看 出它的范圍嗎?它具有怎樣的對稱性?橢圓上哪些點比較特殊? 提示:(1)范圍:-axa,-byb; (2)對稱性:橢圓關于x軸、y軸、原點都對稱; (3)特殊點:頂點A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b). 課前篇自主預習 橢圓的簡單幾何性質 課

2、前篇自主預習 課前篇自主預習 名師點撥 1.橢圓的范圍決定了橢圓的大小,它位于直線x=a和 y=b所圍成的矩形框里.其實質是給出了橢圓上點的橫坐標、縱 坐標的取值范圍,在求解一些存在性、判斷性問題中有著重要的應 用,也可用于求最值和軌跡等問題時的檢驗. 2.應用方程研究曲線對稱性的方法如下: (1)若把曲線方程中的x換成-x,方程不變,則曲線關于y軸對稱; (2)若把曲線方程中的y換成-y,方程不變,則曲線關于x軸對稱; (3)若同時把曲線方程中的x換成-x,y換成-y,方程不變,則曲線關于原 點對稱. 課前篇自主預習 3.橢圓的離心率 4.橢圓的通徑:過橢圓的焦點且垂直于長軸的直線被橢圓所截

3、得的 弦叫做橢圓的通徑,其長度為 . 課前篇自主預習 【做一做1】 橢圓x2+9y2=36的短軸端點為. 答案:(0,2) 課前篇自主預習 課堂篇探究學習 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 根據橢圓的標準方程研究其幾何性質根據橢圓的標準方程研究其幾何性質 例1求橢圓9x2+16y2=144的長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點 坐標. 課堂篇探究學習 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 反思感悟用標準方程研究幾何性質的步驟 (1)化標準:把橢圓方程化成標準形式; (2)定位置:根據標準方程分母的大小確定焦點的位置; (3)求參數:寫出a,b的值,并求出c的值; (4)寫性質:按要求寫出橢圓的簡

4、單幾何性質. 課堂篇探究學習 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 延伸探究 本例中若把橢圓方程改為“9x2+16y2=1”,求其長軸長、短 軸長、離心率、焦點和頂點坐標. 課堂篇探究學習 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 根據橢圓的幾何性質求其標準方程根據橢圓的幾何性質求其標準方程 例2根據下列條件求橢圓的標準方程: (1)橢圓的一個頂點是(0,2),離心率e=; (2)橢圓長軸的一個端點為(-6,0),短軸的一個端點與兩個焦點構成 一個正三角形. 分析(1)焦點位置不確定,應進行分類討論;(2)焦點位置確定,可根據 題目條件求出a,b,c的值即得方程. 課堂篇探究學習 探究一探究二探究三思

5、維辨析當堂檢測 課堂篇探究學習 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 課堂篇探究學習 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 反思感悟利用橢圓的幾何性質求標準方程的思路 (1)根據橢圓的幾何性質,求其標準方程主要采用待定系數法,解題 步驟為: 確定焦點所在的位置,以確定橢圓標準方程的形式; 確立關于a,b,c的方程(組),求出參數a,b,c; 寫出標準方程. (2)在求橢圓標準方程時,要注意根據題目條件判斷焦點所在的坐標 軸,從而確定方程的形式,若不能確定焦點所在坐標軸,則應進行分 類討論.一般地,已知橢圓的焦點坐標時,可以確定焦點位置,而已知 離心率、長軸長、短軸長、焦距時,則不能確定焦點位置.

6、課堂篇探究學習 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 變式訓練1根據下列條件,求橢圓的標準方程. (1)已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍,且經過點A(2,0). (2)在x軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直,且焦距為8. 課堂篇探究學習 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 課堂篇探究學習 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 課堂篇探究學習 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 橢圓的離心率問題橢圓的離心率問題 例3(1)已知橢圓的焦距不小于短軸長,求橢圓的離心率的取值范圍; (2)橢圓 (ab0)的半焦距為c,若直線y=2x與橢圓一個 交點的橫坐標恰為c,求橢圓的離心率. 分析(1)依題意建

7、立c與b的不等式,再轉化為a,c的不等式,即可求得 離心率的取值范圍;(2)根據題意,建立參數a,b,c的方程求解,注意橢 圓定義的靈活運用. 課堂篇探究學習 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 課堂篇探究學習 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 反思感悟求橢圓離心率的值或范圍的兩種方法 (2)方程法:若a,c的值不可求,則可根據條件建立a,b,c的關系式,借助 于a2=b2+c2,轉化為關于c,a的齊次方程或不等式,再將方程或不等 式兩邊同除以a的最高次冪,得到關于e的方程或不等式,即可求得e 的值或范圍. 課堂篇探究學習 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 變式訓練2(1)若直線l:x-2

8、y+2=0過橢圓的左焦點F1和一個頂點B,則 橢圓的離心率為() (2)若橢圓的長軸長、短軸長、焦距構成等比數列,則該橢圓的離心 率等于. 課堂篇探究學習 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 一題多變求橢圓的離心率 課堂篇探究學習 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 答案:D 課堂篇探究學習 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 變式訓練1若將本例中“PF2F1F2,PF1F2=30”改為 “PF2F1=75,PF1F2=45”,求C的離心率. 解:如圖,在PF1F2中, PF1F2=45,PF2F1=75, F1PF2=60, 設|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,橢圓的長軸長

9、為2a, 課堂篇探究學習 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 變式訓練2若將本例中“PF2F1F2,PF1F2=30”改為“C上存在點 P,使F1PF2為鈍角”,求C的離心率的取值范圍. 解:由題意,知cb,c2b2. 又b2=a2-c2,c2a2-c2,即2c2a2. 課堂篇探究學習 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 1.橢圓6x2+y2=6的長軸的端點坐標是() A.(-1,0),(1,0) B.(0,-1),(0,1) 答案:D 課堂篇探究學習 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 答案:B 課堂篇探究學習 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 3.已知橢圓的四個頂點構成的菱形的面積為10,兩個焦點與短軸的 兩個頂點構成的菱形的面積為5,則橢圓的離心率為() 答案:C 課堂篇探究學習 探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測 4.如果橢圓的中心在原點,對稱軸為坐標軸,焦點在x