：高一數(shù)學(xué)必修2-2 變化率問題

1、1.1.11.1.1變化率問題變化率問題 1.1.1變化率問題 研究某個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量變化 導(dǎo)數(shù)研究的問題 的快慢程度 變化率問題 微積分主要與四類問題的 處理相關(guān): 一、已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函 數(shù),求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度 等; 二、求曲線的切線; 三、求已知函數(shù)的最大值與最小值; 四、求長(zhǎng)度、面積、體積和重心等。 導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究 函數(shù)增減、變化快慢、最大（小）值等 問題最一般、最有效的工具。 1.1.1變化率問題 問題1 氣球膨脹率 我們都吹過氣球回憶一下吹氣球 的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的 增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角 度,如何

2、描述這種現(xiàn)象呢? 氣球的體積V(單位:L)與半徑r (單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是 3 4 ( ) 3 V rr 如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么 3 3 ( ) 4 V r V 我們來分析一下: 當(dāng)V從0增加到1時(shí),氣球半徑增加了 氣球的平均膨脹率膨脹率為 當(dāng)V從1增加到2時(shí),氣球半徑增加了 氣球的平均膨脹率膨脹率為 (1)(0)0.62()rrdm (1)(0) (/ ) 1 0 0.62 rr dm L (2)(1)0.16()rrdm (2)(1) (/ ) 2 1 0.16 rr dm L 顯然顯然 0.620.16 問題1 氣球膨脹率 我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可 以

3、發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半 徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn) 象呢? 3 3 ( ) 4 V r V 思考? 當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí),氣球的 平均膨脹率是多少? 21 21 ()()r Vr V VV 問題2 高臺(tái)跳水 在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度 h(單位：米)與起跳后的時(shí)間t（單位：秒）存在函數(shù) 關(guān)系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí) 間段內(nèi)的平均速度粗略 地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)? 請(qǐng)計(jì)算請(qǐng)計(jì)算 00.52:ttv和1時(shí)的平均速度 h t o 請(qǐng)計(jì) 算 00.52:ttv 和1時(shí)的平均速度 h t o h(t)=-4.9t2

4、+6.5t+10 平均變化率定義: 若設(shè)x=x2-x1, f=f(x2)-f(x1) 則平均變化率為 1 21 )()f x xx 2 f(x f x 1 21 )()f x xx 2 f(x 這里x看作是對(duì)于x1的一 個(gè)“增量”可用x1+x代 替x2 同樣f=y=f(x2)-f(x1) l上述問題中的變化率可用式子 表示 稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率 思考? 觀察函數(shù)f(x)的圖象 平均變化率 表示什么? 1 21 )() fxy xxx 2 f(x O A B x y Y=f(x) x1x2 f(x1) f(x2) x2-x1=x f(x2)-f(x1)=y 直線直線AB的斜的

5、斜 率率 做兩個(gè)題吧! 1 、已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點(diǎn) A(-1,-2)及臨近一點(diǎn)B(-1+x,-2+y),則 y/x=( ) A 3 B 3x-(x)2 C 3-(x)2 D 3-x D 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+x 練習(xí)： 1. t 2 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律s=t +3,則在時(shí)間(3,3+ t)中 相應(yīng)的平均速度為( ) 9 A. 6+ t B. 6+ t+ C.3+ t D.9+ t 2.物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線運(yùn) 動(dòng),求在4s附近的平均變化率. A 253 t 小結(jié)： 1.函數(shù)的平均變化率 ( )f x x 1 21 )()f x xx 2 f(x 2.求函數(shù)的平均變化率的步驟: (1)求函數(shù)的增量f=y=f(x2)-f(x1); (2)計(jì)算平均變化率f x 1 21 )()f x xx 2 f(x 練習(xí)： 過曲線y=f(x)=x3上兩點(diǎn)P（1