《概率論與隨機過程》第1章習題答案

1、如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!概率論與隨機過程第一章習題答案1. 寫出下列隨機試驗的樣本空間。（1） 記錄一個小班一次數(shù)學考試的平均分數(shù)（設(shè)以百分制記分）。 解： ，其中為小班人數(shù)。（2） 同時擲三顆骰子，記錄三顆骰子點數(shù)之和。 解：。 （3） 10只產(chǎn)品中有3只是次品，每次從其中取一只（取出后不放回），直到將3只次品都取出，記錄抽取的次數(shù)。 解： 。（4） 生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。 解： 。（5） 一個小組有A，B，C，D，E5個人，要選正副小組長各一人（一個人不能兼二個職務），觀察選舉的結(jié)果。 解： 其中，表示為正組長，為副組長，余類推。（6） 甲乙二

2、人下棋一局，觀察棋賽的結(jié)果。解： 其中，為和棋，為甲勝，為乙勝。（7） 一口袋中有許多紅色、白色、藍色乒乓球，在其中任意取4只，觀察它們具有哪幾種顏色。 解： 其中，分別表示紅色、白色、藍色。（8） 對某工廠出廠的產(chǎn)品進行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，如連續(xù)查出二個次品就停止檢查，或檢查4個產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。解： 其中，0為次品，1為正品。（9） 有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，將三只球裝入三只盒子中，使每只盒子裝一只球，觀察裝球的情況。 解： 其中，表示球放在盒子中，余者類推。（10） 測量一汽車通過給定點的速度。 解：（11） 將一尺之棰折成三段，觀

3、察各段的長度。 解： 其中，分別表示第一段，第二段，第三段的長度。#2. 設(shè)A，B，C為三事件，用A，B，C的運算關(guān)系表示下列事件。（1） A發(fā)生，B與C不發(fā)生。 解：（2） A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生。 解： （3） A，B，C都發(fā)生。 解： （4） A，B，C中至少有一個發(fā)生。 解： （5） A，B，C都不發(fā)生。 解： 1 / 141如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!（6） A，B，C中至多于一個發(fā)生。 解： （7） A，B，C中至多于二個發(fā)生。 解： （8） A，B，C中至少有二個發(fā)生。 解： . #3. 設(shè),，具體寫出下列各等式（1）。 解： ；（2）。 解： ；（3）。 解：；

4、（4） 。 解： （5）。 解： . # 4. 設(shè)，具體寫出下列各式。（1）。 解： （2）。 解： （3）。 解： （4）。 解：. #5. 設(shè)A，B，C是三事件，且，求A，B，C至少有一個發(fā)生的概率。解：由題意可知：，故?；?，。#6. 在1500個產(chǎn)品中有400個次品，1100個正品，任意取200個。（1） 求恰有90個次品的概率。（2） 至少有2個次品的概率。解：（1）； （2） 設(shè)表示有個次品的概率，故至少有2個次品的概率為： . # 7.（1）在房間里有500個人，問至少有一個人的生日是10月1日的概率是多少（設(shè)一年以365天計算）？ （2）在房間里有4個人，問至少有二個人的生日在

5、同一個月的概率是多少？ 解：（1） 屬“分房問題”，即有個人，每個人都以的概率被分在間房中的每一間中，某指定房間中至少有一人的概率。 設(shè)某指定房間中恰有個人的概率為，則有。故，某指定房間中至少有一人的概率為：2 / 142如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!。 所以，500個人中至少有一個人的生日是10月1日的概率為： （2） 屬“分房問題”，即有個人，每個人都以的概率被分在間房中的每一間中，至少有二個人在同一間房中的概率。設(shè)A為“每一間房中至多有一個人”基本事件個數(shù)：?！懊恳婚g房中至多有一個人”事件的個數(shù)為：。所以，“至少有二個人在同一間房中的概率”等于“至少有二個人的生日在同一個月的

6、概率”。 。 # 8. 一盒子中有4只次品晶體管，6只正品晶體管，隨機地抽取一只測試，直到4只次品管子都找到為止。求第4只次品管子在下列情況發(fā)現(xiàn)的概率。（1） 在第5次測試發(fā)現(xiàn)。（2） 在第10次測試發(fā)現(xiàn)。 解：（1） ；或； （2） 。 #9. 甲、乙位于二個城市，考察這二個城市六月份下雨的情況。以A，B分別表示甲，乙二城市出現(xiàn)雨天這一事件。根據(jù)以往的氣象記錄已知，求，及。解： ； 。 #10. 已知在10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機地取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率。（1） 二只都是正品。（2） 二只都是次品。（3） 一只是正品，一只是次品。（4） 第二次取出的是次品

7、。解： (1) ；(2) ；(3) ；或；(4) 。 #11. 某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而隨意地撥號，求他撥號不超過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？3 / 143如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!解：(1) ; (2) 。 #12. 某工廠中，機器分別生產(chǎn)產(chǎn)品總數(shù)的25%，35%和40%。它們生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別有5%，4%，2%的次品，將這些產(chǎn)品混在一起，今隨機地取一只產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)是次品。問這一次品是機器生產(chǎn)的概率分別是多少？解：設(shè)為“次品”，已知：，；，。故由，可得： ；。 # 13. 將二信息分別編碼為A和B傳送出去，接收站接

8、收時，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01。信息A與信息B傳送的頻繁程度為2:1。若接收站收到的信息是A，問原發(fā)信息是A的概率是多少？解：設(shè)：分別表示收到信息是A 和B。由已知條件可知: ，。 。 #14. 如圖所示1，2，3，4，5，6表示繼電器接點。假設(shè)每一繼電器接點閉合的概率為，且設(shè)各繼電器接點閉合與否相互獨立。求L至R連通的概率是多少？解: 4 / 144如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載! 。 #15. 對飛機進行三次獨立的射擊，第一次射擊的命中率為0.4，第二次為0.5，第三次為0.7。飛機擊中一次而被擊落的概率為0.2，擊中二次而被擊落的概率為0.6

9、，若被擊中三次則飛機必然被擊落，求射擊三次而擊落飛機的概率。解: 設(shè)：為第次射擊命中飛機；：飛機擊中次而被擊落。：射擊三次而擊落飛機。 #16. 一袋中有5只乒乓球，編號為1，2，3，4，5，在其中同時取三只。以X表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的概率質(zhì)函數(shù)。解： X3 4 5 17. (1) 設(shè)隨機變量X的概率質(zhì)函數(shù)為，為常數(shù)，試確定常數(shù)。（2）設(shè)隨機變量X的概率質(zhì)函數(shù)為，試確定常數(shù)。解： （1）， (2) ， 。 #18. 設(shè)事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3，當A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號。（1）進行了5次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率。（2）進行了7次獨立試驗，

10、求指示燈發(fā)出信號的概率。解：由題意可知： 0.3 0.7 設(shè)：，則。（1）時，5 / 145如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!（2）時，。 #19. 一電話交換機每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求：（1）每分鐘恰有8次呼喚的概率。（2）每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率。解: 參數(shù)為4的泊松分布為：， 。 故，(1) ； (2) 。 #20. 設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為 求， （2）求概率密度。解：（1）（2） (3) 。 #21. 一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X（以小時計）服從參數(shù)為，的正態(tài)分布，若要求,允許最大為多少？解： 即，, 查表可得： 。 #22設(shè)隨機變量X的概率質(zhì)函數(shù)為 0

11、 1 31/5 1/6 1/5 1/15 11/30求的概率質(zhì)函數(shù)。解：由可知：。故有6 / 146如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!01491/57/301/511/3023. 設(shè)X的概率密度為，求的概率密度。解：，故。又， 。 # 24. 設(shè)概率變量（X，Y）的概率密度為求。解： 。 #25. 設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為 試求隨機變量Z=X+Y的概率密度。7 / 147如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載! y x+y=z1 x+y=1 0 x 1x+y1 x=z, y=0. 解：。 #26. 設(shè)概率變量（X，Y）的概率密度為。求的概率密度。解：是以原點

12、為中心，為半徑的圓域。且，故時，。令，則 。 #27. 設(shè)某種型號的電子管的壽命（以小時計）近似地服從分布，隨機地選取4只，求其中沒有一只壽命小于180 小時的概率。解： 設(shè)為取出的第只管子的壽命，故，令。因為相互獨立，且同分布，所以，8 / 148如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!。 #28. 設(shè)隨機變量X的概率質(zhì)函數(shù)為-2 0 20.4 0.3 0.3求。解：，。 #29. 設(shè)X服從二項分布，其概率質(zhì)函數(shù)為 求和。解：。 #30. 設(shè)X服從泊松分布，其概率質(zhì)函數(shù)為 求和。解： ，。 #9 / 149如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!31. 設(shè)X服從均勻分布，其概率密度函數(shù)為

13、 求和。解： ， 。 #32. 設(shè)X服從正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為。 求和。解： ， 令，則其中，為奇函數(shù)，故；而。 （令）。 #33. 有3只球，4只盒子，盒子的編號為1，2，3，4。將球獨立地，隨機地放入4只盒子中去。以X表示其中至少有一只球的盒子的最小號碼（例如X=3表示第1號，第二號盒子是空的，第三只盒子至少有一只球），試求EX，DX。解：因為3球獨立放入4盒的總放法有43=64種。 按題意， X=4時的放法有種，故； X=3時，放入3#盒后，余下的球必放入4#盒。其的放法有，故；X=2時，放入2#盒后，余下的球必放入3#和4#盒。其的放法有種，故；X=1時，放入1#盒后，余下的球必放

14、入2#，3#和4#盒。其的放法有10 / 1410如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!種，故；。，。 #34. 對于任意兩個隨機變量X，Y，證明下式成立：（1） ；（2） 。證： ； 。 #35. 設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為。求（1）Y=2X，（2）的數(shù)學期望。解：；。 #36. 設(shè)隨機變量（X，Y）的概率密度函數(shù)為 試確定出常數(shù)，并求。解： ， 故， 。 #37. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù)平均是7300，均方差是700。 利用契契比雪夫不等式估計每毫升含白細胞數(shù)在52009400之間的概率。解： 已知：，。 故令11 / 1411如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下

15、載! 。 #38. 設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為，其中為常數(shù)。求和。解： ， （ ）。 #39. 設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為，其中為常數(shù)。求和。解： ， （）。 #40. 設(shè)隨機變量X的概率質(zhì)函數(shù)為，。其中為常數(shù)，則稱 X服從參數(shù)為的幾何分布。試求和。解：，=。 #41. 設(shè)隨機變量(X，Y)的概率密度函數(shù)為.。求、 。解： ，。#12 / 1412如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!42. 計算機在進行加法時，對每個加數(shù)取整（取為接近于它的整數(shù)），設(shè)所有的取整誤差是相互獨立的，且它們都在（-0.5，0.5）上服從均勻分布。（1） 若將1500個數(shù)相加，問誤差總和的絕對值超過15的概率

16、是多少？（2） 幾個數(shù)可加在一起使得誤差總和的絕對值小于10的概率為0.90？解： 設(shè)X為取整誤差，則,。（1） 或： （2） ， 。 # 43. （1）一個復雜的系統(tǒng)，由100個相互獨立起作用的部件所組成。在整個運行期間每個部件損壞的概率0.10。為了使整個系統(tǒng)起作用，至少必需有85個部件工作，求整個系統(tǒng)工作的概率。（2）一個復雜的系統(tǒng)，由n個相互獨立起作用的部件所組成。每個部件的可靠性（即部件工作的概率）為0.90。且必須至少有80%部件工作才能使整個系統(tǒng)工作，問n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠性為0.95。解： 設(shè)每個部件損壞的概率，則每個部件未損壞的概率。令，由此可知具有參數(shù)為，的二項分布， 故