2019年大學(xué)高數(shù)曲面積分題.doc

1、第二十章曲線積分 1第一型曲線積分1.計算下列第一型曲線積分：（ 1）( xy) ds ，其中 L 是以 O(0,0), A(1,0), B(0,1) 為頂點的三角形；L1（ 2）( x2y2 ) 2 ds，其中 L 是以原點為圓心，R 為半徑的右半圓周；L（ 3）xy d sx 2y 21在第一象限中的部分；，其中 L 是橢圓22Lab（ 4）y d s ，其中 L 是單位圓周 x2y 21 ；L（ 5）( x2y2z2 )ds ，其中 L為螺旋線 xa cost , ya sin t, zbtL(0 t2) 的一段；（ 6）xyzds ，其中 L 是曲線 xt, y22t 3 , z1t

2、2 ( 0 t1)的L32一段；（ 7）2 y2z2 ds ，其中 L 是 x 2y 2z2a2 與 xy 相交的圓L周 .解 （1）(xy)ds(xy)ds(xy)ds(xy)dsLOAABBO111xdx02dxydy12 ；00（ 2）右半圓的參數(shù)方程為：xRcos, yRsin .22所以1( x2y2 ) 2 ds2 R2 dR2 ；L2（ 3 ）由于橢圓在第一象限中的部分可表示為yba 2x2，a232( 0 xa ),從而 ybx,所以a 2ax 2a bbx2a2x21dxxydsaa2x2L0aba ba4( a2b22dx2ab( a2abb2 )；2a 20a) x3(a

3、b)（ 4）由于圓的參數(shù)方程為：xcos , ysin02，所以y dssind2sind4 ；L0（ 5）( x2y2z2 )ds2a2 b2t2 a2 b2 dt0L2(3a 242 b2 ) a 2b2；1231（ 6）2t 3t2t 2 dtxyzds0t12tL32219 2(1t)dt162；3t1430（ 7）截線為2 y2z 2a2 , xy ，所以2 y 2z2 dsLa 2 ds a 2 a 2 a2 .L2. 求曲線 xa, yat , z1at 2 (0t1, a0) 的質(zhì)量，設(shè)其線密2度為2za.解曲線質(zhì)量為M2zds1a2t2 dtt a2La0a2122a01 t

4、 d(1t )(2 2 1).3233xa(tsin t)3. 求擺線a(1(0 t) 的重心，設(shè)其質(zhì)量分布是均勻ycost )的 .解 設(shè)擺線的線密度為，由于dsa2 (1cost )2a 2 sin 2 t dt2asin t dt ，從而其質(zhì)量為2mds 2a0sin t dt4a ，L2故其重心坐標為1xma2L0xds1a( tsin t)2a sin t dt4a02t sin t dtasin t sin tdt2202at cos tacos t dtacos 3tcos t dt4 a ；2 00240223y1yds1a(1cost)2asin t dtm L4a02ata

5、cost sint2sin dt2dt0202tasin3ttdt4a cos42sina .2 00234.若曲線以極坐標( )(12 ) 表示，試給出計算f (x, y)dsL的公式，并用此公式計算下列曲線積分：（ 1）ex 2 y 2ds ，其中 L 為曲線a( 0) 的一段；L4aek（ 2）xds ，其中 L 為對數(shù)螺線(k0) 在圓 ra 內(nèi)的部分 .L解因為 L 的參數(shù)方程為x()cos , y( )sin( 12 )2342dy2且 dsdxd2/2ddd .所以f (x, y) dsL22/ 2f ( ( ) cos , ( ) sin )d .1（ 1）x 2y 24a20

6、 daa；ed se a4eL00（ 2）xdsaekcosa 2e2ka2k 2e2kdLa21k20e2 kcos d.0e2 kcos d若記I，則0e2 k cos d0e2kd sinIe2ksin02k0sinde2k2k0sind2k02k d cose2ke2ke2k cos04k202k4k 2 Ie2 k cos d于是 I2k，故 xds2a2 k 1 k2.1 4k 214k2L5. 證明：若函數(shù) f ( x, y) 在光滑曲線L : xx(t ), yy(t), t , 上連續(xù)，則存在點 ( x , y)L ，使得fx y)dsfx0,yL ，其中L00L( ,(0

7、)為 L的弧長 .證 由 于 函 數(shù) f (x, y) 在 光 滑 曲 線 L 上 連續(xù) ， 從 而 曲 線 積 分f ( x, y)ds 存在，且Lf ( x, y)dsf ( x(t), y(t )x 2 (t)y 2 ( t) dtL235又 f在 L 上連續(xù)， L 為光滑曲線， 所以 f ( x(t), y( t) 與x2 (t ) y 2 (t )在 , 上連續(xù)，由積分中值定理知：存在t0 , ，使f ( x(t), y(t )x 2 (t )y 2 (t) dtf x(t0 ), y(t0 )x 2 (t )y 2 ( t)dtf x(t0 ), y(t0 )L .令 x0x(t0

8、 ), y0 y( t0 ) ，顯然點 ( x0 , y0 )L ，且f ( x, y) ds f ( x0 , y0) L.L 2 第二型曲線積分1. 計算第二型曲線積分：（ 1）Lxdyydx ，其中 L 為本節(jié)例2 中的三種情況；（ 2）(2a y)dxdy ，其中 L為擺線 xa(tsin t ), ya(1 cost )L(0 t2 ) 沿 t 增加方向的一段；（ 3）xdxydy，其中 L 為圓周 x2y2a2，依逆時針方向；L22xy（ 4）Lydxsin xdy ，其中 L 為 ysin x0x與 x 軸所圍的閉曲線，依順時針方向；（ 5）x xy yz z，其中L：從(1,1

9、,1)到(2,3,4)的直線段 .Lddd解 （ 1）若積分沿拋物線 OB ： y2x 2 （ 0x1 ），則xdyydx14x2 x2 dx2 ； xL03若積分沿直線 OB ： y2x （ 0 x1），則xdyydx1x 22x dx0.0L若積分沿封閉曲線OABO ，在 OA 一段上， y0,0x1；在 AB一段上， x 1,0y2 ；在 BO 一段上，沿 y2x 從 x1到 x 0 .且236（ 3）由于圓的參數(shù)方程為：0212xdy ydx0dx 0，ddd 2，x yy xyOA0AB0xdyydxxdyydx0.BOOB因此 xdyydxOAABBO2.L（ 2）由于 xa(ts

10、in t ), y a(1cost ) (0t2 )，從而( 2 a y) dxdy2aa cos t ) a(1cost ) a sin t dt( 2aLLxdx ydy x2 y2(a2 sin2 ta sin t) dta20x a cost, ya sin t 02 a2 sint cost a2 sint cost0a2dt.t2，所以2sin2tdt0 .0（ 4）ydxsin xdyLOAAO0(sin xsin x cosx)dx( 0sin x0)dx2 .0（ 5）直線的參數(shù)方程為x 1t, y 12t, z13t（ 0 t1 ）xdx ydyzdz1t) 2(12t )

11、 3(13t )dt(1L01( 614t)dt13 .02. 設(shè)質(zhì)點受力作用，力的反方向指向原點，大小與質(zhì)點離原點的距離成正比 .若質(zhì)點由 (a,0) 沿橢圓移動到 (0,b) ，求力所作的功 .解橢圓的參數(shù)方程為：xa cost, y b sin t 0 t2 ，而F k x 2y2x,y(kx, ky) (k0) .x2y2x2y 2則力所作的功Wkxdx kydyLk2a sin t)bsin t costdta cost (0237k2( a2b2 ) sintdsin tk (b2a2 ) .02xy 平面3. 設(shè)一質(zhì)點受力作用，力的方向指向原點，大小與質(zhì)點到的 距 離 成 反 比

12、 . 若 質(zhì) 點 沿 直 線 xat , ybt , z ct (c0) 從M (a,b,c) 沿橢圓移動到N (2a,2b,2c) ，求力所作的功 .解由于力的方向指向原點，故其方向余弦為cosxyz, cos, cosrrr其中 rx2y 2z2 .所以力的三個分力為Pkxkykzz, Qz, Rz.從而力所作的功rrrWkxkydykzdz2 (a2b2c2 )tdtdxzrzrkcrtL zr12a2b2c2k a 2b2c2 ln 2 .dtkc21ct a2b2c4. 證明曲線積分的估計式：ABPdxQdyLM其中 L 為 AB的弧長， MmaxP 2Q2 .( x, y ) AB

13、利用上述不等式估計積分I Rydxxdyx2 y2 R2 (x2xy y2)2 .并證明 limI R 0.R證 （ 1）因為PdxQdyP dxQ dy ds，且ABABdsdsP dxQ dy(P2Q2 )( dx )2( dy )2 P2Q2 ，dsdsdsds從而238PdxQdyP dxQ dy dsP2Q2 dsMds LMABABdsdsABAB（ 2）因為max( x 2x 2y 24 ，則由（ 1）得x2y 2R2xy y2 ) 4R3ydx xdy2 R 48x2 y2 R2 ( x2xy y2 )2R3R280( R) ，故 lim I0 .則 I R2RRR5. 計算沿

14、空間曲線的第二型曲線積分：（ 1）xyzdz ，其中 L： x2y 2z2a 2 與 yz 相交的圓，其方L向按曲線依次經(jīng)過1， 2， 7，8 卦限；（ 2 ）( y2z2 )dx ( z2x2 )dy ( x2y2 )dz ， 其 中 L 為 球 面Lx2y 2z21 在第一卦限部分的邊界曲線， 其方向按曲線依次經(jīng)過xy 平面部分， yz 平面部分和 zx 平面部分 .解 （ 1）曲線的參數(shù)方程為xcost, y2 sin t, z2 sin t) ，且 t 從 022(0 t2增加到 2時，曲線依次經(jīng)過1，2，7，8 卦限，xyzdz222.所以sin2 t cos2 tdtL4016（

15、2）球面在第一卦限部分的邊界曲線由三部分xcostx0L1 :ysin t (0t2) ；L2 :ycosu (0u2) ；z0zsinuxsin vL3 :y0(0t2)組成 .zcosv而( y 2z2 )dx (z2x2 )dy ( x2y2 )dzL12392(sin3 tcos3 t )dt4 ，03同理L 2( y2z2 )dx ( z2x2 ) dy ( x2y 2 )dz2cos3 u)du4 ，(sin3 u03L 3( y2z2 )dx (z2x2 ) dy ( x2y2 )dz2cos3 v) dv4 .(sin3 v034 4 4所以( y2z2 )dx (z2x2 )

16、dy (x2y2 )dz4 .L3 3 3總練習(xí)題1. 計算下列曲線積分：（ 1）yd s ，其中 L 是由 y2x 和 x y2所圍的閉曲線；L（ 2）y ds ，其中 L 為雙紐線 ( x 2y2 ) 2a 2 ( x 2y2 ) ；L（ 3） zds ，其中 L 為圓錐螺線 xt cos t, ya sin t , zt ，t 0,t 0 ；L（ 4）xy2dyx2 ydx ， L 為以 a 為半徑， 圓心在原點的右半圓周從L最上面一點 A 到最下面一點B ；（ 5） dydx ，L 為拋物線 yx24 ，從 A(0,4) 到 B(2,0) 的一段；Lxy（ 6）y 2d xz2 dyx

17、2 dz， L 是維維安尼曲線x2y 2z2a2 ，Lx2y 2ax ( z0, a0)，若從 x 軸正向看去，L 是沿逆時針方向進行的 .解 （1） L是由 L1: yx ,0x1 與 L2 : yx,0x4 及L3 : y 2x,1x 4 三部分組成 .故ydsydsydsydsLL1L 2L324011 ) 2 dx4x 1 (1 ) 2 dx1x 1 (02 (2 x)dx02x2x0151732.(517 )122r 2a 2 cos2（ 2）由于 L 的極坐標方程為， r0，且dsr 2r / 2 dad.cos2利用對稱性得y ds44 r sinad4a24 sind4a 2

18、(12) .L0cos202（ 3）由于 ds(costt sint)2(sin tt cost )21dt2t 2 dt ,zdst 02t 2 dt1t 02 t 2 d ( 2 t 2 )所以t0L021 ( 2 t0 ) 3 22 2.3（ 4）由于圓的參數(shù)方程為：xcost, ysin t(2t)，且 A點2與對應(yīng)， B 點與對應(yīng) .故22xy 2dyx2 ydxL2 a cos ta2 sin ta costa2 cos2 t a sin t (asin t) dt2a42sin 2 2tdta 421 cos 4t dta4；222224dydx22x12x1（ 5）2dx2dx

19、0 xx21L x y40( x)2152162ln( xx 24)ln 2 .0241（ 6）曲線 L 的參數(shù)方程為aa, ya, z a sin， 02xcossin2222則 y 2dx z2dyx2dzL2a sin )2 (a sin )( asin )2( a cos )(aa cos )2( a cos )d(0222222222a3 .42. 設(shè) f ( x, y) 為連續(xù)函數(shù)，試就如下曲線：（ 1） L ：連接 A( a, a), C(b, a) 的直線段；（ 2） L ：連接 A( a, a),C(b, a), B(b,b) 三點的三角形（逆時針方向），計算下列積分：f (

20、 x, y)ds,f ( x, y)dx,f ( x, y)dy .L1L 2L2解 （ 1）連接 A( a, a),C (b, a) 的直線段的方程為 y a, a xb ，by則f ( x, y)dsf (x,a)dx ；L1aC(b,b)bf ( x, y)dy 0f ( x, y)dxf (x,a)dx ；.L1aL1B (b,a)（ 2）連接 C(b, a), B(b,b) 的直線段的方程為A(a,a)xxb,a y b ，則f ( x, y)dsbCBf (b, y)dy ；af ( x, y)dx0，f ( x, y)dybCBf (b, y) dy .CBa連接 B(b,b), A( a, a) 的直線段的方程為y x,ax b ，則f ( x, y) ds2bBAf ( x, x)dx ；af ( x, y) dxaf ( x, x) dxbBAbf ( x, x)dx ，af