任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂下PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1 任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂下任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂下 1 1 )!12() 12( 1 ) 1( ! 77 1 ! 55 1 ! 33 1 1 n n nn n v ., , !77 1 ! 55 1 ! 33 1 1 . 2 試估計其誤差試估計其誤差似值似值若取前三項作為和的近若取前三項作為和的近斂時斂時 收收的斂散性的斂散性判斷級數(shù)判斷級數(shù) )!12()12( 1 limlim nn v n n n 0 1 )!12()12( 1 )!12()12( 1 nn v nnnn v .原交錯級數(shù)收斂原交錯級數(shù)收斂 ! 77 1 , 333 SSRSS則則誤誤差差若若000

2、1. 0 35280 1 第1頁/共35頁 一、任意項級數(shù)的定義 Interrogate of any term series 微 積 分 電 子 教 案 p x y 1 x 0 12 .nn 1 y 三、絕對收斂與條件收斂 二、交錯級數(shù)斂散性判別法 四、小結(jié) 第2頁/共35頁 定理 (1) 0lim n n v (2) ,.)2 , 1( 1 nvv nn 則該交錯級數(shù)收斂，且其和 1 vS 若交錯級數(shù) 滿足: n n n v 1 1 ) 1( 2.2、交錯級數(shù)判別法 (萊布尼茲判別法) 第3頁/共35頁 例3 判別下列級數(shù)的斂散性 11 1 )1()1()2( )1ln( 1 )1()1(

3、 n n n n nn n 解: ) 1ln( 1 limlim n v n n n )1ln( 1 n vn .原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂 )1(limlimnnv n n n nn vn 1 1 .原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂 nn n 1 1 lim 1 12 1 n v nn 1 )2ln( 1 n v n 0 0 第4頁/共35頁 證明： p n n v 1 )2 p n n n n v 1 limlim)1 0 由萊布尼茲判別法知：原級數(shù)收斂. 例4. 1 )1(, 0: 1 1 收斂收斂級數(shù)級數(shù)對于所有的對于所有的證明證明 n p n n p 1 )1( 1 n p v n 第5頁/共35頁

4、例5.證明 收斂 1 1 ln )1( n n n n 證 x x xf n n vn ln )(, ln 令令 由 0 1 lim ln lim xx x xx 可知 0 ln limlim n n v n n n 又 2 ln1 )( x x xf 當(dāng)x e 時, 0)( x f 從而當(dāng)n2時, 有 f(n)f(n+1), 即 1 nn vv 由萊布尼茲判別法可知： 1 1ln )1( n n n n 收斂 條件(1),(2)均不好檢驗 對交錯級數(shù)使用萊布尼茨判別法時，可以借助可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性判斷級數(shù)前后項大小和求極限。 第6頁/共35頁 解:該級數(shù)為交錯級數(shù) 1 )()2 x x xf設(shè)

5、設(shè) )1(0 x , 1 單調(diào)遞減單調(diào)遞減故函數(shù)故函數(shù) x x )1()( nfnf 1 limlim)1 n n v n n n 0 由萊布尼茲判別法知：原級數(shù)收斂. 例6. 1 )1( 2 的斂散性的斂散性判別級數(shù)判別級數(shù) n n n n 2 )1(2 )1( ) 1 ()( xx x x x xf 1 nn vv 即 第7頁/共35頁 3.1、任意項級數(shù)與其絕對值級數(shù)的關(guān)系 定義: 正項和負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù). 定理 證明 ), 2 , 1(|: nuuu nnn 顯然有顯然有 為正項級數(shù)。為正項級數(shù)。|)|( 1 n n n uu 收收斂斂由由于于|2 1 n n u .,

6、 11 1 必必收收斂斂則則原原級級數(shù)數(shù)收收斂斂 各各項項絕絕對對值值構(gòu)構(gòu)成成的的級級數(shù)數(shù)若若任任意意項項級級數(shù)數(shù) n n n n n n uu u ), 2 , 1(|20 nuuu nnn 第8頁/共35頁 證明 由比較判別法知： 也收斂也收斂|)|( 1 n n n uu ), 2 , 1(|)( nuuuu nnnn 而而 由級數(shù)的性質(zhì)2知， . 1 收斂收斂 n n u 由上述定理知： 任意項級數(shù) 正項級數(shù) 定理 ., 11 1 必必收收斂斂則則原原級級數(shù)數(shù)收收斂斂 各各項項絕絕對對值值構(gòu)構(gòu)成成的的級級數(shù)數(shù)若若任任意意項項級級數(shù)數(shù) n n n n n n uu u 第9頁/共35頁

7、反例： . 1 )1(, 1 1 1 1 收斂收斂但但發(fā)散發(fā)散 n n n nn 有的級數(shù)自己收斂,加上絕對值也收斂;而有的級數(shù)自己收斂,加上絕對值發(fā)散,因此,這兩種收斂級數(shù)是有區(qū)別的. 思考: . 1 1 收收斂斂收收斂斂 n n n n uu 發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散 1 1n n n n uu ? 第10頁/共35頁 設(shè) 為任意項級數(shù),若 收斂,則稱 為絕對收斂；若 發(fā)散, 但 收斂, 則稱 為條件收斂. 1n n u 1n n u 1n n u 1n n u 1n n u 1n n u 今后對任意項級數(shù)，必須注明絕對收斂還是條件收斂. 3.2、絕對收斂與條件收斂 (Absolute inter

8、rogate and conditionally convergent) 第11頁/共35頁 任意項級數(shù)斂散性判斷思考過程： 任意項級數(shù) 1n n u 0 n u ？ ? 1 收收斂斂否否 n n u 否 是 是 絕對收斂 條件收斂 發(fā)散 否 ? 1 收收斂斂否否 n n u 否 是 第12頁/共35頁 例1. 判別下列級數(shù)的斂散性 11 2 1 )1()2( , 1 )1()1( n n n n nn 解： 1 2 1 2 11 )1( nn n nn 是 p=21 的 p-級數(shù), 收斂. 故級數(shù) 絕對收斂 1 2 1 )1( n n n 由萊布尼茨判別法可知： 收斂收斂級數(shù)級數(shù) n n n

9、 1 )1( 1 又 發(fā)散, 11 11 )1( nn n nn 故原級數(shù)條件收斂. 0 1 limlim ) 2( n v n n n 1 1 11 nn v nn v 第13頁/共35頁 解 , 1sin 22 nn nx , 1 1 2 收斂收斂而而 n n 1 2 sin : n n nx 收斂收斂由比較判別法知由比較判別法知 故原級數(shù)絕對收斂. 例2判別級數(shù) 的收斂性. 1 2 1 sin )1( n n n nx 第14頁/共35頁 例3. 討論級數(shù) p n n n 1 )1( 1 1 的斂散性. 解：當(dāng) 時, 0 p0 )1( limlim 1 p n n n n n u 級數(shù)發(fā)

10、散 級數(shù)級數(shù)為為又又P nn u n pp n 1 1 , 1 p1 時,原級數(shù)絕對收斂 當(dāng) 時，原級數(shù)為交錯級數(shù)，由于 10 p 11 )1( 1 , 1 nn p n p n vv n v n v0lim n n v 原級數(shù)條件收斂 綜上可知： 10 1 0 1 )1( 1 1 p p p n p n n 條件收斂，條件收斂， 絕對收斂，絕對收斂， 發(fā)散，發(fā)散， 第15頁/共35頁 例4.討論級數(shù) 的斂散性 n x n n n 1 1 )1( 解：將級數(shù)的各項取絕對值得正項級數(shù) 1 | n n n x | 1 limlim 1 xx n n u u n n n n 由比值判別法可知: 當(dāng)

11、|x| 1 時, 1 | n n n x 收斂,從而原級數(shù)絕對收斂; 1 | n n n x 發(fā)散 0)1(lim 1 n x n n n 且有 ,故原級數(shù)發(fā)散. 第16頁/共35頁 綜上可知 , 0 1 limlim n v n n n 由由 及 發(fā)散，可知原級數(shù)條件收斂. | 1 )1( | 1 1 n n n 事實上 1 1, 1 11 )1( 1 1 x xx x n x n n n 條件收斂條件收斂 發(fā)散發(fā)散 絕對收斂絕對收斂 1 1 11 nn v nn v 1 1 1 )1(, 1 n n n x原級數(shù)為原級數(shù)為若若 當(dāng)|x|=1時 , 若 x =-1，原級數(shù)為 發(fā)散。 1 1

12、nn 收斂收斂 1 1 1 )1( n n n 第17頁/共35頁 定理定理 3 如果任意項級數(shù)如果任意項級數(shù) 1 21 n nn uuuu 滿足條件滿足條件 n n nu u 1 lim （其中（其中 可以為可以為 ） 則當(dāng)則當(dāng)1 時，級數(shù)時，級數(shù) 1n n u收斂，且絕對收斂；收斂，且絕對收斂； 當(dāng)當(dāng)1 時，級數(shù)時，級數(shù) 1n n u發(fā)散發(fā)散 第18頁/共35頁 例例 5 5 判別下列級數(shù)的收斂性判別下列級數(shù)的收斂性: (1) 0 ! n n n x ; (2) 1 2 )!2( )1( n n n n x ; (3) n n x n n 1 ! )1()1( 解 0 1 | lim |

13、! )!1( | limlim)1( 1 1 n x x n n x u u n n n n n n n 則則此此級級數(shù)數(shù)對對一一切切)( xx絕絕對對收收斂斂 第19頁/共35頁 | 1 limlim)3( 1 xx n n u u n n n n 則則此此級級數(shù)數(shù)對對一一切切)( xx絕絕對對收收斂斂 則當(dāng)則當(dāng)1| x時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)收斂；當(dāng)1| x時，級數(shù)發(fā)散，時，級數(shù)發(fā)散， 而而1 x時，級數(shù)是否收斂取決于時，級數(shù)是否收斂取決于 為何值為何值. . 2 1 )!22( )!2( limlim)2(x n n u u n n n n 2 )12)(22( 1 limx nn n

14、0 第20頁/共35頁 正 項 級 數(shù)任意項級數(shù) 判 別 法 1. 2. 4.充要條件 5.比較法 6.比值法 7.根值法 4.絕對收斂 5.交錯級數(shù) (萊布尼茨判別法) 3.按基本性質(zhì); ;,則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂若若SSn ;, 0,則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散當(dāng)當(dāng) n un 四、小結(jié) 第21頁/共35頁 作業(yè)： 習(xí)題11-3 （P456） 1; 2(2,4,5,6) 第22頁/共35頁 微 積 分 電 子 教 案 p x y 1 x 0 12 .nn 1 y 一、函數(shù)項級數(shù)的概念 二、冪級數(shù)及其收斂性 三、冪級數(shù)的性質(zhì) 四、泰勒級數(shù) 五、函數(shù)展開成冪級數(shù) 第23頁/共35頁 ,1 2 0 xxx

15、n n 例如級數(shù)例如級數(shù) 1.定義 xxx n lnlnln 2 設(shè) 是定義在 上的函數(shù),則 稱為定義在區(qū)間 上的(函數(shù)項)無窮級數(shù). ),(,),(),( 21 xuxuxu n RI )()()()( 21 1 xuxuxuxu n n n I 對于每一個 ，函數(shù)項級數(shù) 就是一個常數(shù)項級數(shù) Ix 0 1 0) ( n n xu 第24頁/共35頁 2.收斂點與收斂域 例如： n xxx 2 1 是公比為x的等比級數(shù) 如果 ，常數(shù)項級數(shù) 收斂, 則稱 為級數(shù) 的收斂點，否則稱為發(fā)散點. 函數(shù)項級數(shù) 的所有收斂點的全體稱為收斂域，所有發(fā)散點的全體稱為發(fā)散域. Ix 0 1 0) ( n n x

16、u 0 x)( 1 xu n n )( 1 xu n n 當(dāng) 時，收斂； 1 x 收斂域： )1 , 1( 當(dāng) 時，發(fā)散； 1 x 發(fā)散域： ), 1 1,( 第25頁/共35頁 )()(limxsxsn n 則則 余項 )()()(xsxsxR nn 3.和函數(shù) 若函數(shù)項級數(shù)的部分和 ),(xsn 例如： 在收斂域： )1 , 1( 其和函數(shù)為： x xS 1 1 )( 注意：級數(shù)的收斂域未必等于和函數(shù)的定義域 0)(lim xRn n ,1 2 0 xxx n n 級數(shù)級數(shù) 在收斂域上，函數(shù)項級數(shù)的和是 的函數(shù) ，稱 為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)。 x)(xs )(xs 第26頁/共35頁 2.1

17、、定義 (x-x0) 的冪級數(shù): x的冪級數(shù): 的級數(shù)。的級數(shù)。形如形如 0 0) ( n n n xxa 其中 為冪級數(shù)系數(shù). n a ,)1()1(1)1( 2 0 xxx n n 例如級數(shù)例如級數(shù) ;,11收斂收斂時時當(dāng)當(dāng) x;,11發(fā)散發(fā)散時時當(dāng)當(dāng) x );2 , 0(收收斂斂域域);, 20 ,( 發(fā)發(fā)散散域域 稱為x1的冪級數(shù) 0 0 0 n n nx ax時，冪級數(shù)時，冪級數(shù) 由于收斂域與發(fā)散域互補,下面只研究收斂域. 第27頁/共35頁 2.2、冪級數(shù)的斂散性特點 定理2 此時冪級數(shù)的收斂區(qū)間有以下四種可能： ),(RR ),RR ,(RR .,RR 如果冪級數(shù) 不是僅在 一點

18、收斂,也不是在整個數(shù)軸上都收斂,則必有一個完全確定的正數(shù) 存在,它具有下列性質(zhì): 0n n nx a 0 x R 當(dāng) 時,冪級數(shù)絕對收斂; 當(dāng) 時,冪級數(shù)發(fā)散; 當(dāng) 時,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. Rx Rx RxRx 與與 第28頁/共35頁 定義: 正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑. 冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間. , 0 R 規(guī)定 , R 收斂區(qū)間收斂區(qū)間0 x; 收斂區(qū)間收斂區(qū)間),(. 問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑? (1) 冪級數(shù)只在冪級數(shù)只在0 x處收斂處收斂, (2) (2) 冪級數(shù)對一切冪級數(shù)對一切 x都收斂都收斂, , 要求冪級數(shù)的收斂區(qū)間，關(guān)鍵求實數(shù)R 2.3、冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間 第29頁/共35頁 定理3 如果冪級數(shù) 的所有系數(shù) , 設(shè) （或 ） （1）則當(dāng) 時， ； （2）當(dāng) 時， ； （3）當(dāng) 時， 。 0n n nx a 0 n a n n n a a 1 lim n n n alim 0 1 R 0 R 0 R 第30頁/共35頁 解： 1 3 nn a 所以收斂半徑 R=3 例1. 求 的收斂半徑 n n x 0 3 1 limlim1/3 3 n n nn nn a 根據(jù)系數(shù)的表達(dá)式，也可以 3 1 n n n a a 1 lim 1 3 3 lim n n n 第31頁/共35頁 例2 求下列冪級數(shù)的