實復(fù)有理多項式理論

1、實復(fù)有理多項式理論 多項式的根多項式的根, 復(fù)數(shù)域上的不可約多項式復(fù)數(shù)域上的不可約多項式 定理定理() 在在 中，用中，用 去除去除 所得的余所得的余 式是式是 。 注注 （1） 整除整除 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) ； （2）對）對 ，若，若 ，則稱，則稱 是是 在中的一個根；在中的一個根； （3）若）若 是是 的的k重因式，則稱重因式，則稱 是是 的的k 重根；重根； 時稱，時稱， 時稱重根。時稱重根。 （4） 中的中的 次多項式在次多項式在 中至多有中至多有 個個 根；根； K xx a ( )f x ( )f a x a ( )f x ( )0f a ( ) ,f xK xcK ( )0f c

2、c ( )f x x a ( )f x a ( )f x 1k 1k K xK(0)n n 實復(fù)有理多項式理論 （5）設(shè)）設(shè) 是是 中次數(shù)不超過中次數(shù)不超過 的多項式，的多項式， 若存在若存在 中中 個互不相同的數(shù)個互不相同的數(shù) 使得使得 ， 那么那么 例例 證明證明 ( )f x K xn K1n 121 , n aaa ()0,1,2,1 i f ain ( )0f x 2222 2222 2222 2222 (1)(2)(3) (1)(2)(3) 0 (1)(2)(3) (1)(2)(3) aaaa bbbb cccc dddd 實復(fù)有理多項式理論 證明證明 情況情況1 中至少有兩個相同

3、中至少有兩個相同 此時，該行列式的第此時，該行列式的第2、3、4行至少有兩行行至少有兩行 相同，所以行列式等于零。相同，所以行列式等于零。 情況情況2 互不相同互不相同 令令 dcb, dcb, 2222 2222 2222 2222 )3()2()1( )3()2()1( )3()2()1( )3()2()1( )( dddd cccc bbbb xxxx xf 實復(fù)有理多項式理論 ( )f x則則 是次數(shù)不超過是次數(shù)不超過2 2的多項式。因為的多項式。因為 故故 有有3個不同的根。根據(jù)注個不同的根。根據(jù)注(5)， ，因，因 此此 ( )( )( )0f bf cf d ( )f x ( )

4、0f x 2222 2222 2222 2222 (1)(2)(3) (1)(2)(3) ( )0 (1)(2)(3) (1)(2)(3) aaaa bbbb f a cccc dddd 實復(fù)有理多項式理論 多項式函數(shù)多項式函數(shù) 設(shè)設(shè) ，據(jù)此可構(gòu)造，據(jù)此可構(gòu)造 到自身的映射到自身的映射 稱之為稱之為 上的多項式函數(shù)。此函數(shù)是由上的多項式函數(shù)。此函數(shù)是由 中中 的多項式的多項式 確定的確定的 上的函數(shù)。上的函數(shù)。 定理定理 數(shù)域數(shù)域 上的兩個多項式上的兩個多項式 如果不如果不 相等，那么它們確定的相等，那么它們確定的 上的多項式函數(shù)上的多項式函數(shù) 也不相等。也不相等。 ( ) f xK xK :

5、 ( ) fKK af a K K x K K ( ), ( )f x g x K fg與 ( )f x 實復(fù)有理多項式理論 我們將數(shù)域我們將數(shù)域 上的多項式函數(shù)組成的集合記上的多項式函數(shù)組成的集合記 為為 。那么。那么 是一個雙射。是一個雙射。 進一步，我們在進一步，我們在 中規(guī)定加法和乘法：中規(guī)定加法和乘法： ()( )( )( ), ()( )( ) ( ), fg af ag aaK fg af a g aaK : ( ) pol K xK f xf K pol K pol K 實復(fù)有理多項式理論 可以驗證可以驗證 對于定義的加法和乘法構(gòu)成一個對于定義的加法和乘法構(gòu)成一個 環(huán)，而且是一

6、個含有單位元環(huán)，而且是一個含有單位元1的交換環(huán)。的交換環(huán)。 兩個環(huán)兩個環(huán) 的關(guān)系如下：的關(guān)系如下： 這表明：在環(huán)的同構(gòu)意義下二者完全一樣。這表明：在環(huán)的同構(gòu)意義下二者完全一樣。 從而我們可以用多項式函數(shù)來刻畫多項式的根。從而我們可以用多項式函數(shù)來刻畫多項式的根。 是多項式是多項式 在在 中的的根當(dāng)且中的的根當(dāng)且 僅當(dāng)多項式函數(shù)僅當(dāng)多項式函數(shù) 在在 處的函數(shù)值處的函數(shù)值 pol K xK與 pol K pol K xK a K( ) f xK xK f ( )0f a a 實復(fù)有理多項式理論 定理定理( (代數(shù)基本定理代數(shù)基本定理) ) 每個次數(shù)大于零的復(fù)系數(shù)多每個次數(shù)大于零的復(fù)系數(shù)多 項式在復(fù)

7、數(shù)域中至少有一個根。項式在復(fù)數(shù)域中至少有一個根。 復(fù)數(shù)域上的不可約多項式是一次因式。復(fù)數(shù)域是復(fù)數(shù)域上的不可約多項式是一次因式。復(fù)數(shù)域是 一個典型的代數(shù)閉域一個典型的代數(shù)閉域. . algebraic closure field 設(shè)設(shè) ，那么，那么( ) ,deg( )0f xxf xn 12 12 12 12 ( )() ()() , , , m rrr m m m f xa xcxcxc c cc r rr 是不同的復(fù)數(shù) 為正整數(shù) 實復(fù)有理多項式理論 并且這種分解形式是唯一的。于是我們有下面的并且這種分解形式是唯一的。于是我們有下面的 定理定理 定理定理( (復(fù)系數(shù)多項式唯一因式分解定理復(fù)系

8、數(shù)多項式唯一因式分解定理) ) 每個次每個次 數(shù)大于零的復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域上都可唯一地數(shù)大于零的復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域上都可唯一地 分解成一次因式的乘積。標準分解式分解成一次因式的乘積。標準分解式 ？ 運用復(fù)系數(shù)多項式唯一分解定理可以給出運用復(fù)系數(shù)多項式唯一分解定理可以給出 Vieta 公式：設(shè)公式：設(shè) 是一個首項系數(shù)為是一個首項系數(shù)為1 1的的 次多項式，那么次多項式，那么 有有 個復(fù)根個復(fù)根 ，這里可能有相同的，這里可能有相同的 ( ) f xx n 12 , n c cc n ( )f x 實復(fù)有理多項式理論 于是在復(fù)數(shù)域上有分解式于是在復(fù)數(shù)域上有分解式 另外我們可以假設(shè)另外我們可以假設(shè)

9、 比較兩端的多項式系數(shù)立刻有結(jié)論：比較兩端的多項式系數(shù)立刻有結(jié)論： 12 ( )()()() n f xxcxcxc 1 110 ( ) ,0,1,1 nn n i f xxaxa xa ain 實復(fù)有理多項式理論 12 12 112 1 01 2 () ( 1) ( 1) k k nn k n kiii iiin n n accc ac cc ac cc 實復(fù)有理多項式理論 例例 已知已知 求參數(shù)求參數(shù) 使得使得 有重根，并且求重根及其重數(shù)。有重根，并且求重根及其重數(shù)。 32 ( )274 f xxxxax a( )f x 實復(fù)有理多項式理論 解解 h1=1 3f = 6 -21 12 3a

10、 =6 -14 4 6 -14 4 -7-7 8 3a = -7 h2=1 r1= -3r1= -18r1= f 4914 33 3a+ 2514 33 25 -(9a+14) 150-6(9a+14) 25f 7 6 150 -350 100 150 -6(9a+14) (54a-266 ) 100 實復(fù)有理多項式理論 那要使得那要使得 有重根有重根 ，那么，那么 與與 一定是彼此相伴的一次因式。從而一定是彼此相伴的一次因式。從而 解的解的 150 x-6(9a+14) (54a-266 )x+ 100 ( )f x 1505484 54266100 a a 17 4 27 aa 或者 實復(fù)

11、有理多項式理論 當(dāng)當(dāng) 當(dāng)當(dāng) 所以其重根為所以其重根為 ，重數(shù)均為，重數(shù)均為2。 ( ( ),( )2f xfxx 17 27 a 4a 1 ( ( ),( ) 3 f xfxx 1 2 3 和 實復(fù)有理多項式理論 例例 已知已知 這里這里 ，證明，證明 432 352555 1234 (1) ()()()() xxxx x f xx fxxfxfx 整除 ( ) ,1,2,3,4 i f xx i (1)0,1,2,3,4 i fi 實復(fù)有理多項式理論 首先注意到首先注意到 5234 32 1234 642 1234 963 1234 1284 1234 1(1)()()()() (1)(1)

12、(1)(1)0 (1)(1)(1)(1)0 (1)(1)(1)(1)0 (1)(1)(1)(1)0 (1)0,1,2,3,4 i xxxxxx ffff ffff ffff ffff fi 實復(fù)有理多項式理論 例例 設(shè)多項式設(shè)多項式 有有 證明：證明： 是是 的一個公因式的一個公因式 5525 432 ()()() (1) ( ) f xxg xx h x xxxxu x ( ), ( ), ( )f x g x h x 1x( ), ( ), ( )f x g x h x 實復(fù)有理多項式理論 例例 已知已知 試確定參數(shù)試確定參數(shù) 使得使得 有重根，并且求其所有的有重根，并且求其所有的 根。根

13、。 32 ( )638 f xxxpxx p ( )f x 42, 2, 2 4,51,1, 8 p pp 實復(fù)有理多項式理論 例例 分別在實數(shù)域和復(fù)數(shù)域兩個數(shù)域上面求分別在實數(shù)域和復(fù)數(shù)域兩個數(shù)域上面求 的標準分解式。的標準分解式。8P38 這里這里 于是有于是有 1 ( )1 nn f xxxx 1 2 ( )(1) ( )1 (1)()()() n n g xxf xx xxxx 2 22 cossin 11 ( )()()() n i nn f xxxx 實復(fù)有理多項式理論 這是這是 在復(fù)數(shù)域上的標準分解式在復(fù)數(shù)域上的標準分解式 下面來看在實數(shù)域上的情形，在復(fù)根成對共軛出現(xiàn)下面來看在實數(shù)

14、域上的情形，在復(fù)根成對共軛出現(xiàn) 首先注意到首先注意到 當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)時，有為偶數(shù)時，有 ( )f x 1knk 2 22 2 ( )()()() 24 (2 cos1)(2 cos1) 11 (2 cos1) 1 n f xxxx xxxx nn n xx n n 實復(fù)有理多項式理論 我們可以我們可以 為例檢驗一下此分解表達式。為例檢驗一下此分解表達式。 當(dāng)當(dāng) 為奇數(shù)時，有為奇數(shù)時，有 2 2 2 2 ( )()()() 2 (1)(2 cos1) 1 4 (2 cos1) 1 (1) (2 cos1) 1 n f xxxx xxx n xx n n xx n 6n n 實復(fù)有理多項式理論 我們

15、可以我們可以 為例檢驗一下此分解表達式。為例檢驗一下此分解表達式。 例例 在在 中，如果中，如果 ，那么，那么 5n K x 21 (1)() n xf x 2121 (1)() nn xf x 21 21211 (1)() ( 1)0 ( )(1) ( ) ()(1) () n nnn xf x f f xxg x f xxg x 實復(fù)有理多項式理論 例例 7P38 7P38 在在 中，如果中，如果 那么那么 在復(fù)數(shù)域中的根只能為零或者單位根。在復(fù)數(shù)域中的根只能為零或者單位根。 那么一定有那么一定有 ，因此，因此 為零或者是單位根。為零或者是單位根。 x ( )0,( )() m f xf

16、xf x ( )f x 23 ( )0()0 0( )() ()()() k m m mmm f cf c f cf c f cf cf c ik mm cc c 實復(fù)有理多項式理論 實數(shù)域上的不可約多項式實數(shù)域上的不可約多項式 定理定理 設(shè)設(shè) 是實系數(shù)多項式，若復(fù)數(shù)是實系數(shù)多項式，若復(fù)數(shù) 是是 的根，則的根，則 的共軛的共軛 也是也是 的根。的根。 定理定理 實數(shù)域上的不可約多項式都是一次實數(shù)域上的不可約多項式都是一次 因式或判別式小于零的二次多項式。因式或判別式小于零的二次多項式。 定理定理( (實系數(shù)多項式唯一因式分解定理實系數(shù)多項式唯一因式分解定理) ) 每個次數(shù)大于零的實系數(shù)多項式在

17、實數(shù)域每個次數(shù)大于零的實系數(shù)多項式在實數(shù)域 上都可唯一地分解成一次因式與判別式小上都可唯一地分解成一次因式與判別式小 于零的二次因式的乘積。于零的二次因式的乘積。 ( )f x c( )f x c c ( )f x 實復(fù)有理多項式理論 根據(jù)此定理可知每個次數(shù)大于零的實系數(shù)多項式根據(jù)此定理可知每個次數(shù)大于零的實系數(shù)多項式 在實數(shù)域上都可唯一地分解為在實數(shù)域上都可唯一地分解為 這里這里 由此立即可得：實系數(shù)多項式的虛根共軛成對出由此立即可得：實系數(shù)多項式的虛根共軛成對出 現(xiàn)?，F(xiàn)。 12 1122 2 , , , , 40 s tt ii c cc p q p qp q pq 12 1 12 22

18、11 ( )() ()() ()() s t rrr s kk tt f xa xcxcxc xp xqxp xq 實復(fù)有理多項式理論 例例 實系數(shù)的奇次多項式至少有一個實根。實系數(shù)的奇次多項式至少有一個實根。 例例 求求 在實數(shù)域上的標準在實數(shù)域上的標準 分解式。分解式。 ( )1 n f xxx 1 2 1 2 1 2 ( )(1)(1)(2 cos1) 21 2 ( )(1)(2 cos1) 21 m k m k nm k f xxxxx m nm k f xxxx m 實復(fù)有理多項式理論 5234 432 522 22 5 1(1)()()()() 22 cossin, 55 1(1)

19、()()()() 24 (1)(2cos1)(2cos1) 55 n xxxxxx i xxxxxx xxxxx 實復(fù)有理多項式理論 623456 245 542 622 22 6 1()()()()()() (1)(1)()()()() 22 cossin, 66 1(1)(1)()()()() 24 (1)(1)(2cos1)(2cos1) 66 n xxxxxxx xxxxxx i xxxxxxx xxxxxx 實復(fù)有理多項式理論 例例 利用上一個例題的結(jié)論證明：利用上一個例題的結(jié)論證明： 1 21 coscoscos 2121212 2(1) sinsinsin 2222 m m m

20、mmm mm mmm 實復(fù)有理多項式理論 根據(jù)上一個例題的奇數(shù)情況：根據(jù)上一個例題的奇數(shù)情況： 用上個例題的偶數(shù)情況證明另外一個恒等式。用上個例題的偶數(shù)情況證明另外一個恒等式。 1 222 11 2 2 11 21 2 222(1 cos) 21 2 22cos2 2cos 2121 11 coscos 221221 m k mm mm kk mm mm kk nm k m kk mm kk mm 實復(fù)有理多項式理論 例例 實數(shù)域上的兩個實數(shù)域上的兩個 階矩陣階矩陣 不相似，將不相似，將 其視為復(fù)數(shù)域上的矩陣仍然不相似。其視為復(fù)數(shù)域上的矩陣仍然不相似。 采用反證法，假設(shè)在復(fù)數(shù)域上是相似的，那么

21、采用反證法，假設(shè)在復(fù)數(shù)域上是相似的，那么 于是有于是有 另外注意到另外注意到 ，這說明，這說明 是一個非零的多項式，其在復(fù)數(shù)域上最多有是一個非零的多項式，其在復(fù)數(shù)域上最多有 個根。于是存在實數(shù)個根。于是存在實數(shù) 使得使得 n,A B 1 , , ,( ) n P APB PSiT S TM , APPBASiATSBiTB ASSB ATTB 0PSiTST n r0SrT 實復(fù)有理多項式理論 記記 ，那么，那么 是一個可逆的實矩陣是一個可逆的實矩陣 且滿足且滿足 例例 設(shè)設(shè) 且且 ，證明：，證明： 有相同的根。有相同的根。 W 1 WAWB WSrT ( )( )( )h xf xig x 2 ( ), ( ) ,1f x g xx i ( ( ), ( )( )1f x g xd x( )( )h xd x與 實復(fù)有理多項式理論 有理數(shù)域上的不可約多