二重積分習(xí)題總結(jié)[優(yōu)選課堂]

1、二重積分二重積分 習(xí)題課習(xí)題課 一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容 二、典型例題二、典型例題 1簡易輔導(dǎo) 定定 義義 幾何意義幾何意義 性性 質(zhì)質(zhì) 計(jì)算法計(jì)算法 二重積分二重積分 一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容 2簡易輔導(dǎo) 無關(guān)）無關(guān)）與分法無關(guān)、點(diǎn)的取法與分法無關(guān)、點(diǎn)的取法( ),(lim),( 1 0 n i iii D yxfdyxf 性質(zhì)性質(zhì)與定積分相類似的性質(zhì)（與定積分相類似的性質(zhì)（線性性、對稱性線性性、對稱性 對區(qū)域的可加性、比較性、估值、中值對區(qū)域的可加性、比較性、估值、中值） 計(jì)算計(jì)算 化二次積分化二次積分 利用變量代換利用變量代換 利用極坐標(biāo)利用極坐標(biāo) 利用直角坐標(biāo)利用直角坐標(biāo) 選擇坐標(biāo)選擇

2、坐標(biāo) 定義定義 3簡易輔導(dǎo) ),(),(0 ),(),(),(2 ),( 1 yxfyxf yxfyxfdyxf dyxf D D 當(dāng)當(dāng) 當(dāng)當(dāng) 則則 1. D關(guān)于關(guān)于x軸對稱（軸對稱（x軸上方部分為軸上方部分為D1) 2. D關(guān)于關(guān)于y軸對稱（軸對稱（y軸右邊部分為軸右邊部分為D1) ),(),(0 ),(),(),(2 ),( 1 yxfyxf yxfyxfdyxf dyxf D D 當(dāng)當(dāng) 當(dāng)當(dāng) 則則 4簡易輔導(dǎo) 3. D關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y軸均對稱（第一象限部分為軸均對稱（第一象限部分為D1) ),( ),(),( 0 ),( ),( ),(4 ),( 1 yxfyxf yxfyxf yx

3、f yxfyxf dyxf dyxf D D ，或或 當(dāng)當(dāng) ，當(dāng)當(dāng) 則則 5簡易輔導(dǎo) 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算 ,:bxaD ).()( 21 xyx X型型 .),(),( )( )( 2 1 D b a x x dyyxfdxdyxf X-型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y 軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). （）直角坐標(biāo)系下（）直角坐標(biāo)系下 6簡易輔導(dǎo) Y型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于x軸軸 的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). .),(),( )( )(

4、 2 1 D d c y y dxyxfdydyxf ,:dycD ).()( 21 yxy Y型型 7簡易輔導(dǎo) .)sin,cos( )( )( 2 1 rdrrrfd 1 )sin,cos( D rdrdrrf ,: 1 D).()( 21 r （）極坐標(biāo)系下（）極坐標(biāo)系下 8簡易輔導(dǎo) .)sin,cos( )( 0 rdrrrfd ,: 2 D).(0 r 2 )sin,cos( D rdrdrrf 3 )sin,cos( D rdrdrrf .)sin,cos( )( 0 2 0 rdrrrfd ,20: 3 D).(0 r 9簡易輔導(dǎo) (3)(3)二重積分的換元法：二重積分的換元法：

5、 .),(),(),(),( :)3( ; 0 ),( ),( ),()2( ),(),()1( ),(),(: ),( DD dudvvuJvuyvuxfdxdyyxf DDT vu yx vuJD Dvuyvux DxoyDuov vuyyvuxxT Dxoyyxf 是一對一的，則有是一對一的，則有變換變換 上雅可比式上雅可比式在在 ；上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在在 且滿足且滿足 ，平面上的平面上的變?yōu)樽優(yōu)槠矫嫔系拈]區(qū)域平面上的閉區(qū)域?qū)?連續(xù)，變換連續(xù)，變換 上上平面上的閉區(qū)域平面上的閉區(qū)域在在設(shè)設(shè)定理定理 10簡易輔導(dǎo) 注意以下幾點(diǎn)注意以下幾點(diǎn) 1 根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域

6、的特點(diǎn)，合理根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點(diǎn)，合理 選擇坐標(biāo)系和積分次序。選擇坐標(biāo)系和積分次序。 )()( ),( D 22 yxf yxf 、極坐標(biāo)給出、極坐標(biāo)給出或一部分或一部分圓周圓周極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系 直線、拋物線、雙曲線直線、拋物線、雙曲線直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 被積函數(shù)被積函數(shù)的邊界的邊界坐標(biāo)系坐標(biāo)系 11簡易輔導(dǎo) 注意以下幾點(diǎn)注意以下幾點(diǎn) 2 積分的關(guān)鍵是定限，定限的關(guān)鍵是將積分的關(guān)鍵是定限，定限的關(guān)鍵是將D用用 聯(lián)立不等式表示出來。聯(lián)立不等式表示出來。 （1）直角坐標(biāo)系：先判斷區(qū)域的類型，若）直角坐標(biāo)系：先判斷區(qū)域的類型，若 為為X型，先將區(qū)域型，先將區(qū)域D投影到投影到x軸上，定出軸上

7、，定出x的的 變化范圍變化范圍a,b, 然后用過然后用過a,b內(nèi)任意點(diǎn)且平內(nèi)任意點(diǎn)且平 行于行于y軸的直線去穿軸的直線去穿D,得到得到).()( 21 xyx ,:bxaD ).()( 21 xyx 12簡易輔導(dǎo) 注意以下幾點(diǎn)注意以下幾點(diǎn) 2 積分的關(guān)鍵是定限，定限的關(guān)鍵是將積分的關(guān)鍵是定限，定限的關(guān)鍵是將D用用 聯(lián)立不等式表示出來。聯(lián)立不等式表示出來。 （2）極坐標(biāo)系：先定出）極坐標(biāo)系：先定出 的變化范圍的變化范圍 然后以然后以 內(nèi)任意角為極角，從原點(diǎn)引一內(nèi)任意角為極角，從原點(diǎn)引一 條射線去穿條射線去穿D, 得到得到 ).()( 21 r , , 13簡易輔導(dǎo) 注意以下幾點(diǎn)注意以下幾點(diǎn) 3

8、利用函數(shù)的奇偶性與積分區(qū)域的對稱性利用函數(shù)的奇偶性與積分區(qū)域的對稱性 計(jì)算。計(jì)算。 D DD dyxfyxfyxf dyxfdyxfyxfyxf DDD 0),(),(),( ),(2),(),(),( x)1( 1 1 的上半部分，的上半部分，是是軸對稱，軸對稱，關(guān)于關(guān)于 14簡易輔導(dǎo) 二、典型例題二、典型例題 1 利用重積分的性質(zhì)或交換積分次序來利用重積分的性質(zhì)或交換積分次序來 證明等式或不等式。證明等式或不等式。 2 重積分與二次積分的轉(zhuǎn)化。重積分與二次積分的轉(zhuǎn)化。 3 重積分的計(jì)算。重積分的計(jì)算。 15簡易輔導(dǎo) 設(shè)設(shè))(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，并并設(shè)設(shè)Adxxf 1 0 )(，

9、 求求 11 0 )()( x dyyfxfdx. 思考題思考題 16簡易輔導(dǎo) 1 )( x dyyf不能直接積出不能直接積出,改改變變積積分分次次序序. 令令 11 0 )()( x dyyfxfdxI, 思考題解答思考題解答 則原式則原式 y dxyfxfdy 0 1 0 )()(. ,)()( 0 1 0 x dyyfdxxf 17簡易輔導(dǎo) 故故 11 0 )()(2 x dyyfdxxfI x dyyfdxxf 0 1 0 )()( )()()( 1 0 1 0 dyyfdxxf x x .)()( 2 1 0 1 0 Adyyfdxxf 18簡易輔導(dǎo) 例例1 1 。有界區(qū)域，求有界區(qū)

10、域，求 圍成的平面圍成的平面及及是由曲線是由曲線其中其中 滿足滿足設(shè)連續(xù)函數(shù)設(shè)連續(xù)函數(shù) ),( ),()cos(),( ),( 2 yxf xyxyD dxdyyxfxyxexyxf yxf D y 解解 3 3 2),( )cos(),(),( 1 0 2 a e dxdyadyxedxdxdyyxfa axyxexyxfadxdyyxf D x x y D y D 2 39e a 19簡易輔導(dǎo) 2 39 )cos(),( e xyxexyxf y 20簡易輔導(dǎo) 1、計(jì)算二重積分、計(jì)算二重積分 所圍；所圍； 其中其中、 所圍；所圍； 其中其中、 1, 1 ,:,)(1(2 ,31:,1 32

11、2 2 22 xy xyDdyxyfx yxyyDd yx y D D 2ln 2 1 12 3 2 5 21簡易輔導(dǎo) 2 2 解解 . 10, 11:. 2 yxDdxy D 其中其中計(jì)算計(jì)算 1 D 2 D 3 D 先去掉絕對值符號，如圖先去掉絕對值符號，如圖 dxydyx dxy DDD D 321 )()( 22 2 1 2 1 10 2 1 1 2 2 )()( x x dyxydxdyyxdx. 15 11 22簡易輔導(dǎo) xyxDdxdyyx D 2:,)(3 222 ：計(jì)算：計(jì)算 答案：答案： 2 3 累次積分；累次積分； 為極坐標(biāo)系中的為極坐標(biāo)系中的、化、化dyyxfdx x

12、2 0 1 0 ),(4 23簡易輔導(dǎo) 5 5 解解 ）所圍的面積（取圓外部所圍的面積（取圓外部和圓和圓 是由心臟線是由心臟線其中其中計(jì)算計(jì)算 arar Ddyx D )cos1( . 22 )cos1( 2 2 22 a a D rdrrd dyx 2 2 33 1)cos1( 3 1 da ). 29 22 ( 3 a 24簡易輔導(dǎo) 6 6 .)()( 1 1 )()( 12 b a n x a n b a dyyfyb n dyyfyxdx 證明證明 證證 b y n b a x a n b a dxyfyxdy dyyfyxdx )()( )()( 2 2 b a b y n yx n dyyf 1 )( 1 1 )( .)()( 1 1 1 b a n dyyfyb n D xy b b a a 25簡易輔導(dǎo) 7 7 解解 所圍成所圍成及及 由由其中其中計(jì)算計(jì)算 00 , 1.)cos( yx yxDdxdy yx yx I D ,yxvyxu 令令 . 2 , 2 uv y vu x 則則 ,DD D x y o 1 yx D u v o vu vu 1 v . 11 ;0 ;0 vyx vuy vux即即 26簡易輔導(dǎo) ),( ),( vu yx J , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 D dudvJ v u Icos故故 v v du