241逆變換與逆矩陣

1、2.4.1逆變換與逆矩陣教學(xué)目標：1、知識與技能：理解逆矩陣的意義；掌握二階矩陣存在逆矩陣的條件。理解逆矩陣的唯一性和 (AB)-1B-1A-1 等簡單性質(zhì)，并了解其在變換中的意義。會從幾何變換的角度求出AB的逆矩陣。會用逆矩陣的知識解釋二階矩陣的乘法何時滿足消去律。2、過程與方法：通過具體的圖形變換，理解逆矩陣的意義并掌握二階矩陣的條件；通過具體的投影變換，說明它所對應(yīng)矩陣的逆矩陣不存在.3、情感態(tài)度與價值觀：使用通俗的語言和豐富有趣的實例來循序漸進地展開教學(xué)內(nèi)容，以此來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣；通過設(shè)置思考與探究，來給學(xué)生創(chuàng)設(shè)思考與探究的空間.重點難點：1、教學(xué)重點：逆矩陣及其求法。2、教學(xué)難點

2、：逆矩陣的求法。教學(xué)方法：自主合作探究教具準備：多媒體設(shè)備教學(xué)過程：問題探究、引入概念【情境】我們知道二階矩陣對應(yīng)著平面上的一個幾何變換，它把點P(x,y)變換到點P(x，y).反過來，如果已知變換后的結(jié)果P(x，y)，能不能“找到回家的路（逆變換）”，讓它變回到原來的點P(x,y)呢？從變換的結(jié)果來看，雖然經(jīng)歷“走過去”又“走過來”的兩次變換，但是最終還是回到原地，變回為“自己”.由于每個矩陣對應(yīng)著一個幾何變換，這兩次連續(xù)的變換卻又對應(yīng)著兩個矩陣的積，于是，上面的問題就變成了已經(jīng)知道了矩陣A，我們能否找到一個矩陣B，使得連續(xù)進行的兩次變換的結(jié)果與恒等變換的結(jié)果相同.【引入例】對于下列給出的變

3、換矩陣A，是否存在變換矩陣B，使得連續(xù)進行兩次變換（先TA后TB）的結(jié)果與恒等變換的結(jié)果相同？以x軸為反射軸作反射變換；繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)60；橫坐標不變，沿y軸方向?qū)⒖v坐標拉伸為原來的2倍作伸壓變換；沿y軸方向，向x軸作投影變換；縱坐標不變，橫坐標依縱坐標的比例增加，且(x,y)(x+2y,y)的切變變換；解：對于反射變換TA，滿足條件的變換就是它自身，即BA.對于旋轉(zhuǎn)變換TA，存在旋轉(zhuǎn)變換TB，B為繞原點順時針旋轉(zhuǎn)60的變換矩陣.對于伸壓變換TA，存在變換TB，它對應(yīng)著使平面內(nèi)的點保持橫坐標不變，縱坐標沿y軸方向壓縮為原來的1/2的變換矩陣B.對于投影變換TA，不存在滿足條件的變換矩陣B.對

4、于切變變換TA，存在切變變換TB，它對應(yīng)著使得平面內(nèi)的點保持縱坐標不變，橫坐標依縱坐標的比例減少，且(x,y)(x2y,y)的變換矩陣B.合作學(xué)習、形成概念【逆矩陣的定義】對于二階矩陣A，B，若ABBAE，則稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣.【說明】當一個矩陣A表示的是平面上向量到向量的一一映射時，它才是可逆的。B為A的逆矩陣，則A也是B的逆矩陣；若A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的，記為A1.假設(shè)B1，B2都是A的逆矩陣，則AB1B1AE，AB2B2AE，所以B1EB1(B2A)B1B2(AB1)B2EB2【思考】M的逆矩陣M1和函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)y=f1(x)有什么異同？MM1M1ME，

5、f1f(x)x，f f1 (x)x.【若A可逆，則求A1的方法】幾何變換：待定系數(shù)法：若則A1.若二階矩陣A，B均存在逆矩陣，則AB也存在逆矩陣，且(AB)1B1A1.【證明】由于二階矩陣A，B均存在逆矩陣，它們分別為A1，B1，故AA1A1AE，BB1B1BE(AB)(B1A1)A(BB1)A1AEA1AA1E，(B1A1) (AB)B1(A1A)BB1EBB1BE，因此，(AB)1B1A1.若A，B，C為二階矩陣，且ABAC，若矩陣A存在逆矩陣，則BC.【證明】因為矩陣A存在逆矩陣，故AA1E，于是BEB(A1A)BA1(AB)A1(AC)(A1A)CC【思考】如果二階矩陣A存在逆矩陣，且

6、BACA，那么BC成立嗎？成立，證明同上學(xué)以致用、深化概念【例1】用幾何變換的觀點判斷下列矩陣是否存在逆矩陣，若存在，請把它求出來；若不存在，請說明理由.；.【分析】矩陣A是反射變換矩陣，它存在逆矩陣，；矩陣B為伸壓變換矩陣，它存在逆矩陣，；矩陣C是旋轉(zhuǎn)變換矩陣，它存在逆矩陣，；矩陣D是投影變換矩陣，它不存在逆矩陣.【評析】：【例2】求矩陣的逆矩陣.【分析】（待定系數(shù)法），設(shè)，利用AA1E得到關(guān)于x,y,z,w的方程組，求解即得?！驹u析】：【例3】求解矩陣AB的逆矩陣；.【分析】【例4】已知變換，試將它寫成坐標變換的形式；已知變換，試將它寫成矩陣乘法的形式.【解】自主探究、鞏固概念 總結(jié)反思、提高認識1.對于二階矩陣A，B，若有ABBAE，則稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣.【說明】B為A的逆矩陣，則A也為B的逆矩陣.若二階矩陣A存在逆矩陣B，則A的逆矩陣是唯一的，通常記A的逆矩陣為A1_，且A1B.當一個矩陣表示的是平面上向量到向量的一一映射時，它才是可逆的。2.求二階矩陣A的方法