相似三角形的應(yīng)用

1、相似三角形相似三角形 的應(yīng)用的應(yīng)用 太陽光線可以看太陽光線可以看 成是平行光線。成是平行光線。 在陽光下，在同一時刻，物體的高度與在陽光下，在同一時刻，物體的高度與 物體的影長存在某種關(guān)系：物體的高度越高，物體的影長存在某種關(guān)系：物體的高度越高， 物體的影長就越長物體的影長就越長 在平行光線的照射下，不同物體的物高在平行光線的照射下，不同物體的物高 與影長成比例與影長成比例 1.一根一根1.51.5米長的標(biāo)桿直立在水平地面上米長的標(biāo)桿直立在水平地面上, ,它它 在陽光下的影長為在陽光下的影長為2.12.1米；此時一棵水杉樹的影米；此時一棵水杉樹的影 長為長為10.510.5米米, ,這棵水杉樹

2、高為這棵水杉樹高為 ( ) ( ) A.7.5A.7.5米米 B.8 B.8米米 C.14.7 C.14.7米米 D.15.75 D.15.75米米 2.在某一刻在某一刻, ,有人測得一高為有人測得一高為1.81.8米的米的 竹竿的影長為竹竿的影長為3 3米米, ,某一高樓的影長為某一高樓的影長為6060 米米, ,那么高樓的高度是多少米那么高樓的高度是多少米? ? (1)利用影長測量物體的高度利用影長測量物體的高度 胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被喻為胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被喻為 “世界古代七大奇觀之一世界古代七大奇觀之一”。塔的個斜面正對東南西。塔的個斜面正對東南西

3、 北四個方向，塔基呈正方形，每邊長約多米北四個方向，塔基呈正方形，每邊長約多米。據(jù)據(jù) 考證，為建成大金字塔，共動用了萬人花了年考證，為建成大金字塔，共動用了萬人花了年 時間時間. .原高米，但由于經(jīng)過幾千年的風(fēng)吹原高米，但由于經(jīng)過幾千年的風(fēng)吹 雨打雨打, ,頂端被風(fēng)化吹蝕頂端被風(fēng)化吹蝕. .所以高度有所降低所以高度有所降低 。 埃及著名的考古專家穆罕穆德決埃及著名的考古專家穆罕穆德決 定重新測量胡夫金字塔的高度定重新測量胡夫金字塔的高度. .在一個在一個 烈日高照烈日高照的上午的上午. .他和兒子小穆罕穆德他和兒子小穆罕穆德 來到了金字塔腳下來到了金字塔腳下, ,他想考一考年僅他想考一考年僅1

4、414 歲的小穆罕穆德歲的小穆罕穆德. . 給你一條給你一條1 1米高的米高的 木桿木桿, ,一把皮尺一把皮尺, , 你能利用所學(xué)知你能利用所學(xué)知 識來測出塔高嗎識來測出塔高嗎? ? 1米木桿米木桿 皮尺皮尺 例例1 據(jù)史料記者，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用據(jù)史料記者，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用 相似三角形的原理，在金字塔影子頂部立一根木桿，集中相似三角形的原理，在金字塔影子頂部立一根木桿，集中 大院光線構(gòu)成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度大院光線構(gòu)成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度 如圖，如果木桿如圖，如果木桿EF長長2m，它的影長，它的影長FD為為3m，測得，測得OA 為

5、為201m，求金字塔的高度，求金字塔的高度BO 解：太陽光是平行光線，由此解：太陽光是平行光線，由此BAOEDF，又，又 AOBDFE90 ABODEF FD OA EF BO 134 3 2201 FD EFOA BO 因此金字塔的高為因此金字塔的高為134m B E A(F) D O 現(xiàn)在小穆罕穆德測得金字塔的的陰影現(xiàn)在小穆罕穆德測得金字塔的的陰影ACAC的的 長為長為3232米，他還同時測得小木棒米，他還同時測得小木棒0 0 B B的影長是 的影長是1 1 米，在父親的幫助下，他還測得了金字塔底邊米，在父親的幫助下，他還測得了金字塔底邊 CDCD的長度大約是的長度大約是230230米。米

6、。 你能不能幫助小穆罕穆德求出這你能不能幫助小穆罕穆德求出這 座金字塔的高度？座金字塔的高度？ C D (方法1)利用影長測量物體的高度 測量原理：測量原理：測量不能到達(dá)頂部的物體高度，測量不能到達(dá)頂部的物體高度， 通常利用通常利用“相似三角形的對應(yīng)邊的比相等相似三角形的對應(yīng)邊的比相等” 和和“在同一時刻物高與影長的比相等在同一時刻物高與影長的比相等”的的 原理來解決原理來解決。 測量方法測量方法：如圖，在同一時刻測量出參照：如圖，在同一時刻測量出參照 物和被測量物體的影長物和被測量物體的影長CO,BO，再測量出，再測量出 參照物的高度參照物的高度DO,然后計(jì)算出被測量物體的然后計(jì)算出被測量物

7、體的 高度高度AB. A B D O C 物物1高高 ：物：物2高高 = 影影1長長 ：影：影2長長 知識要點(diǎn)知識要點(diǎn) 測高的方法測高的方法 測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，測量不能到達(dá)頂部的物體的高度， 通常用通常用“在同一時刻物高與影長成正比在同一時刻物高與影長成正比 例例”的原理解決。的原理解決。 變式變式1 1. .某同學(xué)想利用樹影測量樹高某同學(xué)想利用樹影測量樹高. .他在某一時刻他在某一時刻 測得小樹高為測得小樹高為1.51.5米時，其影長為米時，其影長為1.21.2米，當(dāng)他測量米，當(dāng)他測量 教學(xué)樓旁的一棵大樹影長時，因大樹靠近教學(xué)樓，教學(xué)樓旁的一棵大樹影長時，因大樹靠近教學(xué)樓， 有一

8、部分影子在墻上有一部分影子在墻上. .經(jīng)測量，地面部分影長為經(jīng)測量，地面部分影長為6.46.4 米，墻上影長為米，墻上影長為1.41.4米，那么這棵大樹高多少米米，那么這棵大樹高多少米? ? E D 6.4 1.2 ？ 1.5 1.4 A B c 解：作解：作DEAB于于E 得得 AE=8 AB=8+1.4=9.4米米 4 .62 .1 5 .1x 物體的影長不等于地上的部分加上墻上的部分物體的影長不等于地上的部分加上墻上的部分 1.2 1.5 甲 拓展拓展: : 已知教學(xué)樓高為已知教學(xué)樓高為1212米，在距教學(xué)樓米，在距教學(xué)樓9 9米的北米的北 面有一建筑物乙，此時教學(xué)樓會影響乙的采光嗎？面

9、有一建筑物乙，此時教學(xué)樓會影響乙的采光嗎？ 乙 9 12 12 9.6 D E 0.6 變式變式2 2：小明在某一時刻測得：小明在某一時刻測得1m1m的桿子在陽的桿子在陽 光下的影子長為光下的影子長為2m,2m,他想測量電線桿他想測量電線桿ABAB的高的高 度度, ,但其影子恰好落在土坡的坡面但其影子恰好落在土坡的坡面CDCD和地面和地面 BCBC上上, ,量得量得CD=2m,BC=10m,CDCD=2m,BC=10m,CD與地面成與地面成4545, , 求電線桿的高度求電線桿的高度. . A A B B D D C C E EF F 例例2 2. .小明要測量一座古塔的高度小明要測量一座古塔

10、的高度, ,從距他從距他2 2米的一米的一 小塊積水處小塊積水處C C看到塔頂?shù)牡褂翱吹剿數(shù)牡褂? ,已知小明的眼部離已知小明的眼部離 地面的高度地面的高度DEDE是是1.51.5米米, ,塔底中心塔底中心B B到積水處到積水處C C的距的距 離是離是4040米米. .求塔高求塔高AB? AB? B D C A E CE BC DE AB 2 40 5 . 1 AB 30AB 答答: :塔高塔高3030米米. . 解:DEC=ABC=90 DCE=ACB DECABC 這里運(yùn)用了物理中哪個原理？這里運(yùn)用了物理中哪個原理？ AF E B O 還可以有其他方法測量嗎？還可以有其他方法測量嗎？ 一

11、題多解一題多解 OB EF = OA AF ABOAEF OB = OA EF AF 平面鏡平面鏡 把一小鏡子放在離樹（AB）8米的點(diǎn)E處， 然后沿著直線BE后退到點(diǎn)D，這時恰好在鏡子 里看到樹梢頂點(diǎn)A，再用皮尺量得DE=2.8m，觀 察者目高CD=1.6m。這時樹高多少？你能解決 這個問題嗎？ A B E D C 例例3：如圖如圖: :為了估算河的寬度為了估算河的寬度, ,我們可以我們可以 在河對岸選定一個目標(biāo)作為點(diǎn)在河對岸選定一個目標(biāo)作為點(diǎn)A,A,再在河的這一再在河的這一 邊選點(diǎn)邊選點(diǎn)B B和和C,C,使使ABBC,ABBC,然后然后, ,再選點(diǎn)再選點(diǎn)E,E,使使 ECBC,ECBC,用視

12、線確定用視線確定BCBC和和AEAE的交點(diǎn)的交點(diǎn)D.D.此時如果此時如果 測得測得BD=120BD=120米米,DC=60,DC=60米米,EC=50,EC=50米米, ,求兩岸間的求兩岸間的 大致距離大致距離AB.AB. A B C D E 方法一：方法一： 如圖如圖: :為了估算河的寬度為了估算河的寬度, ,我們可以在我們可以在 河對岸選定一個目標(biāo)作為點(diǎn)河對岸選定一個目標(biāo)作為點(diǎn)A A, ,再在河的這一邊選點(diǎn)再在河的這一邊選點(diǎn) B B和和C C, ,使使ABABBCBC, ,然后然后, ,再選點(diǎn)再選點(diǎn)E E, ,使使ECECBCBC, ,用視線確用視線確 定定BCBC和和AEAE的交點(diǎn)的交點(diǎn)

13、D D. .此時如果測得此時如果測得BDBD=120=120米米, ,DCDC=60=60 米米, ,ECEC=50=50米米, ,求兩岸間的大致距離求兩岸間的大致距離ABAB. . A B C D E 解解: ADB = EDC ABC =ECD =900. ABD ECD ABEC=BDCD AB =BDEC/CD =12050/60 =100（米）（米） 答：答：兩岸間的大致距離為兩岸間的大致距離為100米。米。 方法二：方法二：我們還可以在河對岸選定一目標(biāo)點(diǎn)我們還可以在河對岸選定一目標(biāo)點(diǎn)A， 再在河的一邊選點(diǎn)再在河的一邊選點(diǎn)D和和 E，使，使DEAD，然后，再，然后，再 選點(diǎn)選點(diǎn)B，作

14、，作BCDE，與視線，與視線EA相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)C。此時，。此時， 測得測得DE , BC, BD, 就可以求兩岸間的大致距離就可以求兩岸間的大致距離AB 了。了。A D E B C 此時如果測得此時如果測得DE120米，米， BC60米，米，BD50米，求米，求 兩岸間的大致距離兩岸間的大致距離AB （方法2）測量河的寬度 測量原理測量原理：測量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的：測量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的 距離，常構(gòu)造相似三角形求解。距離，常構(gòu)造相似三角形求解。 測量方法測量方法： 為了估算河的寬度為了估算河的寬度, ,我們可以在河對岸選定我們可以在河對岸選定 一個目標(biāo)作為點(diǎn)一個目標(biāo)作為點(diǎn)A A, ,

15、再在河的這一邊選點(diǎn)再在河的這一邊選點(diǎn)B B和和C C, , 使使ABABBCBC, ,然后然后, ,再選點(diǎn)再選點(diǎn)E E, ,使使ECECBCBC, ,用視線用視線 確定確定BCBC和和AEAE的交點(diǎn)的交點(diǎn)D D. .此時如果測得此時如果測得BDBD，DCDC， ECEC的長，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比求出河的長，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比求出河 寬寬ABAB. . 知識要點(diǎn)知識要點(diǎn) 測距的方法測距的方法 測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的距離測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的距離,常常構(gòu)造構(gòu)造 相似三角形相似三角形求解。求解。 如圖如圖, ,小東設(shè)計(jì)兩個直角來測量河寬小東設(shè)計(jì)兩個直角來測量河寬DE,DE,他量他量 得得AD=

16、2m,BD=3m,CE=9m,AD=2m,BD=3m,CE=9m,則河寬則河寬DEDE為為 ( )( ) (A).5m (B).4m (c).6m (D).8m 如圖，小明在打網(wǎng)球時，使球恰好能打過網(wǎng)，而且如圖，小明在打網(wǎng)球時，使球恰好能打過網(wǎng)，而且 落在離網(wǎng)落在離網(wǎng)5 5米的位置上，求球拍擊球的高度米的位置上，求球拍擊球的高度h h. E B C D A 練習(xí)練習(xí) A B C D E F H G 如圖 27217(2)利用“標(biāo)桿和視角”構(gòu)建三角形，其數(shù) 學(xué)模型為： 圖 27217(2) 例例3：已知左，右并排的兩棵大樹的高分：已知左，右并排的兩棵大樹的高分 別是別是AB=8m和和CD=12m

17、，兩樹的根部的距，兩樹的根部的距 離離BD=5m。一個身高。一個身高1.6m的人沿著正對的人沿著正對 著兩棵樹的一條水平直路從左向右前進(jìn)，著兩棵樹的一條水平直路從左向右前進(jìn)， 當(dāng)他與左邊較低的樹的距離小于多少時，當(dāng)他與左邊較低的樹的距離小于多少時， 就不能看見右邊較高的樹的頂端點(diǎn)就不能看見右邊較高的樹的頂端點(diǎn)C？ K 盲區(qū)盲區(qū) 觀察者觀察者 看不到看不到 的區(qū)的區(qū) 域。域。 仰角仰角 ：視線在水平：視線在水平 線以線以 上的夾角。上的夾角。 水平線水平線 視線視線 視點(diǎn)視點(diǎn) 觀察者眼睛的位置。觀察者眼睛的位置。 (1) F B C D H G l A K (1) F B C D H G l A

18、 K F A B C D H G K l (2) 分析：分析： 假設(shè)觀察者從左向右走到點(diǎn)假設(shè)觀察者從左向右走到點(diǎn)E時，他的眼睛的位時，他的眼睛的位 置點(diǎn)置點(diǎn)F與兩顆樹的頂端點(diǎn)與兩顆樹的頂端點(diǎn)A、C恰在一條直線上恰在一條直線上,如如 果觀察者繼續(xù)前進(jìn)，由于這棵樹的遮擋，右邊樹果觀察者繼續(xù)前進(jìn)，由于這棵樹的遮擋，右邊樹 的頂端點(diǎn)的頂端點(diǎn)C在觀察者的盲區(qū)之內(nèi)，觀察者看不到在觀察者的盲區(qū)之內(nèi)，觀察者看不到 它。它。 E 由題意可知，由題意可知，ABL，CDL， ABCD，AFH CFK FH FK = AH CK 即即 FH FH+5 = 8-1.6 12-1.6 解得解得FH=8 當(dāng)他與左邊的樹的距

19、離小于當(dāng)他與左邊的樹的距離小于8m時，由時，由 于這棵樹的遮擋，右邊樹的頂端點(diǎn)于這棵樹的遮擋，右邊樹的頂端點(diǎn)C在觀在觀 察者的盲區(qū)之內(nèi)，就不能看見右邊較高的察者的盲區(qū)之內(nèi)，就不能看見右邊較高的 樹的頂端點(diǎn)樹的頂端點(diǎn)C 如圖：直立在點(diǎn)B處的標(biāo)桿AB長為2.5米，觀察者站在點(diǎn)F 處，人眼E，標(biāo)桿頂A，樹頂C在同一條直線上，點(diǎn)F,B,D 也在同一條直線上，已知BD=10米，F(xiàn)B=3米，EF=1.7米， 求樹高DC？ E F A B C D 1. 相似三角形的應(yīng)用主要有兩個方面：相似三角形的應(yīng)用主要有兩個方面： （1） 測高測高 測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的距離測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的距離,常構(gòu)造相似三常構(gòu)造相似

20、三 角形求解。角形求解。 （不能直接使用皮尺或刻度尺量的）（不能直接使用皮尺或刻度尺量的） （不能直接測量的兩點(diǎn)間的距離）（不能直接測量的兩點(diǎn)間的距離） 測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用 “在同一時刻物高與影長成比例在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決。的原理解決。 （2） 測距測距 2. 解相似三角形實(shí)際問題的一般步驟：解相似三角形實(shí)際問題的一般步驟： （1）審題。）審題。 （2）構(gòu)建圖形。）構(gòu)建圖形。 （3）利用相似解決問題。）利用相似解決問題。 3.為了測量路燈（為了測量路燈（OS）的高度）的高度,把一根長把一根長1.5 米的竹竿（米的竹竿（AB

21、）豎直立在水平地面上）豎直立在水平地面上,測得測得 竹竿的影子（竹竿的影子（BC）長為）長為1米米,然后拿竹竿向遠(yuǎn)然后拿竹竿向遠(yuǎn) 離路燈方向走了離路燈方向走了4米（米（BB）,再把竹竿豎立再把竹竿豎立 在地面上在地面上, 測得竹竿的影長（測得竹竿的影長（BC）為）為1.8米米, 求路燈離地面的高度求路燈離地面的高度. h S A C B B O C A 4、如圖，有一路燈桿、如圖，有一路燈桿AB(底部底部B不能直接到不能直接到 達(dá)達(dá))，在燈光下，小明在點(diǎn)，在燈光下，小明在點(diǎn)D處測得自己的影處測得自己的影 長長DF3m，沿，沿BD方向到達(dá)點(diǎn)方向到達(dá)點(diǎn)F處再測得自處再測得自 己得影長己得影長FG4

22、m，如果小明得身高為，如果小明得身高為1.6m， 求路燈桿求路燈桿AB的高度。的高度。 DF B CE G A P D Q B C A 課堂小結(jié)課堂小結(jié): 一一 、相似三角形的應(yīng)用主要有如下兩個方面、相似三角形的應(yīng)用主要有如下兩個方面 1 1 測高測高( (不能直接使用皮尺或刻度尺量的不能直接使用皮尺或刻度尺量的) ) 2 2 測距測距( (不能直接測量的兩點(diǎn)間的距離不能直接測量的兩點(diǎn)間的距離) ) 二、測高的方法二、測高的方法 測量不能到達(dá)頂部的物體的高度測量不能到達(dá)頂部的物體的高度, ,通常用通常用“在同在同 一時刻物高與影長的比例一時刻物高與影長的比例”的原理解決的原理解決 三、測距的方

23、法三、測距的方法 測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的距離測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的距離, ,常構(gòu)造相似三常構(gòu)造相似三 角形求解角形求解 課堂小結(jié)課堂小結(jié): 四、相似三角形的應(yīng)用的主要圖形四、相似三角形的應(yīng)用的主要圖形 挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我 1、如圖，如圖，ABCABC是一塊銳角三角形余料，邊是一塊銳角三角形余料，邊 BC=120BC=120毫米，高毫米，高AD=80AD=80毫米，要把它加工成正方形毫米，要把它加工成正方形 零件，使正方形的一邊在零件，使正方形的一邊在BCBC上，其余兩個頂點(diǎn)分上，其余兩個頂點(diǎn)分 別在別在ABAB、ACAC上，這個正方形零件的邊長是多少？上，這個正方形零件的邊長是多少？ N MQ P

24、E D C B A解：解：設(shè)正方形設(shè)正方形PQMNPQMN是符合要求的是符合要求的ABCABC的高的高 ADAD與與PNPN相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)E E。設(shè)正方形。設(shè)正方形PQMNPQMN的邊長為的邊長為x x 毫米。毫米。 因?yàn)橐驗(yàn)镻NBCPNBC，所以，所以APN APN ABCABC 所以所以 AE AD = PN BC 因此因此 ，得，得 x=48（毫米）。答：（毫米）。答：-。 80 x 80 = x 120 作業(yè)：作業(yè)： 課堂作業(yè)：課堂作業(yè)： 課本課本p56 10 P57 11 P8 8 家庭作業(yè)：家庭作業(yè)： 基礎(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練p64p67 探索與思考選作探索與思考選作 練習(xí)：練習(xí)：1.1

25、.小軍想出了一個測量建筑物高度的小軍想出了一個測量建筑物高度的 方法方法: :在地面上在地面上C C處平放一面鏡子處平放一面鏡子, ,并在鏡子上并在鏡子上 做一個標(biāo)記做一個標(biāo)記, ,然后向后退去然后向后退去, ,直至看到建筑物直至看到建筑物 的頂端的頂端A A在鏡子中的象與鏡子上在鏡子中的象與鏡子上 的標(biāo)記重合的標(biāo)記重合. . 如果小軍的眼睛距地面如果小軍的眼睛距地面1.65m,BC1.65m,BC、CDCD的長分的長分 別為別為60m60m、3m,3m,求這座建筑物的高度求這座建筑物的高度. . A BCD E 鞏固鞏固 3、如圖，為了測量一棟大樓的高度，王、如圖，為了測量一棟大樓的高度，王

26、 青同學(xué)在她腳下放了一面鏡子，然后向青同學(xué)在她腳下放了一面鏡子，然后向 后退，直到她剛好在鏡子中看到大樓頂后退，直到她剛好在鏡子中看到大樓頂 部。這時部。這時LMK等于等于 SMT嗎？如果王青的身嗎？如果王青的身 高高1.55m，她估計(jì)自己眼睛，她估計(jì)自己眼睛 離地面離地面1.50m，同時量得，同時量得 LM=30cm，MS=25m，這，這 棟大樓有多高？棟大樓有多高？ 變式變式1 1：小麗利用影長測量學(xué)校旗桿的高度：小麗利用影長測量學(xué)校旗桿的高度. . 由于旗桿靠近一個建筑物由于旗桿靠近一個建筑物, ,在某一時刻旗桿影在某一時刻旗桿影 子中的一部分映在建筑物的墻上子中的一部分映在建筑物的墻上. .小麗測得旗小麗測得旗 桿桿ABAB在地面上的影長在地面上的影長BCBC為為20m,20m,在墻上的影長在墻上的影長 CDCD為為4m,4m,同時又測得豎立于地面的同時又測得豎立于地面的1m1m長的標(biāo)桿長的標(biāo)桿 影長為影長為0.8m,0.8m,請幫助小麗求出旗桿的高度請幫助小麗求出旗桿的高度. . CB D1m 0.8m E 2.2.教學(xué)樓旁邊有一棵樹，數(shù)學(xué)興趣小組