第一章習題答案

1、習題一（A）1. 寫出下列事件的樣本空間：把一枚硬幣連續(xù)拋擲兩次；擲兩顆骰子；連續(xù)拋一枚硬幣，直至出現(xiàn)正面為止；在某十字路口，一小時內通過的機動車輛數(shù)；某城市一天內的用電量解 ，其中表示正面，表示反面 2.為三個事件，試將下列事件用表示出來：僅發(fā)生；均發(fā)生；均不發(fā)生；發(fā)生而至少有一個不發(fā)生；不發(fā)生而至少有一個發(fā)生；不全發(fā)生；最多有個發(fā)生；至少有個發(fā)生；最多有一個發(fā)生；恰有個發(fā)生解 ；或； ；或；或； ； ；3擲一顆骰子的試驗，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)，事件偶數(shù)點，奇數(shù)點，點數(shù)小于，小于的偶數(shù)點，討論上述各事件間的關系解 ，與為對立事件，即；與互不相容；事件表示某個生產(chǎn)單位第車間完成生產(chǎn)任務，表示至少有

2、兩個車間完成生產(chǎn)任務，表示最多只有兩個車間完成生產(chǎn)任務，說明事件及的含義，并且用表示出來解表示最多有一個車間完成生產(chǎn)任務，即至少有兩個車間沒有完成生產(chǎn)任務表示三個車間均完成生產(chǎn)任務拋兩枚硬幣，求至少出現(xiàn)一個正面的概率解設事件表示兩枚硬幣中至少出現(xiàn)一個正面若用表示正面，表示反面，其出現(xiàn)是等可能的則樣本空間含有四個等可能樣本點：，由于事件含有其中個樣本點故拋擲一枚硬幣，連續(xù)次，求既有正面又有反面出現(xiàn)的概率解設事件表示三次中既有正面又有反面出現(xiàn)，則表示三次均為正面或三次均為反面出現(xiàn)，其所包含的樣本點數(shù)為而拋擲三次硬幣共有種不同的等可能結果，故樣本空間的樣本點總數(shù)為，因此擲兩顆骰子，求下列事件的概率：

3、點數(shù)之和為；點數(shù)之和不超過；兩個點數(shù)中一個恰是另一個的兩倍解點數(shù)之和為，點數(shù)之和不超過，兩個點數(shù)中一個恰是另一個的兩倍所以；把鑰匙中有把能打開一個門鎖，今任取兩把，求能打開門鎖的概率解設事件表示門鎖能被打開則事件發(fā)生就是取的兩把鑰匙都不能打開門鎖袋內裝有個白球，個黑球，從中一次任取兩個，求取到的兩個球顏色不同的概率及兩個球中有黑球的概率解記事件表示取到的兩個球顏色不同則有利于事件的樣本點數(shù)為而組成試驗的樣本點總數(shù)為，由古典概型概率公式有設事件表示取到的兩個球中有黑球，則有利于事件的樣本點數(shù)為10. 從一副張的撲克牌中任取張，求下列事件的概率：全是黑桃；同花； 沒有兩張同一花色； 同色解 張牌中

4、任取張，共有種等可能的取法用事件表示任取張全是黑桃，由于張黑桃只能從張黑桃中取出共有種取法，所以用事件表示取出的張牌同花，由于共有種花色，而張同花只能從同一花色的張牌中取出，所以共有種取法，于是用事件表示取出的張牌沒有兩張同一花色，張牌只能從各種花色(張牌)中各取張，共有種取法，于是用事件表示取出的張牌同色，共有種顏色，而每種顏色只能從同一顏色的張牌中任取張，共有種取法，于是11. 口袋內裝有個伍分、個貳分、個壹分的硬幣共枚，從中任取枚，求總值超過壹角的概率解 設事件表示取出的枚硬幣總值超過壹角則樣本點總數(shù)為，事件所包含的樣本點數(shù)為12. 袋中有紅、白、黑色球各一個，每次任取一球，有放回地抽取

5、三次，求下列事件的概率：三次都是紅球即全紅，全白，全黑，無紅，無白，無黑，三次顏色全相同，顏色全不相同，顏色不全相同解 樣本點總數(shù)為；事件、事件、事件所包含的樣本點數(shù)為；事件、事件、事件所包含的樣本點數(shù)為；事件所包含的樣本點數(shù)為事件、事件、事件樣本點數(shù)之和；事件所包含的樣本點數(shù)為；事件所包含的樣本點數(shù)為總樣本點數(shù)減去事件所包含的樣本點數(shù)所以有；13.一間宿舍內住有位同學，求他們中有個人的生日在同一個月份的概率解 設事件表示有個人的生日在同一個月份樣本點總數(shù)為，事件所包含的樣本點數(shù)，14. 從，七個數(shù)字中任取個排成一列，求下列事件的概率：（按不重復和可重復取分別計算）可構成四位數(shù)；可構成四位偶數(shù)

6、；可被整除的四位數(shù)；不在千位、在十位的四位數(shù)；數(shù)字各不相同的四位數(shù)解 設,分別為事件，不重復選取時總的樣本點數(shù)為包含的樣本點數(shù)為(先在六個非零數(shù)字中任取個排在千位，再在六個數(shù)字中任取三個排在百位、十位和個位)所以包含的樣本點數(shù)為(將偶數(shù)分為兩類：一類作個位的有個，另一類是、或作個位的有個)所以包含的樣本點數(shù)為(將能被整除的數(shù)分為兩類：一類是以作個位的有個，另一類是作個位的有個)所以包含的樣本點數(shù)為(在十位，千位不能取和，共個取法，剩下的百位和個位共有個取法)所以同重復選取時總的樣本點數(shù)為包含的樣本點數(shù)為(先在六個非零數(shù)字中任取個排在千位，其余三位可在個數(shù)字中重復選取)所以包含的樣本點數(shù)為(將偶

7、數(shù)分成兩類：一類是以作個位的，在六個非零數(shù)字中選取一個排在千位，百位和十位的數(shù)字在七個數(shù)字中重復選取)所以包含的樣本點數(shù)為(將能被整除的數(shù)分為兩類，一類是以作個位，一類是以作個位，都是共有個)所以包含的樣本點數(shù)為(在十位，千位不能取和，共個取法，剩下的百位和個位共有個取法). 所以包含的樣本點數(shù)為所以15. 有兩本外語書，本數(shù)學書，本政治書，放到書架上排成一排，求下列事件的概率：兩本外語書恰排在兩側（一側一本）；本數(shù)學書排在一起；某指定一本書恰好排在中間；本政治書一側兩本解 設,分別為事件，總樣本點數(shù)為包含的樣本點數(shù)為(兩本外語書在兩側有種排法，其余本書在中間有種排法)所以包含的樣本點數(shù)為(把

8、本數(shù)學書看成一本，與其余本書共有種排法本數(shù)學書共有種排法)所以包含的樣本點數(shù)為(指定書排在中間，其余本書在個位置上共有種排法)所以包含的樣本點數(shù)為(本政治書中先取本排在一側有種排法，剩余人兩本排在另一側有種排法，其余本書在中間共有種排法)所以16. 封信隨機地投到個信筒中，求下列事件的概率：第一個信筒恰有兩封信；第一個信筒至少有兩封信；第一個信筒最多有兩封信解 設,分別為事件，.總樣本點數(shù)為.包含的樣本點數(shù)為(封信中取兩封信投入第一個信筒，共有種投法，剩下封信投入兩個信筒中有種投法)所以包含的樣本點數(shù)為(總樣本點數(shù)減去第一個信筒中沒有信有種投法，再減去第一個信筒中有一封信有種投法)所以包含的樣

9、本點數(shù)為(第一個信筒中沒有信有種投法，第一個信筒中有一封信有種投法，第一個信筒中有兩封信有種投法)所以17. 將個人等可能地分配到十個房間去住，求下列事件的概率：某指定個房間各住人；人被分配到個不同的房間；人被分配到同一個房間；某個指定房間恰住人解 設,分別為事件，總樣本點數(shù)為包含的樣本點數(shù)為所以包含的樣本點數(shù)為(先選出個房間共種選法，這個房間各住一人有種住法)所以包含的樣本點數(shù)為所以包含的樣本點數(shù)為(先選出兩人住指定房間有種住法，其余人分配到剩下的個房間，有種分配方法)所以18. 在區(qū)間中隨機地取兩個數(shù)，求事件“兩數(shù)之和小于”的概率.解 這個概率可用幾何方法確定在區(qū)間中隨機地取兩個數(shù)分別記為

10、和，則的可能取值形成如下單位正方形，其面積為而事件兩數(shù)之和小于可表示為，其區(qū)域為圖1.1中的陰影部分圖1.1所以由幾何方法得19. 甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭，它們在一晝夜內到達的時間是等可能的如果甲船停泊時間是小時，乙船停泊時間是小時，求它們中任何一艘都不需要等候碼頭的概率解 這個概率可用幾何方法確定記和分別為甲乙兩艘輪船到達碼頭的時間，則的可能取值形成邊長為的正方形，其面積為而事件不需要等候碼頭空出有兩種可能情況：一種情況是甲船先到，則乙船在一小時之后到達，即滿足；另一種情況是乙船先到，則甲船在兩小時之后到達，即滿足所以事件可表示為所以事件的區(qū)域形成了圖1.2中的陰影

11、部分，其面積為，所以由幾何方法得 圖1.220. 事件與互不相容，計算解 由于與互不相容，有，21. 已知，求，解 由于與互不相容，且，因此有 22. 個產(chǎn)品中有個合格品與個廢品，從中一次抽取三個，計算取到廢品的概率解 記事件為取到廢品總樣本點數(shù)為，事件包含的樣本點數(shù)為所以23. 一個教室中有名學生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率（設一年以天計算）解 設事件表示名學生的生日都不在元旦，則有利于的樣本點數(shù)目為，而樣本空間中樣本點數(shù)總數(shù)為，所求概率為24. 有副規(guī)格不同的手套，現(xiàn)從中任取只，求至少能配成一副的概率解設事件表示取出的四只手套至少有兩只配成一副，則表示四只手套中任何兩只均不能配成

12、一副，25. 設事件至少有一個發(fā)生的概率為，發(fā)生而不發(fā)生的概率為，求解 由已知條件知，則26. 某單位有的職工訂閱報紙，的人訂閱雜志，在不訂閱報紙的人中仍有的職工訂閱雜志，從單位中任找一名職工求下列事件的概率：該職工至少訂閱一種報紙或期刊；該職工不訂閱雜志，但是訂閱報紙解 設事件表示任找一名職工訂閱報紙，表示訂閱雜志，依題意，則27. 分析學生們的數(shù)學與外語兩科考試成績，抽查一名學生，記事件表示數(shù)學成績優(yōu)秀，表示外語成績優(yōu)秀，若，求，解，28. 為了防止意外，在礦內同時設有兩種報警系統(tǒng)與，各系統(tǒng)單獨使用時，其有效的概率系統(tǒng)為，系統(tǒng)為，在失靈條件下，有效的概率為，求發(fā)生意外時，至少有一個系統(tǒng)有效

13、的概率；在失靈的條件下，有效的概率解 用事件表示報警系統(tǒng)有效，用事件表示報警系統(tǒng)有效，依題意，29. 袋中裝有個球，其中個紅球，個白球，個人依次摸球（不返樣）證明人摸到紅球的概率相等證明用事件表示第一個人摸到紅球，事件表示第二個人摸到紅球，事件表示第三個人摸到紅球，而，所以30. 設為二事件，當互不相容時，求當獨立時，求解當互不相容時，所以當獨立時，31. 某種電子元件的壽命在小時以上的概率為，求個這種元件使用小時后，最多只壞了一個的概率解 設事件表示使用小時后第個元件沒有壞，顯然相互獨立，事件表示三個元件中最多只壞了一個，則上式右邊是四個兩兩互不相容的事件的和，且32. 加工某種零件，需經(jīng)過

14、三道工序，假定第一、二、三道工序的廢品率分別為，并且任何一道工序是否出廢品與其他各道工序無關，求零件的合格率解設事件表示任取一個零件為合格品，依題意表示三道工序都合格33. 某單位電話總機的占線率為，其中某車間分機的占線率為，假定二者獨立，現(xiàn)在從外部打電話給該車間，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第次才能打通的概率（為任何正整數(shù)）解 設事件表示第次能打通，則，34. 在一定條件下，每發(fā)射一發(fā)炮彈擊中飛機的概率是，現(xiàn)有若干門這樣的炮獨立地同時發(fā)射一發(fā)炮彈，問欲以的把握擊中飛機，至少需要配置多少門這樣的炮？解設需配置門這樣的炮，用表示第門炮擊中飛機，則擊中飛機的概率為由可得所有至少需要

15、配置門這樣的炮35. 一間宿舍中有位同學的眼鏡都放在書架上，去上課時，每人任取一副眼鏡，求每個人都沒有拿到自己眼鏡的概率解設表示第人拿到自己眼鏡，設事件表示每個人都沒有拿到自己的眼鏡顯然則表示至少有一個拿到自己眼鏡且，36. 甲、乙、丙三人在同一時間內獨立地破一份密碼，如果這三人能譯出的概率依次為，求該密碼能譯出的概率解用事件分別表示甲、乙、丙三人能譯出密碼，事件表示該密碼能被譯出，則37. 甲乙兩射手，每次射擊命中目標的概率分別為和，射擊是獨立進行的，求各射擊次，恰有人命中目標的概率；各射擊次，至少有人命中目標的概率；各射擊次，恰有次命中目標的概率解 用事件分別表示一次射擊中甲、乙擊中目標，

16、則，用事件分別表示,用事件表示甲第次擊中目標，用事件表示乙第次擊中目標，則，所以38. 設三事件獨立，試證與獨立證明 所以與獨立39. 四重伯努利試驗中，事件至少發(fā)生一次的概率為，求下列事件的概率： 一次試驗中發(fā)生的概率； 次試驗恰好發(fā)生次的概率解 設一次試驗中發(fā)生的概率為，則依題意可得 ， ， 用事件表示次試驗中事件恰好發(fā)生次，40. 有門炮，每門炮命中目標的概率均為，各射一炮，求下列事件的概率目標被命中彈；目標至少被命中彈；目標至多被命中彈；解設,分別為事件，；41. 甲、乙二人輪流投籃，甲先開始，假定他們的命中率分別為及，問誰先投中的概率較大，為什么？解設事件分別表示甲在第次投中與乙在第

17、次投中，顯然相互獨立設事件表示甲先投中計算得知，因此甲先投中的概率較大42. 某高校新生中，北京考生占，京外其他各地考生占，已知在北京學生中，以英語為第一外語的占，而京外學生以英語為第一外語的占，今從全校新生中任選一名學生，求該生以英語為第一外語的概率解設事件表示任選一名學生為北京考生，表示任選一名學生以英語為第一外語依題意，由全概率公式有43. 地為甲種疾病多發(fā)區(qū)，該地共有南、北、中三個行政小區(qū)，其人口比為，據(jù)統(tǒng)計資料，甲種疾病在該地三個小區(qū)內發(fā)病率依次為，求地的甲種疾病的發(fā)病率解 設事件分別表示從地任選一名居民其為南、北、中行政小區(qū)，易見兩兩互不下容，其和為設事件表示任選一名居民其患有甲種

18、疾病，依題意：，44. 一個機床有三分之一的時間加工零件，其余時間加工零件，加工零件時，停機的概率為，加工零件時的停機的概率為，求這個機床停機的概率解設事件表示機床加工零件，則表示機床加工零件，設事件表示機床停工45. 市場供應的燈泡中有是甲廠生產(chǎn)的，是乙廠生產(chǎn)的，若甲、乙兩廠生產(chǎn)的燈泡次品率分別為和，求顧客不加選擇的買一個燈泡為正品的概率；已知顧客買的一個燈泡為正品，它是甲廠生產(chǎn)的概率解設事件表示顧客買一個燈泡是甲廠生產(chǎn)的，則表示顧客買一個燈泡是乙廠生產(chǎn)的，設事件表示顧客買一個燈泡是正品46. 甲袋中裝有個紅球，個白球；乙袋中裝有個紅球，個白球，求下列事件的概率：從甲袋任取球放入乙袋，再從乙

19、袋中任取球，該球為紅球；從甲袋任取球放入乙袋，再從乙袋中任取球，該球為紅球；從甲袋中任取球放入乙袋，再從乙袋中任取球放回甲袋，最后從甲袋中任取一球，該球為紅球解 設事件表示第一次取出紅球，事件表示第一次取出白球，事件表示第二次取出紅球設事件表示第一次取出的兩球都是紅球，表示第二次取出的兩球都是白球，表示第一次取出的兩球一紅一白，事件表示第二次取出紅球設事件表示第一次取出的是紅球，表示第一次取出的是白球，事件表示第二次取出的是紅球，表示第二次取出的是白球，事件表示第三次取出的是紅球47. 有編號為、的個口袋，其中號袋內裝有兩個號球，個號球和個號球，號袋內裝有兩個號球和個號球，號袋內裝有個號球和兩

20、個號球，現(xiàn)在先從號袋內隨機地抽取一個球，放入與球上號數(shù)相同的口袋中，第二次從該口袋中任取一個球，計算第二次取到幾號球的概率最大？為什么？解設事件表示第一次取到號球，表示第二次取到號球，依題意，構成一個完全事件組，應用全概率公式可依次計算出，因此第二次取到號球的概率最大48. 甲、乙、丙三個機床加工一批同一種零件，其各機床加工的零件數(shù)量之比為，各機床所加工的零件合格率，依次為，現(xiàn)在從加工好的整批零件中檢查出一個廢品，判斷它不是甲機床加工的概率解設事件分別表示受檢零件為甲機床加工，乙機床加工，丙機床加工表示廢品，應用貝葉斯公式有，49. 某人外出可以乘坐飛機、火車、輪船、汽車種交通工具，其概率分別

21、為，乘坐這幾種交通工具能如期到達的概率依次為，與，已知該旅行者誤期到達，求他是乘坐火車的概率解設事件分別表示外出人乘坐飛機，乘坐火車，乘坐輪船，乘坐汽車，表示外出人如期到達50. 設發(fā)報臺分別以和的概率發(fā)出和信號由于干擾作用，發(fā)信號時，收報臺以的概率收到，以的概率收到；發(fā)信號時，收報臺收到不清的概率分別為，和，求下列事件的概率收報臺收到信號；收報臺收到信號；收報臺收到信號，確系發(fā)的；收報臺收到信號，確系發(fā)的解 設事件分別表示發(fā)出和發(fā)出，事件分別表示收到，收到，收到不清依題意，；，；，51. 某企業(yè)采取三項深化改革措施，預計各項改革措施成功的可能性分別為，和，設三項措施中有一項、兩項、三項成功可

22、取得明顯經(jīng)濟效益的概率分別為，和，若各項措施成功與否相互獨立，求企業(yè)可取得明顯經(jīng)濟效益的概率；企業(yè)已取得經(jīng)濟效益，是由于有兩項措施成功而引起的概率（假定三項均不成功不會取得明顯經(jīng)濟效益）解 設企業(yè)采取甲、乙、丙三項改革措施，用事件分別表示甲、乙、丙三項改革措施成功，則 ， ， 用事件表示“企業(yè)可取得明顯經(jīng)濟效益”，用事件分別表示有一項、二項、三項措施成功，則 ， ， ，52. 一條生產(chǎn)線正常生產(chǎn)的時間為，不正常生產(chǎn)的時間為正常運轉時，產(chǎn)品為合格品，為不合格品；不正常運轉時，產(chǎn)品合格品只占，從產(chǎn)品中任取件檢查，求下列事件的概率：取出的產(chǎn)品為合格品；取出的是合格品，它是正常運轉時生產(chǎn)的；取出的是合

23、格品，它是不正常運轉時生產(chǎn)的解用事件分別表示生產(chǎn)線正常生產(chǎn)與不正常生產(chǎn)，用事件分別表示取出一件產(chǎn)品為合格品與不合格品依題意，；，；，.；53. 某種零件可以用兩種工藝方法加工制造，第一種方法需三道工序，其中各道工序出現(xiàn)廢品的概率分別是，和；第二種方法需兩道工序，每道工序出現(xiàn)廢品的概率均為設在合格品中得到優(yōu)等品的概率分別為和比較哪種方法得到優(yōu)等品的概率較大？解 用事件表示用第一種方法生產(chǎn)出合格品，用事件表示用第二種方法生產(chǎn)出合格品用事件分別表示用第一、第二種方法生產(chǎn)出優(yōu)等品依題意，所以第一種方法得到優(yōu)等品的概率較大54. 設一條昆蟲生產(chǎn)個卵的概率為，其中又設一個蟲卵能孵化成昆蟲的概率等于如果卵的

24、孵化是互相獨立的問此蟲的下一代有條的概率是多少？解設事件一個蟲產(chǎn)下幾個卵，該蟲下一代有條蟲，依題意，其中應用全概率公式有由于，所以有，（B）1. 對于任意二事件和，與不等價的是： 解 ，而2. 設為兩個隨機事件，且，則必有：解 由題設條件可得，所以，即，于是，故有3. 當事件與同時發(fā)生時，事件必發(fā)生，則必有：解 當事件與同時發(fā)生時，事件發(fā)生，所有，非正確答案雖然，但可能有，所以，非正確答案顯然，可能成立，所有，非正確答案4. 設，則 解 ，即，所以，于是得 5. 設三個事件兩兩獨立，則相互獨立的充分必要條件是：與獨立與獨立與獨立與獨立解 相互獨立兩兩獨立且由題設條件已經(jīng)知道了兩兩獨立，因此相互

25、獨立對于，因為與已經(jīng)相互獨立，所以與獨立，故應選6. 將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進事件：擲第一次出現(xiàn)正面，擲第二次出現(xiàn)正面，正、反面各出現(xiàn)一次， 正面出現(xiàn)兩次則事件（）相互獨立相互獨立兩兩獨立兩兩獨立解 ，所以，非正確答案， ， ，所以正確7. 某人向同一目標獨立重復射擊，每次射擊命中目標的概率為，則此人第次射擊恰好第次命中目標的概率為（） 解 前次射擊恰好次命中目標的概率為，第次命中目標的概率為，再由獨立性可得第次射擊恰好第次命中目標的概率為8. 把個與個隨機地排列，求沒有兩個連在一起的概率解 考慮個的放法：個位置上占有個位置，所有共有種放法而沒有兩個連在一起，相當于在個之間及兩頭（共個位置）去放，這共有種放法所以沒有兩個連在一起的概率為9. 從數(shù)字中可重復地任取次，求次所取數(shù)字的乘積能被整除的概率解記事件為至少取到一次，事件為至少取到一次偶數(shù)，則所求概率為因為，所以 10. 考慮一元二次方程，其中分別是將一枚骰子接連擲兩次先后出現(xiàn)的點數(shù)，求該方程有實根的概率和有重根的概率解均可取值，而且取每一個值的概率均為一枚骰子接連擲兩次，其基本事件總數(shù)為，且這個基本事件是等可能的，所以，這是一個古典概型問題當時方程有實根；時方程有重