三重積分習(xí)題[章節(jié)優(yōu)講]

1、常見(jiàn)的二次曲面常見(jiàn)的二次曲面 1. 柱面柱面 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 2. 錐面錐面 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 3. 橢球面橢球面 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 4. 雙曲面雙曲面 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 5. 拋物面拋物面 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 1 x+ y=1 y o z x 1 z=xy . 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域 與與 0 , 1 : zyxxyz zyxzyxfIddd ),( 計(jì)計(jì)算算 習(xí)題習(xí)題10-3 第第1(1)題題 優(yōu)質(zhì)教學(xué) z =0 1 x+ y=1 o z x 1 y z=xy . 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域 與與 0 , 1 : zyxxyz zyxzyxfIddd ),( 計(jì)計(jì)算算

2、習(xí)題習(xí)題10-3 第第1(1)題題 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 1 1 z =0o z x x+ y=1 y D xy zz ,y,xfyxI 0 )d(dd 。 zz , y,xfyx xyx d )(dd 0 1 0 1 0 。 z=xy . 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域 與與 0 , 1 : zyxxyz zyxzyxfIddd ),( 計(jì)計(jì)算算 習(xí)題習(xí)題10-3 第第1(1)題題 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 1 Dxy 1 0 x z y 習(xí)題習(xí)題10-3 第第1(2)題題 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 習(xí)題習(xí)題10-3 第第1(3)題題 優(yōu)質(zhì)教學(xué) a z o b 1 2 2 2 2 b y a x y x cz=xy . 區(qū)區(qū)域域。 所所圍圍

3、成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及0 1, )0( c : 2 2 2 2 z b y a x cxyzzyxzyxfIddd ),( 計(jì)計(jì)算算 習(xí)題習(xí)題10-3 第第1(4)題題 優(yōu)質(zhì)教學(xué) z z = 0 a 1 2 2 2 2 b y a x cz=xy y x b . o 區(qū)區(qū)域域。 所所圍圍成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及0 1, )0( c : 2 2 2 2 z b y a x cxyzzyxzyxfIddd ),( 計(jì)計(jì)算算 習(xí)題習(xí)題10-3 第第1(4)題題 優(yōu)質(zhì)教學(xué) a z o x y cz=xy b . 區(qū)區(qū)域域。 所所圍圍成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及0 1,

4、 )0( c : 2 2 2 2 z b y a x cxyzzyxzyxfIddd ),( 計(jì)計(jì)算算 習(xí)題習(xí)題10-3 第第1(4)題題 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 20/37 a z o x y cz=xy b . zzyxfyxI D c xy d ),(dd zzyxfyx c xy axa a b d ),(dd Dxy: c xy z 圍成圍成 1 2 b y a x ,y,x z = 0 直角坐標(biāo)直角坐標(biāo) ：上頂上頂 ：下底下底 由由 是是曲曲頂頂柱柱體體, , 用哪種坐標(biāo)？用哪種坐標(biāo)？ a b Dxy y x 0 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 4. 計(jì)算三

5、重積分計(jì)算三重積分 。其中。其中 是由曲面是由曲面 dxdydzzxy 32 xyz 與平面與平面 ， 及及 所圍成的閉區(qū)域。所圍成的閉區(qū)域。 xy 1 x0 z 分析分析: 由于積分區(qū)域和被積函數(shù)不具有利用由于積分區(qū)域和被積函數(shù)不具有利用“先二后一先二后一”、 柱面柱面 坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算的特點(diǎn)坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算的特點(diǎn), 故本題考慮利用直角坐標(biāo)來(lái)計(jì)算故本題考慮利用直角坐標(biāo)來(lái)計(jì)算. 解解: (1) 求求 （如圖）在平面（如圖）在平面 上的投影區(qū)域?yàn)樯系耐队皡^(qū)域?yàn)?xoy xy D 10 ,0 : xxyDxy (2) 確定上頂曲面確定上頂曲面 及下頂曲面及下頂曲面 。 1 2 0 xyz (3

6、) 轉(zhuǎn)化為先對(duì)轉(zhuǎn)化為先對(duì) 后對(duì)后對(duì) 的三次積分計(jì)算：的三次積分計(jì)算：zyx , 因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng) 時(shí)滿(mǎn)足時(shí)滿(mǎn)足 ， ,0 x0 y xy Dyx ) ,( 。因此。因此 1 xyz : 2 0: z z o xyz xy y x 優(yōu)質(zhì)教學(xué) dxdydzzxy 32 xy D dzzxydxdy xy 0 32 xy D dxdyyx 65 4 1 x dyyxdx 0 65 1 0 4 1 364 1 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 習(xí)題習(xí)題10-3 第第7題題 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 8. 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分 . 其中其中 是由錐面是由錐面 zdxdydz 22 yx R h z 與平面與平面 所圍成的閉區(qū)域。所圍成的閉區(qū)域

7、。 hz )0 , 0( hR 被豎坐標(biāo)為被豎坐標(biāo)為 的平面所截的平面閉區(qū)域?yàn)閳A域的平面所截的平面閉區(qū)域?yàn)閳A域 z 2 22 22 : h zR yxDz 故本題利用直角坐標(biāo)系中故本題利用直角坐標(biāo)系中“先二后一先二后一”的方法計(jì)算比較簡(jiǎn)便；的方法計(jì)算比較簡(jiǎn)便； 222 :RyxDxy 所以本題也可采用柱面坐標(biāo)計(jì)算所以本題也可采用柱面坐標(biāo)計(jì)算 解法解法1：利用利用“先二后一先二后一”方法計(jì)算。方法計(jì)算。 由于由于 ， 0 ,) ,( | ) , ,(hzDyxzyx z 面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域考慮到積分區(qū)域考慮到積分區(qū)域 在在 坐標(biāo)坐標(biāo) xoy 分析分析 由于被積函數(shù)由于被積函

8、數(shù) 只與變量只與變量 有關(guān)有關(guān), 且積分區(qū)域且積分區(qū)域 z zzyxf ) , ,( x y z o R R h z D 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 其中其中 ，故，故 2 22 22 : h zR yxDz zdxdydz z D h dxdyzdz 0 h dz h zR z 0 2 22 h dzz h R 0 3 2 2 22 4 1 hR 解法解法2：利用柱面坐標(biāo)計(jì)算。利用柱面坐標(biāo)計(jì)算。 在柱面坐標(biāo)下在柱面坐標(biāo)下 20 ,0 , :Rhz R h 故有故有 zdxdydz h R h R dzzdd 0 2 0 R d R h h 0 2 2 2 2 )( 2 1 2 R R h h 0 4 2 2

9、22 ) 42 1 ( 22 4 1 hR 注意：注意：從上面兩種解法的過(guò)程來(lái)看從上面兩種解法的過(guò)程來(lái)看, 雖然本題可用兩種方法雖然本題可用兩種方法 來(lái)計(jì)算，但來(lái)計(jì)算，但“先二后一先二后一”法相對(duì)簡(jiǎn)便。法相對(duì)簡(jiǎn)便。 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 26/37 9(2). 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分 , 其中其中 是由圓錐面是由圓錐面 zdxdydz 22 yxz 與上半球面與上半球面 所圍成的閉區(qū)域。所圍成的閉區(qū)域。 22 2zxy 分析：分析：本題可考慮用直角坐標(biāo)系中的本題可考慮用直角坐標(biāo)系中的“先二先二后一后一”法和柱面法和柱面 坐標(biāo)方法進(jìn)行計(jì)算。坐標(biāo)方

10、法進(jìn)行計(jì)算。 解法解法1：利用利用“先二后一先二后一”方法計(jì)算。方法計(jì)算。 因因 ( , , )|( , ), 02 z xyzxyDz 由于當(dāng)由于當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ； 01z 222 :zyxDz 而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 。 12z 222 : 2 z Dxyz y z x o 1 2 D 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 故需用平面故需用平面 將積分區(qū)域?qū)⒎e分區(qū)域 劃分為兩部分：劃分為兩部分： 1z 21 1 ( , , )|( , ), 01 z xyzxyDz 其中其中 2 ( , , )|( , ), 12 z xyzxyDz zdxdydz 21 zdxdydzzdxdydz 1 2 0 1 zz DD zdzdxdyzdzdxdy 1 2 22 0 1 (2)zz dzzzdz 12 424 01 11 () 44 zzz 2 于是，得于是，得 優(yōu)質(zhì)教學(xué) 解法解法2：利用柱面坐標(biāo)計(jì)算。利用柱面坐標(biāo)計(jì)算。 在柱面坐標(biāo)下在柱面坐標(biāo)下 2 : 2, 01, 0