無窮級(jí)數(shù)習(xí)題課及練習(xí)題答案PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 無窮級(jí)數(shù)習(xí)題課及練習(xí)題答案無窮級(jí)數(shù)習(xí)題課及練習(xí)題答案 一 重點(diǎn)與難點(diǎn) 1.無窮級(jí)數(shù)及其收斂、發(fā)散的概念； 無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件； 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法及幾何級(jí)數(shù)和 p-級(jí)數(shù)的收斂性； 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法和根值審斂法； 交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨定理，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂和條件收斂的概念和判別方法。 2.理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念； 熟練掌握確定冪級(jí)數(shù)收斂域的方法； 會(huì)求簡單的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)； 3.函數(shù)可展為冪級(jí)數(shù)的充要條件； 第1頁/共25頁 掌握ex,sinx , cosx , ln(1+x) , (1+x) 的麥克勞林展開式 會(huì)用間接法把函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)。 5. 掌握傅

2、立葉級(jí)數(shù)的收斂定理，熟練地把周期為 2 （或2l )的函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)； 掌握函數(shù)延拓思想，會(huì)把0,(或0,l )上的函數(shù) 展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)； 會(huì)用傅立葉級(jí)數(shù)求某些簡單的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。 第2頁/共25頁 ._, _),0( , 3 ._ . _)0( 2 ._ _ 1 12 0 o 1 o 1 o 時(shí)時(shí)它它發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)它它收收斂斂；當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) 叫叫級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 為為若若正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散，其其和和序序列列有有界界 項(xiàng)項(xiàng)和和條條件件是是它它的的前前收收斂斂的的正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 要要條條件件是是定定義義的的。級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂的的必必 收收斂斂還還是是發(fā)發(fā)散散，是是用用級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) aara

3、raraar nuu u n n n n n n n n 充 要 幾何 |r| 1P 1 比較法比值法 根值法積分法 交錯(cuò)級(jí)數(shù) ), 2 , 1( 1 nuu nn . 0lim n n u . u1 un+1 第4頁/共25頁 ._ _,_ 10 _. _ 9 ._ , 1|lim 1lim 8 ._ ._ 7 11 * o * o 1 1 1 o 1 1 o 且且新新級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和為為 ，則則其其乘乘積積是是新新級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，兩兩個(gè)個(gè)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 其其和和 ，且且后后，新新級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)各各項(xiàng)項(xiàng)重重排排 則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 或或者者，若若有有對(duì)對(duì)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 條條件件收收

4、斂斂，是是指指級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂，是是指指級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) n n n n n n n n n n n n n n n n n n vsu u u u u u u u 收斂收斂若若 | 1 n n u , | 1 發(fā)散發(fā)散若若 n n u收斂收斂而而 1 n n u 必定發(fā)散 仍然收斂 不變 )()( 1121122111 vuvuvuvuvuvu nnn s . . . . 第5頁/共25頁 ._ _)(2) _;_ _._ _)1( 0 0 0 收收斂斂區(qū)區(qū)間間的的方方法法是是求求冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 是是求求它它的的收收斂斂區(qū)區(qū)間間的的方方法法 收收斂斂半半徑徑的的方方法法是是求求冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)

5、n n n n n n xxa xa ,lim 1 n n n a a 求求 . 先求出 R, 令 y = xx0, , 0 n n ny a的收斂區(qū)間的收斂區(qū)間 . ; 1 , 0 R當(dāng)當(dāng) 先考慮 再換回 x 的收斂區(qū)間。 . 0 , R 當(dāng)當(dāng); , 0 R 當(dāng)當(dāng) :R再再推推得得 . . . . 再考慮端點(diǎn)x=R處的斂散性. 第6頁/共25頁 導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則在在該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)具具有有任任意意階階在在設(shè)設(shè) 0 )(xxf . 2 0 0 000 0 0 0 )( !2 )( )()()( ! )( xx xf xxxfxfxx n xf n n n 稱稱 )( : )(

6、的的泰泰勒勒公公式式中中的的余余項(xiàng)項(xiàng)件件是是可可展展為為冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的充充要要條條xfxf ).( 0)( nxRn 0 0 時(shí)時(shí)，稱稱當(dāng)當(dāng) x ! )0( !2 )0( )0()0( )( 2 n n x n f x f xff 0 ! )0( n n n x n f n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( 為函數(shù) f (x)的泰勒級(jí)數(shù)。 為函數(shù) f (x)的麥克勞林級(jí)數(shù)。 第7頁/共25頁 ),( x 1 , 1( x )1 , 1( x 1 12 1 )!12( )1( n n n n x )!12( )1( ! 5! 3 12153 n xxx x nn 0 2 )!2

7、( )1( n n n n x )!2( )1( ! 4! 2 1 242 n xxx n n 1 1 )1( n n n n x n xxx x n n 1 32 )1( 32 n n x n n 1 ! )1( )2)(1( 1 n x n n xx ! )1( )1( ! 2 )1( 1 2 . 0 ! n n n x ! ! 2 1 2 n xx x n ),( x x e xsin xcos )ln(1x )1(x ),( x . . . . 第8頁/共25頁 ._ _,_ ,_ )( , (3) n n b a xf 其其中中系系數(shù)數(shù) 是是： 的的傅傅氏氏級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的形形式式上上滿

8、滿足足狄狄氏氏條條件件的的函函數(shù)數(shù)在在 條條件件。 展展為為傅傅氏氏級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的上上滿滿足足狄狄氏氏條條件件是是它它可可在在 上上滿滿足足狄狄氏氏條條件件是是指指在在 _ ,)( (2) ._ _,)( )1( xf xf f (x): 1o. 連續(xù)或只 有 有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；2o. 至多有有限個(gè)極值點(diǎn)。 充 分 1 0 )sincos( 2 n nn nxbnxa a . ) , 2 , 1 , 0( dcos)( 1 nxnxxf ), 2 , 1 ( dsin)( 1 nxnxxf . . 第9頁/共25頁 ._ ,_ _,_ )( , )4( n n b a xfll 其其中中系系數(shù)

9、數(shù) 的的形形式式是是： 的的傅傅氏氏級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)上上滿滿足足狄狄氏氏條條件件的的函函數(shù)數(shù)在在 ._ ._ )( , 0 )5( n b xf 其其中中系系數(shù)數(shù) 的的正正弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的形形式式是是：上上函函數(shù)數(shù)在在 1 0 ) sin cos( 2 n nn l xn b l xn a a ) , 2 , 1 , 0( d cos)( 1 nx l xn xf l l l ) , 2 , 1 ( d sin)( 1 nx l xn xf l l l . . . 1 sin n n nxb ) , 2 , 1 ( dsin)( 2 0 nxnxxf . . 第10頁/共25頁 ._ )( , 0 (

10、8) ._ )( , 0 )7( ._ )( , 0 (6) n n n a xfl b xfl a xf 其其中中系系數(shù)數(shù) 的的余余弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的形形式式是是：上上函函數(shù)數(shù)在在 其其中中系系數(shù)數(shù) 的的正正弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的形形式式是是：上上函函數(shù)數(shù)在在 其其中中系系數(shù)數(shù) 的的余余弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的形形式式是是：函函數(shù)數(shù)在在 1 0 cos 2 n n nxa a ) , 2 , 1 , 0( dcos)( 2 0 nxnxxf 1 sin n n l xn b) , 2 , 1 ( d sin)( 2 0 nx l xn xf l l 1 0 cos 2 n n l xn a a ) , 2

11、, 1 , 0( d cos)( 2 0 nx l xn xf l l . . . . . . 第11頁/共25頁 答：如果僅要求在有限區(qū)間內(nèi)把非奇函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)， 是可以的。 例如： . ) , 0()(上上展展開開成成正正弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在把把xf ),( 0( 新新函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)補(bǔ)補(bǔ)充充函函數(shù)數(shù)的的定定義義，使使，可可以以在在 這就是奇延拓。 把F(x)按周期2延拓后展成正弦級(jí)數(shù) . sin 1 n n nxb 則當(dāng) x(0, )時(shí)，這就是 f (x)的正弦級(jí)數(shù)。 . . 采用奇延拓的方法。 . 0 ),( 0 , 0 0 ),( )( xxf x xxf xF 即即：成成奇奇函函數(shù)

12、數(shù) . (9) 奇函數(shù)以外的函數(shù)可以展開成正弦級(jí)數(shù)嗎？ 第12頁/共25頁 ）（收斂收斂則則收斂收斂若若 ）（收斂收斂可以可以則則發(fā)散發(fā)散發(fā)散發(fā)散若若 ）（發(fā)散發(fā)散則則發(fā)散發(fā)散收斂，收斂，若若 ）（收斂收斂收斂，則收斂，則若若 ）（收斂收斂收斂，則收斂，則若若 ）（收斂收斂，則級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù)若若 ）（收斂，則收斂，則若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) ., 7 . )( , , 6 .)( , 5 .| 4 .| 3 .0lim 2 . 0lim 1 1 2 1 o 111 o 111 o 11 o 11 o 1 o 1 o n n n n n nn n n n n n nn n n n n n n n n n n

13、n n n nn n n n n n uu vuvu vuvu uu uu uu uu （是：；非：, 后者請(qǐng)舉反例.） 1 1 1 )1( n n n . 例： 練習(xí)題解答 第13頁/共25頁 ）（，則此級(jí)數(shù)收斂，則此級(jí)數(shù)收斂滿足滿足若正項(xiàng)級(jí)數(shù)若正項(xiàng)級(jí)數(shù) ）（收斂收斂絕對(duì)絕對(duì)則則收斂收斂收斂收斂若若 ）（且和不變且和不變收斂收斂則則收斂收斂若若 ）（收斂收斂 ）（收斂收斂必必則則發(fā)散，發(fā)散，若若 ）（必發(fā)散必發(fā)散則則收斂收斂若若 ）（收斂收斂則則收斂收斂若若 .1 14 ., , 13 ., , 12 . )0001. 0 1 ( 11 . 1 10 . 1 , 9 ., 8 1 1 o 1

14、1 2 1 2o 101 o 1 2 o 11 o 11 o 11 2o n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n u u u baba uu n u u u u uu 例： 1 1 n n 1 1 1 n n u u n n . 第14頁/共25頁 1 ),(. , ,)( 3 xsxxxf函函數(shù)數(shù)為為若若它它的的付付立立葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和 _,) 2 5 ( s則則._) 3( s 2 ._)6( _,) 2 7 ( ),( 20)( 21 , 1 10 , )( ssxs xf x xx xf 則則為為 弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的

15、的和和函函數(shù)數(shù)的的余余，在在設(shè)設(shè)， 8 2 . 0 . 2 1 1 . (正) ) 2 1 ( (0) . 二、填空題 第15頁/共25頁 1 ).0( 1 1 1 a a n n 的斂散性的斂散性判斷級(jí)數(shù)判斷級(jí)數(shù) :1 a當(dāng)當(dāng), 1 1 1 nn aa 收斂，收斂，因級(jí)數(shù)因級(jí)數(shù) 1 1 n n a . 原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂 :1 a當(dāng)當(dāng) :1 a當(dāng)當(dāng) . 0 2 1 11 1 limlim n n n u. 原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散 . 01 1 1 limlim n n n n a u. 原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散 . . . . . . 解： 第16頁/共25頁 . 1)sin( 1 2 的斂散性

16、的斂散性判斷級(jí)數(shù)判斷級(jí)數(shù) nn n n , 1)sin( 22 nn n 因因?yàn)闉?收斂，收斂，而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù) 1 2 1 n n . )sin( 1 2 絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂 n n n 發(fā)散，發(fā)散，而而 1 1 nn . 原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散 . 解： 三 計(jì)算題 第17頁/共25頁 . ) ! 1 ( 1 n o n n n 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 用用級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)理理論論證證明明： ，考慮級(jí)數(shù)考慮級(jí)數(shù) ! 1 n n n n n n n n u ! !)1( ! )1( limlim 1 1 n n n n u u n n n n n n n n n n ) 1 (lim 由比值法： . ! 1 收收斂斂

17、級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) n n n n 由收斂的必要條件： 0lim n n u 0 ! lim n n n n 即即： . . . . 1 e 1 解： . ) ! 1 ( 1 n o n n n 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 第18頁/共25頁 . tan)1( )1( ), 2 , 0( . ) , 2 , 1( 0 1 2 1 1 的斂散性的斂散性級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 判斷判斷常數(shù)常數(shù)收斂收斂，且，且設(shè)設(shè) n n n n n n n nn a n nu ana 收斂，收斂，級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 1 n n a. 1 2 收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) n n a n n a u n n n n tanlimlim 2 因因?yàn)闉?. 1 2 1 同同收收

18、斂斂與與級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) n n n n au . )1( 1 收斂收斂絕對(duì)絕對(duì)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) n n n u . .解： .) ( 2 的子列的子列項(xiàng)和序列項(xiàng)和序列是前者前是前者前項(xiàng)和序列項(xiàng)和序列后者前后者前 nm snsm . （為什么？） 第19頁/共25頁 . 2 1 1 數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域，并并求求其其和和函函求求級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) n n n n x , 2 1 lim 1 n n n a a R = 2解： 發(fā)散，發(fā)散，時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 12 1 2 n n x. 2 )1( 2 1 1 收斂收斂時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) n n n x ).2 , 2 x收收斂斂域域： 1 1 2 )( n n n n x

19、xS設(shè)設(shè) 1 2 1 n n n n x x ) 2 1ln( 1x x 0 x 0 2 1 0 ) 2 1ln( 1 )( x x x x xS . . 展開式4 = （由原級(jí)數(shù)知.） 第20頁/共25頁 . 1 )( )2( )( (1) 6 34 )( 2 處處的的泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在的的麥麥克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)； ，試試求求：設(shè)設(shè) xxfxf xx x xf 解： . . 2 1 3 3 )( xx xf 2 1 1 2 1 3 1 1 )( )1( xx xf 0 1 0 2 ) 3 ( n n n n n xx n n n n x 0 1 2 1 ) 3 1 ( )2 , 0( x

20、 . 1)1( 1 )1(4 3 )( )2( xx xf )1(1 1 )1( 4 1 1 1 4 3 x x 00 )1()1() 4 1 ( 4 3 n n n nn xx n n n n x)1(1 4 )1(3 0 1 )2 , 2( x . . . . 第21頁/共25頁 解： . ! )1)(1( )!1( 11 的和的和的和函數(shù)，并求的和函數(shù)，并求求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) nn n n nn n nx , 0 1 limlim 1 na a n n n n . R 1 )!1( )S( n n n nx x 0 1 ! )1( n n n xn 0 ! )1( n n n xn x 0 1 ! n n n x x )e( x xx e )1( x xx 1 ! )1)(1( n n