南京航空航天大學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)課后習(xí)題答案

1、第一章彈性力學(xué)基礎(chǔ)（習(xí)題解答）1-1上端懸掛、下端自由的等厚度薄板，其厚度為 重作用下的位移分量表達(dá)式。0可得,解：如圖1-1建立坐標(biāo)系.又因?yàn)閁 1( x EUy)-(I X)積分得又由對稱性yf2(X)U1xyyfl (y)2E uy綜上所述有利用X沿y方向均勻分布及X方向的力平衡條件（方法二：只分析出，再求應(yīng)力函數(shù)，然后求其他。1-2寫出圖1-2所示平面問題的應(yīng)力邊界條件。I x解：上表面為力邊界，X 0尸“m=1 代入1 q, 1=,中得到上表面的邊界條件為下表面為自由邊，邊界條件為側(cè)面為位移邊界。-3矩形板厚為1。試用應(yīng)力函數(shù)鈿求解。（并畫出面力分布圖）A 2解：應(yīng)力函數(shù)一 xy滿足

2、應(yīng)力函數(shù)表示的變形協(xié)調(diào)方程，可以作為解。在無體力2的情況下，矩形板的應(yīng)力為根據(jù)應(yīng)力邊界條件公式各邊的應(yīng)力邊界為Aad邊：IO,m 1cb 邊：IO,m1X Ay h _ 2 YOAXAy h2Bx2 y Cxy2 Dy3Xx 2Cx 6DyYy 6 Ax 2By y2Bx 2Cy根據(jù)斜邊的邊界條件，當(dāng)yx tan 時(shí)，面力XY 0,XOa b 邊：IYAyX Ax Al c d 邊：I 1,m 0YAy根據(jù)以上各邊的應(yīng)力邊界條件，可凹出矩形板的面力分布圖如圖4如圖4設(shè)三角形懸臂梁只受重力作用、粱容重為1-3a。試用完全二次多項(xiàng)式的應(yīng)力函數(shù)求解其應(yīng)力分雖。解：設(shè)完全三次多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)為Ax3顯然

3、應(yīng)力函數(shù)滿足變形協(xié)調(diào)方程則應(yīng)力分量：xyxy利用邊界條件來確定應(yīng)力函數(shù)中的系數(shù) 根據(jù)上表面的邊界條件，當(dāng)代入（3）、（ 4）得m xyxy其中：代入（5）得sin (2Cx6Dx tancos ( 2Cx tan )(5)(7)cos ( xtan ) sin ( 2Cx tan )0聯(lián)立（6）、（ 7）得到將各系數(shù)代入應(yīng)力分雖表達(dá)式中，得到應(yīng)力各分量為仁5對圖5所示簡支梁，試驗(yàn)證應(yīng)力函數(shù)成立，并求解各系數(shù)和應(yīng)力分量。解：由 Ax3y3 Bxy5 Cx3y Dxy3 Ex3 Fxy可知：應(yīng)力分量：利用邊界條件來確定待定系數(shù)上表面彎矩：聯(lián)立（1）（6）可解得代入U(xiǎn)）式可得各應(yīng)力分量6圖6所示懸臂

4、梁受自重作用，試用應(yīng)力函數(shù)Ax2y Bxy Cy3求解。并將所得應(yīng)力分量與材料力學(xué)的結(jié)果進(jìn)行比較。解：應(yīng)力函數(shù)必須滿足變形協(xié)調(diào)條件，滿足 即 將應(yīng)力函數(shù)代入上式，得因?yàn)锽5D0應(yīng)力分量利用邊界條件確定待定系數(shù)當(dāng)y h時(shí)，2得到322A Bh202A -Bh2 -42聯(lián)立方程（1）、（2）、（3）可解得在待定系數(shù)中，c還沒有求出?，F(xiàn)根據(jù)x0截面上的條件來求C值;（x） xo 0應(yīng)用圣維南原理得因?yàn)楸环e函數(shù)是y的奇次函數(shù)，積分必恒等于零，此積分等式一定成立。此外，尚需滿足即得到將各個(gè)系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得材料力學(xué)的解答：設(shè)載荷q h，故在某一截面上的彎矩為剪力為由此得y 0（假設(shè)纖維間不存在擠

5、壓）,1h2 2hy 7QS2 41x14y2JbP下12現(xiàn)將彈性力學(xué)的解答化為下列形式以便于材料力學(xué)解答進(jìn)行比較:jy20Th2（與材料力學(xué)解不同）2yi4y2h2（與材料力學(xué)解不同）（與材料力學(xué)解一致）Jb仁7用圖1-7所示45應(yīng)變花測得300 10 & 試求：500 106800 106(D（2）1和J及主方向解：（1）根據(jù)材料力學(xué)公式將4 5，X，y，45的值帶入上式。可得（2）主應(yīng)變的計(jì)算公式可得2270 10 6利用公式 則得到56.6，233.48如圖，已知平面圓環(huán)的應(yīng)力為r0,A10, r亙一試檢查這組2r2應(yīng)力存在的可能性。并闡明其邊界條件。（體力不計(jì)）fd）rf2()解：方

6、法（一）0,因?yàn)?r) ra 0, ( r ) ra 0(2)11 2fi( ) f; () f; ()02r r2r2rr由-(-)rr1f2()A121 1r2rA于是可得f. )(a si nbcosf2()c2即(asinbcos)rA2C；（a,b,c為任意常數(shù)）將代入變形協(xié)調(diào)方程檢驗(yàn)可知滿足變形協(xié)調(diào)條件。A1因此為r 0,邊界條件為：ra時(shí)，-8題方法（二）將0,0,中檢驗(yàn)成立；由物理方程可得，將代入變形協(xié)調(diào)方程0, r2可以存在2r0,0,rA12-7代入平衡方程A12 a2中檢驗(yàn)，顯然成立，因此這組應(yīng)力可以存在。邊界條件為：r a時(shí)，r 0,0,r2 a21-9試證明在極坐標(biāo)中

7、變形協(xié)調(diào)方程為證明：因?yàn)閁r1 _U11-10內(nèi)半徑為a、外半徑為b的厚壁圓筒。受壓力Pa作用。試求內(nèi)半徑和外半徑的尺寸變化以及筒壁厚度尺寸變化解：參照課本35頁“承受均布壓力的偉壁圓筒”的求解則可得1-11試確定壓配合兩圓環(huán)內(nèi)的應(yīng)力。a 10cm,b 15cm,c 20cm，在配合前22乜h電222b a r22bgi a_222bar(1)Ur宀2a2)(a2 r2 ),u外圓環(huán)僅受內(nèi)壓力，根據(jù)公式外圓環(huán)的應(yīng)力及位移為b2q 1r cAv 122 bqi _ 222 c b rUrb2qEr(& b2)t(r222C ) (C r), u接觸壓力使內(nèi)圓環(huán)半徑減少了1,而使外圓環(huán)半徑増大了2

8、，根據(jù)位移協(xié)解：內(nèi)圓環(huán)僅受外壓力，設(shè)外壓力為q，根據(jù)公式內(nèi)圓環(huán)的應(yīng)力及位移為調(diào)條件有將rb分別代入(2)、( 4)得到將1,2代入(5)得到取 E2.1 106kg/cm2，得因此內(nèi)圓環(huán)內(nèi)表面的切向正應(yīng)力為外圓環(huán)外表面的切向正應(yīng)力為1-12如圖1-12 矩形薄板受純剪，剪力集度為q，在板中心處有一小圓孔，試求孔邊 的最大正應(yīng)力的值和位置。解：在純剪切的矩形板中，與邊界成45方向的切面矩形板的邊界上受有集度為q的拉力或壓力，如圖1-12a所示。以人為起始軸取新的坐標(biāo)如圖仁12b所示。設(shè)小圓孔的半徑為a,并以半徑b (ba) 作一個(gè)同心圓，在圓周上任一點(diǎn)處，其應(yīng)力狀態(tài)與板內(nèi)無孔時(shí)相同：按照應(yīng)力從直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換式，可得到孔邊的應(yīng)力邊界條件(r) rbqcOS2 , ( r) rb c)Sin2(1)由(1) (2)式可知，是r的函數(shù)再乘以as?，可設(shè)應(yīng)函數(shù)為f (r)cos 2將（3）式代入變形協(xié)調(diào)方程可確定f （r） 逬而可求出應(yīng)力表達(dá)式利用邊界條件（1）式、（2）(Ar4 Br2C 2)cos 2r4C 6D cr(2B24 )cos2rr(12Ar2QD 6D ZD2r 2C 6D、.24rr式，并且令a/b得到0,B-2小2,C qa ,D4 翌2(4)(5)(6)將（6）式代入（5）式，得到應(yīng)力分量2 12 a3 -2 )cos 2 r a(7