12應(yīng)用舉例(一)學(xué)案（人教A版必修5）

1、1.2應(yīng)用舉例(一)課時(shí)目標(biāo)1了解數(shù)學(xué)建模的思想；2利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)踐中的有關(guān)距離的問(wèn)題1基線的定義：在測(cè)量上，我們根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線一般來(lái)說(shuō)，基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高2方位角：指從正北方向線按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角如圖中的A點(diǎn)的方位角為.3計(jì)算不可直接測(cè)量的兩點(diǎn)間的距離是正弦定理和余弦定理的重要應(yīng)用之一一、選擇題1若點(diǎn)P在點(diǎn)Q的北偏西4510方向上，則點(diǎn)Q在點(diǎn)P的()A南偏西4510 B南偏西4450C南偏東4510 D南偏東4450答案C2已知兩燈塔A和B與海洋觀測(cè)站C的距離都等于a km，燈塔A在觀測(cè)站C的北偏東20方向上，燈塔B在觀測(cè)站C的南

2、偏東40方向上，則燈塔A與燈塔B的距離為()Aa km B.a kmC.a km D2a km答案B解析ACB120，ACBCa，由余弦定理得ABa.3海上有A、B兩個(gè)小島相距10 n mile，從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75的視角，則B、C間的距離是()A10 n mile B. n mileC5 n mile D5 n mile答案D解析在ABC中，C180607545.由正弦定理得：解得BC5.4如圖所示，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在A所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105后，就可以計(jì)算A、B兩點(diǎn)的距離為()

3、A50 m B50 mC25 m D. m答案A解析由題意知ABC30，由正弦定理，AB50 (m)5如圖，一貨輪航行到M處，測(cè)得燈塔S在貨輪的北偏東15，與燈塔S相距20海里，隨后貨輪按北偏西30的方向航行30分鐘后到達(dá)N處，又測(cè)得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為()A20() 海里/小時(shí)B20() 海里/小時(shí)C20() 海里/小時(shí)D20() 海里/小時(shí)答案B解析由題意，SMN45，SNM105，NSM30.由正弦定理得.MN10()則v貨20() 海里/小時(shí)6甲船在島B的正南A處，AB10千米，甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60的方向

4、駛?cè)ギ?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是()A. 分鐘 B. 小時(shí)C21.5 分鐘 D2.15 分鐘答案A解析設(shè)行駛x小時(shí)后甲到點(diǎn)C，乙到點(diǎn)D，兩船相距y km，則DBC18060120.y2(104x)2(6x)22(104x)6xcos 12028x220x10028(x2x)100282100當(dāng)x(小時(shí))(分鐘)時(shí)，y2有最小值y最小二、填空題7如圖，A、B兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)答案38如圖，A、N兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)答案409如圖所示，為了測(cè)定河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A、B，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測(cè)得CAB30，CBA75，AB120 m，則河的寬度為_(kāi)答案60 m解析在ABC中，CAB30

5、，CBA75，ACB75.ACBABC.ACAB120 m.作CDAB，垂足為D，則CD即為河的寬度由正弦定理得，CD60(m)河的寬度為60 m.10太湖中有一小島，沿太湖有一條正南方向的公路，一輛汽車(chē)測(cè)得小島在公路的南偏西15的方向上，汽車(chē)行駛1 km后，又測(cè)得小島在南偏西75的方向上，則小島到公路的距離是_ km.答案解析如圖，CAB15，CBA18075105，ACB1801051560，AB1 km.由正弦定理得BCsin 15 (km)設(shè)C到直線AB的距離為d，則dBCsin 75 (km)三、解答題11如圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75，距離為12 n mile，在A處

6、看燈塔C在貨輪的北偏西30，距離為8 n mile，貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在北偏東120方向上，求： (1)A處與D處的距離；(2)燈塔C與D處的距離解(1)在ABD中，ADB60，B45，由正弦定理得AD24(n mile)(2)在ADC中，由余弦定理得CD2AD2AC22ADACcos 30，解得CD814(n mile)即A處與D處的距離為24 n mile，燈塔C與D處的距離約為14 n mile.12如圖，為測(cè)量河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)的距離，在河的這邊測(cè)出CD的長(zhǎng)為km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A、B兩點(diǎn)間的距離解在BDC中，CBD1803010545

7、，由正弦定理得，則BC(km)在ACD中，CAD180606060，ACD為正三角形ACCD(km)在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 452，AB(km)答河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)間距離為km.能力提升13臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的持續(xù)時(shí)間為()A0.5小時(shí) B1小時(shí)C1.5小時(shí) D2小時(shí)答案B解析設(shè)t小時(shí)時(shí)，B市恰好處于危險(xiǎn)區(qū)，則由余弦定理得：(20t)2402220t40cos 45302.化簡(jiǎn)得：4t28t70，t1t22，t1t2.從而|t1t2|1.14如圖

8、所示，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里？解如圖所示，連結(jié)A1B2，由已知A2B210，A1A23010，A1A2A2B2，又A1A2B218012060，A1A2B2是等邊三角形，A1B2A1A210.由已知，A1B120，B1A1B21056045，在A1B2B1中，由余弦定理，B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200.B1B210.因此，乙船速度的大小為6030(海里/小時(shí))答乙船每