lecture4 假設(shè)檢驗(yàn)

1、第四章第四章 多元正態(tài)分布均值向量多元正態(tài)分布均值向量 和協(xié)方差陣的檢驗(yàn)和協(xié)方差陣的檢驗(yàn) 北京交通大學(xué) 李衛(wèi)東 多元正態(tài)分布均值向量和協(xié)方差陣的 檢驗(yàn) n總體均值向量的檢驗(yàn) n協(xié)方差陣的檢驗(yàn) n多個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn) 總體均值向量的推斷 設(shè) 是取自多元正態(tài)總體的一個(gè)樣本， 這里，現(xiàn)欲檢驗(yàn) , 12n x xx 0100 :HH 若協(xié)方差陣已知，服從自由度為p的卡方分布, 用卡方檢驗(yàn)， 。 ) 1,()()( 2 0 1 2 0 npTnTxx 0 若協(xié)方差陣未知，用T2檢驗(yàn)。 單個(gè)總體均值向量的推斷單個(gè)總體均值向量的推斷 例子 例4-1 企業(yè)市場(chǎng)結(jié)構(gòu)研究 在企業(yè)市場(chǎng)結(jié)構(gòu)研究中，起關(guān)鍵作用的指標(biāo)

2、有 市場(chǎng)份額X1，企業(yè)規(guī)模（資產(chǎn)凈值總額的自然對(duì)數(shù)） X2，資本收益率X3，總收益增長(zhǎng)率X4。為了研究市 場(chǎng)結(jié)構(gòu)的變動(dòng)，夏菲爾德（Shepherd,1972）抽取 了美國(guó)231個(gè)大型企業(yè)，調(diào)查了這些企業(yè)1960-1969 年的資料。假設(shè)以前企業(yè)市場(chǎng)結(jié)構(gòu)指標(biāo)的均值向量 為，而該次調(diào)查所得到的企業(yè)市場(chǎng)結(jié)構(gòu)指標(biāo)的均值 向量和協(xié)方差矩陣。試問企業(yè)市場(chǎng)結(jié)構(gòu)是否發(fā)生了 變化？ 例子 例4-2 探索新的診斷技術(shù) 對(duì)20名健康女性的汗水進(jìn)行測(cè)量和化驗(yàn)， 數(shù)據(jù)列在表4-1中。其中，X1=排汗量，X2= 汗水中鈉的含量，X3=汗水中鉀的含量，為 了探索新的診斷技術(shù)，需要檢驗(yàn)假設(shè)H 0： =（4，50，10）對(duì)H1

3、：（4，50， 10），取顯著性水平=0.10。 兩個(gè)總體均值向量的檢驗(yàn) 協(xié)方差陣相等的情形協(xié)方差陣相等的情形 一、兩個(gè)獨(dú)立樣本的情形一、兩個(gè)獨(dú)立樣本的情形 與一元隨機(jī)變量的情形相同，常常我們需要檢驗(yàn)兩個(gè) 總體的均值是否相等。 設(shè)從總體 ，中各自獨(dú)立地抽取樣 本 和 ， 。 1 (, ) p N 和 2 (, ) p N 1 12 ( ,) n x xxx 2 12 (,) n y yyy 0 考慮假設(shè) 012 :H 112 :H 若兩總體有共同已知協(xié)差陣, 在H0成立時(shí),檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 若兩總體協(xié)差陣相等且未知時(shí), )()()( 21 21 21 2 0 pYXYX nn nn T 根據(jù)兩個(gè)樣

4、本可得1和2的無偏估計(jì)量為 1 1 1 1 n i n i xx 2 1 2 1 n i n i yy 12112212 2(1)(1)(2, ) p nnnnW nn p SSS又 12 12 , p nn N nn XY0 其中 1 1 1 (1)()() n i i n 1i Sxx xx 2 22 1 (1)()() n i i n i Syy yy 22 11 ,() p N nn XY0 1 22 12 12 12 ()() ( ,2) n n TTp nn nn 1 p xy Sxy統(tǒng)計(jì)量 當(dāng)原假設(shè)為真的條件下， 2 12 12 12 1 ( ,1) (2) nnp FTF p

5、nnp p nn 檢驗(yàn)的規(guī)則為： 2 12 12 12 1 ( ,1), (2) nnp TFp nnp p nn 拒絕原假設(shè)； 2 12 12 12 1 ( ,1), (2) nnp TFp nnp p nn 接受原假設(shè)； 例子 例4-3 為了研究日、美兩國(guó)在華投資企業(yè)對(duì) 中國(guó)經(jīng)營(yíng)環(huán)境的評(píng)價(jià)是否存在差異，今從兩國(guó) 在華投資企業(yè)中各抽出10家，讓其對(duì)中國(guó)的政 治、經(jīng)濟(jì)、法律、文化等環(huán)境進(jìn)行打分。問日、 美兩國(guó)在華投資企業(yè)對(duì)中國(guó)經(jīng)營(yíng)環(huán)境的評(píng)價(jià)是 否存在顯著差異。 協(xié)方差陣不等的情形 兩正態(tài)總體均值與標(biāo)準(zhǔn)差均未知時(shí)的均值差 的統(tǒng)計(jì)推斷問題，稱為貝倫斯-費(fèi)希爾問題 (Behrens-Fisher p

6、roblem)。 21 TnzS z 21 ()()Tn xy Sxy 協(xié)方差陣的檢驗(yàn) n總體協(xié)方差陣是否等于已知 常數(shù)矩陣的檢驗(yàn) n總體協(xié)方差陣是否等于已知 常數(shù)矩陣倍數(shù)的檢驗(yàn) 協(xié)方差陣的檢驗(yàn) n總體協(xié)方差陣是否等于已知 常數(shù)矩陣的檢驗(yàn) 0010 :,:HH 2 2 11 100 1 exp 2 np ne AtrA n 協(xié)方差陣的檢驗(yàn) n總體協(xié)方差陣是否等于已知 常數(shù)矩陣倍數(shù)的檢驗(yàn) 22 0010 :,:HH 2 1 0 22 1 0 ()/ n np A trAp 多總體均值比較 單因素方差分析 n問題的提出 n統(tǒng)計(jì)的模型及檢驗(yàn)方法 n多重比較檢驗(yàn) 問題的提出 某工廠實(shí)行早、中、晚三班工

7、作制。工廠管理部門 想了解不同班次工人勞動(dòng)效率是否存在明顯的差異。每個(gè) 班次隨機(jī)抽出了7個(gè)工人，得工人的勞動(dòng)效率（件/班）資 料如表。分析不同班次工人的勞動(dòng)效率是否有顯著性差異。 a=0.05，0.01。 早班中班晚班 344939 374740 355142 334839 335041 355142 365140 為什么各值 會(huì)有差異？可能的原因有兩個(gè)。 一是，各個(gè)班次工人的勞動(dòng)效率可能有差異， 從而導(dǎo)致了不同水平下的觀察值之間差異，即存 在條件誤差。 二是，隨機(jī)誤差的存在。 如何衡量?jī)煞N原因所引起的觀察值的差異? 總平均勞動(dòng)效率為： k i n ij ij nyy i 1 / )( 571

8、.41 21 40423734 三個(gè)班次工人的平均勞動(dòng)效率分別為： 714.34 1 y571.49 2 y429.40 3 y 總離差平方和SST k i n j ij i yy 11 2 )( 222 )571.4140()571.4137)571.4134( 1429.835201211n自由度： 組間離差平方和(條件誤差)SSA k i ii yyn 1 2 )( 22 )571.41571.49(7)571.41714.34(7 2 )571.41429.40(7286.786 組內(nèi)離差平方和（隨機(jī)誤差）SSe k i n j iij i yy 11 2 )( 22 )714.343

9、6()714.3434( 22 )571.4151()571.4149( 857.38)429.4040()429.4039( 22 18321kn自由度 統(tǒng)計(jì)量F kn SS k SS eA 1 118.182 18 857.38 2 286.786 把計(jì)算的F值與臨界值比較， 當(dāng)F F時(shí)，拒絕原假設(shè)，不同水平下的效應(yīng)有 顯著性差異；當(dāng)F F 時(shí)，接受原假設(shè)。 k i ii yyn 1 2 )( 1k 1k SS A kn SS k SS eA 1 k i n j iij i yy 11 2 )(kn kn SSe k i n j ij i yy 11 2 )( 1n 方 差 來 源 離差平

10、方和自由度方差F值 組間A 組內(nèi)E 總和 查F分布表得臨界值 因?yàn)?故應(yīng)拒絕原 假設(shè)，即不同班次工人的勞動(dòng)效率有顯著的差異。 554. 3)18, 2( 05. 0 F013. 6)18, 2( 01. 0 F 013. 6)18, 2(118.182 01. 0 FF 方差分析：比較3個(gè)或3個(gè)以上的總體均值是 否有顯著性差異。用組間的方差與組內(nèi)方差相比 ，據(jù)以判別誤差主要源于組間的方差（不同組工 人的產(chǎn)量，條件誤差），還是源于組內(nèi)方差（隨 機(jī)誤差）。 多個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn) n多總體均值向量的檢驗(yàn) n多元方差分析的基本假設(shè)有： n第一，因變量之間需要一定程度的線性相關(guān)。因變量 必須是定量變量

11、。 n第二，各樣本組的樣本規(guī)模應(yīng)盡量大一些，且各組的 樣本規(guī)模應(yīng)盡量相近。 n第三，各因變量為多元正態(tài)分布且方差相等。 建立原假設(shè)和備擇假設(shè)如下： n 不全相等 n記來自第r個(gè)總體的第i個(gè)樣品的觀測(cè)向量 為 ，記來自該總體的樣本的容量為 ， 總的樣本容量為n，即， n記各個(gè)樣本的均值向量和全部樣本的總 均值向量為： 0121 :,: ki HH ( ) ( ) r i x ()() ( ) 1 1 ,1, 2, r n rr i i r xxrk n r n 1 k r r nn ( ) ( ) 11 1 r n k r i ri xx n 全部樣本的總叉積矩陣T及其分解式可表示 為： n定義

12、各個(gè)樣本叉積矩陣之和為A，各樣本均值向量之間 的叉積矩陣為B，則A，B可表示為： ( )( ) ( )( ) 11 ( )( )( )( )( )( ) ( )( ) 111 ()() ()()()() r r n k rr ii ri n kk rrrrrr iir rir Txxxx xxxxn xxxx ( )( )( )( ) ( )( ) 111 ()() r n kk rrrr rii rri AAxxxx ( )( ) 1 ()() k rr r r Bn xxxx 從而有，T=A+B n在此基礎(chǔ)上，可構(gòu)造出統(tǒng)計(jì)量 為： AA TAB 當(dāng)原假設(shè)為真的情況下，所考察的k個(gè)具有相同協(xié)

13、差陣 的正態(tài)總體 實(shí)際上為同一正態(tài)總體。由于各個(gè)樣本是從各 總體中分別獨(dú)立抽取的，所以各個(gè)樣本必然都相互獨(dú)立。因 此，根據(jù)維希特分布的定義，有： 1 ( , ), ,( , ) ppk NN (1, ),(, ),(1, ) ppp TWnAWnkBWk 且A與B是相互獨(dú)立的。 根據(jù)維爾克斯分布的定義，可知上述檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 服從維爾克斯分布，即有： n在給定的顯著性水平 之下，由維爾克 斯分布 ，可得到原假設(shè)H0的拒絕域?yàn)椤?( ,1) A p nk k AB ( ,1)p nk k 對(duì)不同工作崗位的員工情況進(jìn)行分析： 經(jīng)理文書辦事員 M Mu ul lt ti iv va ar ri ia a

14、t te e T Te es st ts s b b .9141252.959a4.000470.000.000 .0861252.959a4.000470.000.000 10.6631252.959a4.000470.000.000 10.6631252.959a4.000470.000.000 Pillais Trace Wilks Lambda Hotellings Trace Roys Largest Root Effect jobcat ValueFHypothesis dfError dfSig. Exact statistic a. Design: jobcat b. Test

15、s of Between-Subjects EffectsTests of Between-Subjects Effects 74610.126a174610.1262261.511.000 6.343E+011b16.343E+0114606.429.000 1.498E+011c11.498E+0114222.374.000 2401414.445d12401414.4451485.170.000 74610.126174610.1262261.511.000 6.343E+01116.343E+0114606.429.000 1.498E+01111.498E+0114222.374.0

16、00 2401414.44512401414.4451485.170.000 15604.87447332.991 6.513E+010473137705918.9 1.678E+01047335470288.15 764807.5554731616.929 90215.000474 6.995E+011474 1.665E+011474 3166222.000474 Dependent Variable Educational Level (years) Current Salary Beginning Salary Months since Hire Educational Level (

17、years) Current Salary Beginning Salary Months since Hire Educational Level (years) Current Salary Beginning Salary Months since Hire Educational Level (years) Current Salary Beginning Salary Months since Hire Source Model jobcat Error Total Type III Sum of SquaresdfMean SquareFSig. R Squared = .827

18、(Adjusted R Squared = .827) a. R Squared = .907 (Adjusted R Squared = .907) b. R Squared = .899 (Adjusted R Squared = .899) c. R Squared = .758 (Adjusted R Squared = .758) d. 多總體協(xié)方差陣相等的檢驗(yàn) n假設(shè)有k個(gè)多元正態(tài)總體，它們的分布分別 為 。現(xiàn)從每個(gè)總體中分別隨機(jī)抽 取了一個(gè)樣本，要根據(jù)這些樣本，對(duì)于這些總 體的協(xié)方差陣是否相同進(jìn)行檢驗(yàn)。 n首先，列出原假設(shè)和備擇假設(shè)。它們分別為： n n 11 (,),(,) p

19、pkk NN 01 : k H 1 : i H 不全相等 其次，為構(gòu)造出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，記來自第r個(gè) 總體的第i個(gè)樣品的觀測(cè)向量為 n記來自該總體的樣本的容量為 ，總的 樣本容量為n，即 ，記各個(gè)樣本的 均值向量為： n定義各個(gè)樣本叉積矩陣和全部樣本叉積 矩陣的總和為： ( ) ( ) r i x r n 1 k r r nn ( )( ) ( ) 1 1 ,1,2, r n rr i i r xxrk n ( )( )( )( ) ( )( ) 1 ()() r n rrrr rii i Axxxx ( )( )( )( ) ( )( ) 111 ()() r n kk rrrr rii rri

20、 AAxxxx 使用似然比方法，可構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為： n根據(jù)無偏性的要求，巴特萊特（Bartlett） 建議將 的 換成 ，從而n變?yōu)閚-k。 對(duì)變化后的 取對(duì)數(shù)，可得一個(gè)近似的檢 驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為： 2 2 1 3 2 2 1 r r k n np r r k n n p r r nA nA 3 r n1 r n 3 3 1 2ln()ln(1)ln 1 k r r r r AA nkn nkn 多總體互協(xié)方差陣的檢驗(yàn) n首先將這些觀測(cè)指標(biāo)向量合并組成一個(gè)長(zhǎng)向量，然后 將此長(zhǎng)向量按原各觀測(cè)指標(biāo)向量進(jìn)行分塊，并將此長(zhǎng) 向量的均值向量和協(xié)方差陣也進(jìn)行相應(yīng)的分塊，則各 觀測(cè)指標(biāo)向量之間的互協(xié)方差陣的檢驗(yàn)轉(zhuǎn)化為對(duì)此長(zhǎng) 向量的協(xié)差矩陣非對(duì)角線各塊互協(xié)差矩陣的檢驗(yàn)。假 設(shè)原觀測(cè)指標(biāo)向量的個(gè)數(shù)為k，它們所組成的長(zhǎng)向量的 維數(shù)為p，記此長(zhǎng)向量為 12 (,) p XXXX n則可將此長(zhǎng)向量按原各個(gè)觀測(cè)指標(biāo)向量剖分為k塊，并 對(duì)此向量的均值向量和協(xié)方差陣也進(jìn)行同樣的剖分， 使其成為： (1) 111211 (2) 212222 3 ( ) 124 , k k p k kkkk X X XN X 檢驗(yàn)原k個(gè)觀測(cè)指標(biāo)向量之間的互協(xié)方差陣是否為零，就是要檢 驗(yàn)如下的假設(shè)： 0 :0, ,1,2, ij Hij i jk 若