三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

1、三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用目錄摘要：1關(guān)鍵詞：11引言11.1三角函數(shù)起源22三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)22.1下列是關(guān)于三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式32.2兩角和、差的正弦、余弦、正切公式42.3二倍角的正弦、余弦、正切公式53.三角函數(shù)與生活53.1火箭飛升問題53.2電纜鋪設(shè)問題63.3救生員營(yíng)救問題63.4足球射門問題73.5食品包裝問題83.6營(yíng)救區(qū)域規(guī)劃問題83.7住宅問題93.8最值問題104 總結(jié)11AbstractTrigonometric function in the course of historical development of continuous improvement, h

2、as formula, rich thoughts, flexible, permeability is strong and so on。 The characteristic is not only an important part of scientific research, or in mathematics learning to key and difficult. In a word it in teaching and other fields has important role. In this paper, we will make a brief discussio

3、n about the application of trigonometric functions in solving practical problems.Keywords：mathematics trigonometric function Application of trigonometric function 摘要：三角函數(shù)在歷史的發(fā)展過(guò)程中不斷完善，具有公式多、思想豐富、變化靈活、滲透性強(qiáng)等特點(diǎn)，不僅是科學(xué)研究的重要組成部分，還是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得重點(diǎn)難點(diǎn)，總之它在教學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用。本文將對(duì)一些關(guān)于三角函數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用做簡(jiǎn)單的討論。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 三角函數(shù) 三角

4、函數(shù)的應(yīng)用1引言三角函數(shù)是高中學(xué)習(xí)的一類基本的、重要的函數(shù)，他是描述客觀世界中周期性變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)知識(shí)之一，有著廣泛的實(shí)際背景和應(yīng)用空間三角函數(shù)包括三角函數(shù)的概念及關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、正弦型函數(shù)的圖象及應(yīng)用、三角恒等變換、解三角形它不但在生活中的很多方面都有很廣的應(yīng)用，如：潮汐和港口水深、氣象方面有氣溫的變化，天文學(xué)方面有白晝時(shí)間的變化，地理學(xué)方面有潮汐變化，物理方面有各種振動(dòng)波，生理方面有人的情緒、智力、體力等測(cè)量山高測(cè)量樹高,確定航海行程問題,確定光照及房屋建造合理性等。在數(shù)學(xué)的很多問題研究方面都有著廣泛的應(yīng)用。三角函數(shù)是對(duì)函數(shù)概念的

5、深化，也是溝通代數(shù)，幾何，與平面向量等的一種工具。其中三角函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用也頗為廣泛。1.1三角函數(shù)起源“三角學(xué)”，來(lái)自拉丁文 ?，F(xiàn)代三角學(xué)一詞最初見於希臘文。最先使用這個(gè)詞的是皮蒂斯楚斯，他在1595年出版一本著作三角學(xué):解三角學(xué)的簡(jiǎn)明處理，創(chuàng)造了這個(gè)新詞。它是由(三角學(xué))及(測(cè)量)兩字構(gòu)成的，原意為三角形的測(cè)量，或者說(shuō)解三角形。當(dāng)時(shí)三角學(xué)還沒有形成一門獨(dú)立的科學(xué)，而是依附于天文學(xué)。因此解三角形構(gòu)成了古代三角學(xué)的實(shí)用基礎(chǔ)。后來(lái)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家專門的整理和研究三角學(xué)，但是他們并沒有創(chuàng)立起一門獨(dú)立的三角學(xué)。最后是德國(guó)數(shù)學(xué)家雷基奧蒙坦納斯，真正把三角學(xué)作為數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立學(xué)科進(jìn)行闡釋?！罢呛瘮?shù)包含于

6、最早被稱為三角學(xué)，“三角學(xué)”一詞來(lái)自拉丁文Trigonometry ，原意是三角形。與其他科學(xué)一樣，三角學(xué)也是解決實(shí)際問題中發(fā)展起來(lái)的。近代三角學(xué)是從歐拉的無(wú)窮分析引論開始的。歐拉用小寫的拉丁字母a、b、c表示三角形的三邊，進(jìn)一步簡(jiǎn)化了三角公式。歐拉還引用sinz、cosz、tanz等表示z角的三角函數(shù)的簡(jiǎn)寫符號(hào)，這是三角函數(shù)的現(xiàn)代形式。 由于上述數(shù)學(xué)家及19世紀(jì)許多數(shù)學(xué)家的努力，形成了現(xiàn)代的三角函數(shù)符號(hào)與手拿教學(xué)的完整理論。2三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)在直角三角形ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊，C為直角。則定義以下運(yùn)算方式： sin A=A的對(duì)邊長(zhǎng)/斜邊長(zhǎng)，sin A記為A的正弦；sin

7、 Aa/c cos A=A的鄰邊長(zhǎng)/斜邊長(zhǎng)，cos A記為A的余弦；cos Ab/c tan A=A的對(duì)邊長(zhǎng)/A的鄰邊長(zhǎng)， tan Asin A/cos Aa/ b tan A記為A的正切； 當(dāng)A為銳角時(shí)sin A、cos A、tan A統(tǒng)稱為“銳角三角函數(shù)”。 Sin Acos B sin Bcos A 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，從點(diǎn)O引出一條射線OP，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，設(shè)OP=r，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)。 該直角三角形中，對(duì)邊為y 臨邊為x 斜邊為r，運(yùn)算方法見表一表1基本函數(shù)英文表達(dá)式語(yǔ)言描述正弦函數(shù)Sinesin =y/r角的對(duì)邊比斜邊余弦函數(shù)Cosinecos =x/r角的鄰邊比斜邊 正切

8、函數(shù)Tangenttan =y/x角的對(duì)邊比鄰邊余切函數(shù)Cotangentcot =x/y角的鄰邊比對(duì)邊正割函數(shù)Secantsec =r/x角的斜邊比鄰邊余割函數(shù)Cosecantcsc =r/y角的斜邊比對(duì)邊2.1下列是關(guān)于三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一：P（x，y），直線OP的反向延長(zhǎng)線OE交圓O于F點(diǎn)，則F點(diǎn)的坐標(biāo)為F(x, y)由此可得到下列公式：公式二：公式三：公式四： 公式五：由于 ，由公式四及公式五可得：公式六： 公式五、公式六可以概括如下： 的正弦（余弦）函數(shù)值，分別等于 的余弦（正弦）函數(shù)值，前面加上一個(gè)把 看成銳角的符號(hào)。2.2兩角和、差的正弦、余弦、正切公式 2.3二倍角的正弦、

9、余弦、正切公式 3.三角函數(shù)與生活實(shí)際生活中，三角函數(shù)可以用來(lái)模擬很多周期現(xiàn)象，如物理中簡(jiǎn)諧振動(dòng)、生活中的潮汐現(xiàn)象，都可以建立三角函數(shù)的模型利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題；很多最值問題也可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來(lái)解決，房地產(chǎn)、航海、測(cè)量、國(guó)防中都能找到三角函數(shù)的影子。因而三角函數(shù)解決實(shí)際問題應(yīng)用極廣，解決實(shí)際問題有一定的優(yōu)越地位。3.1火箭飛升問題一枚運(yùn)載火箭從地面處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)點(diǎn)時(shí)，從地面處的雷達(dá)站測(cè)得的距離是，仰角是后，火箭到達(dá)點(diǎn)，此時(shí)測(cè)得的距離是，仰角為。（1） 火箭到達(dá)點(diǎn)時(shí)距離發(fā)射點(diǎn)有多遠(yuǎn)？ （2）火箭從點(diǎn)到點(diǎn)的平均速度是多少？ 解：（1）在中，（km） 火箭到達(dá)點(diǎn)時(shí)距發(fā)射點(diǎn)約 （2）

10、在中， （3） 答：火箭從點(diǎn)到點(diǎn)的平均速度約為3.2電纜鋪設(shè)問題ACDB如圖，一條河寬a 千米，兩岸各有一座城市的直線距離是b 千米，今需鋪設(shè)一條電纜連與，已知地下電纜的修建費(fèi)是c萬(wàn)元/千米，水下電纜的修建費(fèi)是d萬(wàn)元/千米，假定河岸是平行的直線（沒有彎曲），問應(yīng)如何鋪設(shè)方可使總施工費(fèi)用達(dá)到最少？分析：設(shè)電纜為時(shí)費(fèi)用最少，因?yàn)楹訉挒槎ㄖ?，為了表示的長(zhǎng)，不妨設(shè)解：設(shè)， 總費(fèi)用為=問題轉(zhuǎn)化為求的最小值及相應(yīng)的值，而表示點(diǎn)與點(diǎn)斜率-ac倍，有圖可得在單位圓周上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線與圓弧切于點(diǎn)時(shí)，u取到最小值。然后通過(guò)三角函數(shù)的邊角關(guān)系求出直線的斜率，再求出此時(shí)的最小值u即可，可以根據(jù)實(shí)際問題帶入求值。3.3救

11、生員營(yíng)救問題ABCD如圖，某邊防巡邏隊(duì)在一個(gè)海濱浴場(chǎng)岸邊的點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)海中的點(diǎn)有人求救，便立即派三名救生員前去營(yíng)救1號(hào)救生員從點(diǎn)直接跳入海中；2號(hào)救生員沿岸邊（岸邊看成是直線）向前跑到點(diǎn)，再跳入海中；3號(hào)救生員沿岸邊向前跑300米到離點(diǎn)最近的點(diǎn)，再跳入海中救生員在岸上跑的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒若，三名救生員同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，請(qǐng)說(shuō)明誰(shuí)先到達(dá)營(yíng)救地點(diǎn)解：（1）在中， 在中， 1號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為（秒）， 2號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為（秒）， 3號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為（秒） ，號(hào)救生員先到達(dá)營(yíng)救地點(diǎn)3.4足球射門問題GEPCFBAD在訓(xùn)練課上，教練問左前鋒，若你得球

12、后，沿平行于邊線的直線助攻到前場(chǎng)（如圖，設(shè)球門寬米，球門柱到的距離米），那么你推進(jìn)到距底線多少米時(shí)，為射門的最佳位置？（即射門角最大時(shí)為射門的最佳位置）？請(qǐng)你幫助左前鋒回答上述問題。分析：此題關(guān)鍵在于求解射門時(shí)最大射門角，此時(shí)就是最佳位置。若直接在非特殊中利用邊來(lái)求的最值，顯得比較繁瑣，注意到，而后兩者都在中，故可應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)求解。 解：如圖，設(shè)，, , =。若令，則=，當(dāng),即時(shí)，取到最小值，從而可知時(shí)，取得最大值，即時(shí)，有最大值。故當(dāng)點(diǎn)距底線為米時(shí)，為射門的最佳位置。依圖像知，在白天的915時(shí)這個(gè)時(shí)間段可供沖浪愛好者進(jìn)行沖浪運(yùn)動(dòng)。3.5食品包裝問題某糖果廠為了拓寬其產(chǎn)品的銷售市場(chǎng)，決

13、定對(duì)一種半徑為的糖果的外層包裝進(jìn)行設(shè)計(jì)。問能否設(shè)計(jì)出一個(gè)封閉的圓錐形狀的外包裝，其體積最小和所用材料達(dá)到最省？如果能，如何設(shè)計(jì)這個(gè)圓錐的底面半徑和高？此時(shí)所用的外包裝體積是多少？用料是多少？分析：要求該圓錐的全面積和體積，需要知道它的下底面半徑、母線及高，這些變量之間的關(guān)系可以通過(guò)一個(gè)“角”把它們聯(lián)系起來(lái)。PABCO解：如圖，設(shè)OAC=，則OC=1，下底面半徑AC=R=cot,母線長(zhǎng)l=，高h(yuǎn)=Rtan2，（0，）。則=Rl+R2=R(+R)=R2(+1) =cot2(+1)=; V=R2h=R2 Rtg2=R3tg2=ctg3=當(dāng)且僅當(dāng)tg2=1tg2,即tg=時(shí)，能使和V同時(shí)取到最小值，此

14、時(shí)R=，h=2，即當(dāng)圓錐的下底面半徑和高分別為、2時(shí)能同時(shí)滿足條件，外包裝用料是8，體積是。3.6營(yíng)救區(qū)域規(guī)劃問題如圖，在南北方向直線延伸的湖岸上有一港口，一機(jī)艇以千米/小時(shí)的速度從出發(fā)，分鐘后因故障而停在湖里，已知機(jī)艇出發(fā)后先按直線前進(jìn)，以后又改成正東，但不知最初的方向和何時(shí)改變方向。如何去營(yíng)救，用圖示表示營(yíng)救的區(qū)域。分析：要表示出一個(gè)區(qū)域，一般可在直角坐標(biāo)系中表示，所以應(yīng)首先建立直角坐標(biāo)系；題中涉及到方向問題，所以不妨用方向角作為變量來(lái)求解。解：以A為原點(diǎn)，過(guò)A的南北方向直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)機(jī)艇的最初航向的方位角為，設(shè)OP方向前進(jìn)m到達(dá)點(diǎn)P，然后向東前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)Q發(fā)生故障而拋錨

15、。則,令點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x,y），則 0，。機(jī)艇中途東拐，。又x+y=m(sin+cos)+n=msin(+)+nm+n=30,x+y30 滿足不等式組和的點(diǎn)Q（x,y）所在的區(qū)域，按對(duì)稱性知上圖陰影區(qū)域所示。3.7住宅問題在某小區(qū)內(nèi)，有一塊地，這塊地有這樣三種情況：（1）是半徑為10米的半圓；（2）是半徑為10米，圓心角為的扇形；（3）是半徑為10米，圓心角為的扇形；在這塊地里種塊矩形的草皮，具體見下圖，應(yīng)如何設(shè)計(jì)，使得此面積最大？面積的最大值是多少。分析：第一種情況，如圖所示：連結(jié)，設(shè)，則， ADBFECO這時(shí) 此時(shí)，點(diǎn)A、D分別位于點(diǎn)O的左右方處時(shí)S取得最大值100。ADBFECO分析2：

16、第二種情況，連結(jié)，設(shè)，則， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，ADBECO分析3：如圖所示：連結(jié)OB,設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，3.8最值問題如圖，是一塊邊長(zhǎng)為的正方形地皮， 其中 是一半徑為的扇形小山，其余部分都是平地。一開發(fā)商想在平地上建一個(gè)，使矩形的一個(gè)頂點(diǎn)P在弧上，相鄰兩邊落在正方形的邊上，求矩形停車場(chǎng)面積的最大值和最小值。解：設(shè), ,延長(zhǎng)RP交AB于M，易得PQ=MB=ABAM=10090，RP=RMPM=10090，從而令 ，則，故當(dāng)時(shí)，有最小值；當(dāng)時(shí)，有最大值涉及到角與邊之間的相互關(guān)系，可以用邊為變量建立函數(shù)關(guān)系，求解過(guò)程一般可以利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，如正弦、余弦定理、數(shù)形結(jié)合、三角函數(shù)的有界性、基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等。4 總結(jié)三角函數(shù)的發(fā)展已經(jīng)趨于完善，雖然一些不常用的函數(shù)接近舍棄，但其余的三角函數(shù)仍然在實(shí)際生活中發(fā)揮著重要的作用。國(guó)防、鐵路建設(shè)、房地產(chǎn)建設(shè)、競(jìng)技比賽以及安全問題上都可以廣泛應(yīng)用，極大地方便了我們的日常生活。參考文獻(xiàn)1史彩