線性代數(shù)newPPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 線性代數(shù)線性代數(shù)new 第一章 行列式 行列式是為了求解線性方程組而引 入的，但在線性代數(shù)和其它數(shù)學(xué)領(lǐng)域以及 工程技術(shù)中，行列式是一個(gè)很重要的工具 。 第1頁/共42頁 第2頁/共42頁 二階行列式與三階行列式 注： 該定義稱之為對(duì)角線法則。 1112 11 2212 21 2122 131112 11 22 3312 23 3113 21 32 232122 13 22 3112 21 3311 23 32 313233 aa a aa a aa aaa a a aa a aa a a aaa a a aa a aa a a aaa 第3頁/共42頁 n 第4頁/共42頁 一、定義

2、 11121 21222 12 . . . . n n nnnn aaa aaa aaa 12 12 ( 1).(1) n ppnp aaa 設(shè)有 n2 個(gè)數(shù)，排成 n 行 n 列的數(shù)表 作出表中位于不同行不同列的n個(gè)元素的乘積，并冠以符號(hào)(-1)，得形如 的項(xiàng)，其中p1p2pn為自然數(shù)1、2、n的一個(gè) 第5頁/共42頁 排列，為這個(gè)排列的逆序數(shù)。由于這樣的排列共有 n! 個(gè)，因而形如(1)式的項(xiàng)共有 n! 項(xiàng)。所有這 n! 項(xiàng)的代數(shù)和 12 12 12 12 12 . 11121 21222 12 . 12 ( 1). . . ( 1). . . . . n n n n ppnp p pp

3、n n ppnp p pp nnnn aaa n aaa aaa Daaa aaa 稱為階行列式，記作 第6頁/共42頁 其中 p1 p2 pn是1 n 的任一排列， 是排列p1 p2 pn的逆序數(shù)，即 = ( p1 p2 pn )。 二、幾個(gè)特殊的行列式 det()det() ijijij aaa簡(jiǎn)記為。數(shù)稱為行列式的元素. 第7頁/共42頁 12 ( .)( ,1,.,2,1) 12.(2)(1) (1) 2 n p ppn n nn n n 1 2 12 1 (1) 22 12 0 . 0 0. 0 . . . . . 0 0 . ) 0 . 0 0 .0 ( 1). . . . . .

4、 0 0 n n nn n n 1)主對(duì)角行列式 2 次對(duì)角行列式 1. 1. 對(duì)對(duì)角角行行列列式式 第8頁/共42頁 11 2122 1122 12 11121 222 1122 0 . 0 . 0 . . . . . . 0. . . . . 00 . nn nnnn n n nn nn a aa a aa aaa aaa aa a aa a 1) 下三角行列式 2) 上三角行列式 2.2.三三角角行行列列式式 第9頁/共42頁 1,11,11, (1) 2,12,1 2 1,2,1, ,1 1, (1) 2,12, 2 1,2,1, ,1,1, . .0 ( 1). . . 000 0

5、.0 0 . ( 1). . . . nn n n n nnn n n n n n nn nnn n nn nn n aaa aa a aa a a aa a aa aaa 3) 次上三角行列式 4) 次下三角行列式 第10頁/共42頁 第11頁/共42頁 在 n 階行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行 第 j 列劃去后，留下來的 n-1 階行列式叫做元 素 aij 余子式，記作 Mij；記 Aij = (-1)i+j Mij， Aij 叫做元素 aij 的代數(shù)余子式。 一、余子式與代數(shù)余子式 1,11,11,1,11, 1,11,11,1,11, ,1,1,1, 1,11,11,1,1

6、1 ,1,1, . . . . . . . jjjn iijijijin ii ji ji ji n iijijijin nn jn j aaaaa aaaaa aaaaaD aaaaa aaa ,1, . n jn n aa 第12頁/共42頁 1,11,11,11, 1,11,11,11, 1,11,11,11, ,1,1,1, 1,11,11,1 . . . . . . . ( 1)( 1) jjn iijijin ij iijijin nn jn jn n jj ijij ijij aaaa aaaa M aaaa aaaa aaa AM 1, 1,11,11,11, 1,11,11,

7、11, ,1,1,1, . . . . . . n iijijin iijijin nn jn jn n a aaaa aaaa aaaa 第13頁/共42頁 第二章 矩陣及其運(yùn)算 矩陣是線性代數(shù)的一個(gè)主要研究對(duì)象， 也是數(shù)學(xué)上的一個(gè)重要工具。矩陣的應(yīng)用已經(jīng) 滲透到了包括自然科學(xué)、人文科學(xué)、社會(huì)科學(xué) 在內(nèi)的各個(gè)領(lǐng)域。在矩陣?yán)碚撝校仃嚨倪\(yùn)算 起著重要的作用。 第14頁/共42頁 第15頁/共42頁 1.定義定義 由mn個(gè)數(shù)aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的m行n列的數(shù)表 稱m行n列矩陣，簡(jiǎn)稱mn矩陣。記作 一、概念： 11121 21222 12 . . . . n n mmmn

8、aaa aaa aaa 11121 21222 12 . . . . n n mmmn aaa aaa aaa A 第16頁/共42頁 這 mn 個(gè)數(shù)稱為矩陣 A 的元素，簡(jiǎn)稱為元，數(shù) aij 位于矩陣 A 的第 i 行第 j 列，稱為矩陣 A的 ( i,j )元。以數(shù) aij 為(i,j)元的矩陣可簡(jiǎn)記作 (aij) 或 (aij)mn，mn 矩陣 A也記作A mn。 元素是實(shí)數(shù)的矩陣，稱為實(shí)矩陣；元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣。 行數(shù)與列數(shù)都等于 n 的矩陣稱之為 n 階方陣，記作 An。 第17頁/共42頁 2. 矩陣的轉(zhuǎn)置：矩陣的轉(zhuǎn)置：把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的一個(gè)新矩陣，叫做

9、A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT。 如果 A是一個(gè) mn 階矩陣，那么 AT 就是一個(gè) nm 階矩陣。且 A 的行一定就是 AT中同序數(shù)的列 T 14 123 25 456 36 AA TTTTT TTTTT (1)() (2)() (3)() (4)() AAABAB AAABB A 第18頁/共42頁 第19頁/共42頁 設(shè)對(duì)于 n 階方陣 A，若存在 n 階方陣 B 使得 A B = B A = E 恒成立，則稱矩陣 A 可逆；B 稱為 A 的逆矩陣，記為 A1 = B 。 1.若矩陣 A可逆，則 A的逆矩陣是唯一的。 一、可逆矩陣的定義 二、可逆矩陣的判斷 第20頁/共42頁 2.若| A|0，

10、則 A可逆，且 1* 11211 11121 * 12222 21222 12 12 1 . . . . . . . n n n n nnnn nnnn ijij aaa aaa aaa a 其中是矩陣的元素 的代數(shù)余子式 A A A A A A A A A A A A A A A A。 第21頁/共42頁 1 * 1* 1 2 3 4 0 1 2 3 . 0 0 1 2 0 0 0 1 12 10 0 12 1 1 0 012 0 001 12 10 10 12 1 0 012 0 001 例設(shè)，求： 解：， 所以 AA AA AA A 第22頁/共42頁 第三章矩陣的初等變換 本章通過引進(jìn)

11、矩陣的初等變換，建立 矩陣的秩的概念，然后再利用矩陣的初 等變換求矩陣的逆矩陣和解線性方程組. 第23頁/共42頁 第24頁/共42頁 在mn階矩陣A中，任取k行與k列(km，k n)，位于這些行列交叉點(diǎn)處的k2個(gè)元素，不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式。 mn階矩陣A中的k階子式共有 個(gè)。 設(shè)在矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式D，且所有r1階子式(如果存在的話)全等于0，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣的秩。記作R(A)。同時(shí)規(guī)定，零矩陣的秩等于0。 kk mn CC 第25頁/共42頁 由行列式性質(zhì)可知，在 A中當(dāng)所有r1階子式全等于零時(shí)，所

12、有高于r1階的子式也全等于零，因此 A的秩 R(A)就是 A中不等于零的子式的最高階數(shù)。 由矩陣秩的定義可知，矩陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣的秩是相等的。 第26頁/共42頁 由行列式性質(zhì)可知，在 A中當(dāng)所有r1階子式全等于零時(shí)，所有高于r1階的子式也全等于零，因此 A的秩 R(A)就是 A中不等于零的子式的最高階數(shù)。 求矩陣的秩的一種常用辦法：對(duì)待求秩的矩陣進(jìn)行行的初等變換化為行階梯矩陣，那么非零行的行數(shù)就是矩陣的秩。 第27頁/共42頁 12 24 34 14 24 343 2443 2 3 3 214 16 2 1 8 3 71 0320 23 0 75036 35 32 5 8 0024 20 1

13、 0 3 2 00 121 7 1 0 3 201 0 3 2 0 0 1 21 70 1 21 7 0 0 0 0 140 0 0 0 0 16 rr rr rr rr rr rrr rrrr 解： 0 0 0 1 0 0 0 0 0 R( )3 A 2 1 8 3 7 23 0 75 1.A 32 5 8 0 1 0 3 2 0 A例 設(shè) ，求矩陣 的秩 第28頁/共42頁 第四章 相似矩陣 本章通過矩陣的特征值、特征向 量以及相似矩陣的概念，進(jìn)而找出對(duì)稱 矩陣可對(duì)角化的條件。 第29頁/共42頁 第30頁/共42頁 . 1 . (1) ( ) 2 nn nn 0 A xA xx A xA

14、 AE x AE 定義 設(shè)是階矩陣，如果有和維非 零列向量使關(guān)系式（） 成立，那么稱實(shí)數(shù) 為方陣的特征值，非零 向量稱為 的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量 式也可寫成（ ） 即是個(gè)未知量個(gè)方程的齊次線性方程組。 它有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式 0 (3) 第31頁/共42頁 1 2 1 2 ( ) . () ,., (i) . ijn n n f n n na A AE AA A A 上式是以為未知量的一元次方程，稱為 方陣的特征方程。 其左端是的次多項(xiàng)式，記 為，稱為方陣的特征多項(xiàng)式。顯然， 的特征值就是特征方程的解。階矩陣在復(fù) 數(shù)范圍內(nèi)有個(gè)特征值 設(shè)階矩陣的特征值為， 由多項(xiàng)式根與系數(shù)的關(guān)系

15、，易得 1122 1 2 . (ii) . nnn n aaa A 第32頁/共42頁 ()0 , ( .) i i ii iii ii A AE x xppA p p 設(shè)是方陣的一個(gè)特征值，則由方程 可求得非零解那么便是的對(duì)應(yīng)于 特征值的特征向量 若是實(shí)數(shù)，則可取 實(shí)向量；若是復(fù)數(shù)，則是復(fù)向量 。 第33頁/共42頁 2 2 12 1 1 2 31 . . 1 3 31 (3)1 86 13 (4)(2) 2 4 2 321 1 32 x x 例1A A A 求的特征值和特征向量 解：的特征多項(xiàng)式為 所以的特征值為 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足 1 2 1 2 00 00 xx xx 即 第3

16、4頁/共42頁 12 T 1 1 2 2 1 12 2 T 2 (1,1) 3410 4 1 340 1 10 0 00 ( 1,1) xx x x x xx x p p 解得，所以對(duì)應(yīng)的特征向量可取為 當(dāng)時(shí)，由 即，解得 所以對(duì)應(yīng)的特征向量可取為 (0) . ii ii kk pA p 顯然，若是方陣 的對(duì)應(yīng)于特征值 的特 征向量，則也是對(duì)應(yīng)于的特征 向量 第35頁/共42頁 2 1 2 3 1 1 1 0 .4 3 0 . 1 0 2 110 430(2)(1) 102 2 1 2 (2)0 例2A A AE A AE x 求矩陣的特征值和特征向量 解：的特征多項(xiàng)式為 所以的特征值為 當(dāng)時(shí)

17、，解方程即： 第36頁/共42頁 11 1 3 1 01 0 0 24 1 0 0 1 0 1 0 00 0 0 0 0 (0) 1 2 kk AE pp得基礎(chǔ)解系，所以是 對(duì)應(yīng)于的全部特征向量。 第37頁/共42頁 11 1 3 1 01 0 0 24 1 0 0 1 0 1 0 00 0 0 0 0 (0) 1 2 kk AE pp得基礎(chǔ)解系，所以是 對(duì)應(yīng)于的全部特征向量。 第38頁/共42頁 2 2 1 2 3 2 1 1 .0 2 0 . 4 1 3 211 020 413 21 (2)(2)(2) 43 (1)(2) 1 2 例3 求矩的特征值和特征向量 解： 所以的特征值 A AE A n n 第39頁/共42