線代矩陣的特征值和特征向量PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1 線代矩陣的特征值和特征向量線代矩陣的特征值和特征向量 特征值：0)det()(AIP A 的根 為矩陣A的特征值 特征向量：滿足Avv i 的向量v為矩陣A的對于特征值 的特征向量 i )( A P稱為矩陣A的特征多項式 是高次的多項式，它的求根是很困難的。沒有數(shù)值方法是通過求它的根)( A P 來求矩陣的特征值。通常對某個特征值，可以用些針對性的方法來求其近似值。若要 求所有的特征值，則可以對A做一系列的相似變換，“收斂”到對角陣或上（下）三角陣， 從而求得所有特征值的近似。 第1頁/共30頁 7.1 冪法冪法 矩陣的按模最大特征值往往表現(xiàn)為閾值。如：矩陣的譜半徑。冪法就是一種 求

2、矩陣按模最大特征值的方法，它是最經(jīng)典的方法。 冪法要求A有完備的特征向量系。即A有n個線性無關(guān)的特征向量。在 實踐中，常遇到的實對稱矩陣和特征值互不相同的矩陣就具有這種性質(zhì)。設(shè)A的 特征值和特征向量如下： n n vvv 21 21 特征值： 特征向量： 冪法可以求 11 v ，基本思想很簡單。 第2頁/共30頁 設(shè) n 1ii v線性無關(guān)，取初值 )0( x，作迭代 )0(1)()1( xAAxx kkk 設(shè)： nnv avavax 2211 )0( n k nn kk n k n kk nn kk vavava vAavAavAa vavavaAx 222111 2211 2211 )(

3、)( 則有： 第3頁/共30頁 （1）若： n 21 n k n n k k k vavavax 1 2 1 2 2111 )( 0 1 a則k足夠大時，有 111 )( vax k k 11 1 1 )1( vax k k 可見 )1()( , kk xx幾乎僅差一個常數(shù) 1 )( 1 )()1( 1 / k kk xv xx 所以： 任意分量相除 特征向量乘以任意數(shù)，仍是特征向量 第4頁/共30頁 （2）若： 21321 , n n k n n kk k vavavax 1 22111 )( 1 22111 )( 1 vavax kk k 則k足夠大時，有 2 1 )12()12( 2 1

4、 )2()22( / / kk kk xx xx 所以： )( 1 )1( 2 )( 1 )1( 1 kk kk xxv xxv 所以： 第5頁/共30頁 這樣，我們有算法： 1、給出初值，計算序列 )()1(kk Axx 2、若序列表現(xiàn)為，相鄰兩個向量各個分量比趨向于常數(shù)，則 )( 1 )()1( 1 / k kk xv xx 3、若序列表現(xiàn)為，奇偶序列各個分量比趨向于常數(shù)，則 )()2( 1 / kk xx )( 1 )1( 2 )( 1 )1( 1 kk kk xxv xxv 4、若序列表現(xiàn)為其他，退出不管 第6頁/共30頁 求矩陣A的按模最大的特征值 解解 取x(0)=(1,0)T ,

5、計算x(k)=Ax(k-1), 結(jié)果如下 6 1 5 1 5 1 4 1 A kx1(k)x2(k)x1(k)/x1(k-1)x2(k)/x2(k-1) 010 10.250.2 20.102500.0833330.410.41665 30.0422920.0343890.412600.41267 40.0174510.0141900.412630.41263 可取0.41263 ,x1 (0.017451,0.014190)T . 第7頁/共30頁 n k n n k k k vavavax 1 2 1 2 2111 )( 在冪法中，我們構(gòu)造的序列 可以看出 1 , 1 , 0 , 1 1)

6、( k xk 因此，若序列收斂慢的話，可能造成計算的溢出或歸0 第8頁/共30頁 改進(jìn)冪法的規(guī)范運算改進(jìn)冪法的規(guī)范運算 )1()1()1( )()1( / kkk kk xxy Ayx 則，易知： 1 / )1( )0()()0()()()( k kkkkk y xxyAxAyy )0()0()( /yAyAy kkk 所以，有： 最大分量為1 第9頁/共30頁 n k n n k k n k n n k k k vavava vavava y 1 2 1 2 2111 1 2 1 2 2111 )( 即 （1）若： n 21 0 , 0 , 1 1 1 1 1 1 )( v v v v y

7、k 第10頁/共30頁 )0()0(1)()1( /yAyAAyx kkkk n k n n k k n k n n k k k vavava vavava x 1 2 1 2 2111 1 1 2 1 1 2 211 1 1 )1( n k n n k k n k n n k k k vavava vavava x 1 2 1 2 2111 1 1 2 1 1 2 211 1 1 )1( 第11頁/共30頁 1 111 11 1 1 )1( va va x k k k 0 1 時，有 )( 1 )1( 1 k k yv x 0 1 時，有 )( 1 )1( 1 k k yv x )(k y

8、收斂 )12()2( , kk yy 分別收斂反號的兩個數(shù) 第12頁/共30頁 （2）若： 21321 , n n k n n kk n k n n kk k vavava vavava y 1 22111 1 22111 )( 1 1 )12()2( , kk yy 分別收斂到兩個數(shù)，且絕對值不同。 第13頁/共30頁 (1)() (2)(1) mm mm xAy xAx 求： 則： (2)() 1 / mm xy (1)() 11 (1)() 21 mm mm vxy vxy 第14頁/共30頁 這樣，我們有算法： 1、給出初值，計算序列 )(k y 2、若序列收斂，則 (1)( ) 11

9、 , kk xvy 3、若序列的奇偶序列分別收斂，且兩個數(shù)絕對值相同，則 (1)( ) 11 , kk xvy 4、若序列的奇偶序列分別收斂，且兩個數(shù)絕對值不同，則 (2)() 1 / mm xy (1)() 11 (1)() 21 mm mm vxy vxy )1()2( )()1( mm mm Axx Ayx 第15頁/共30頁 ( )(1) 1 1 1 k n kkk i ii i xAxv 決定收斂的速度，特別決定收斂的速度，特別 是是 | 2 / 1 | 希望希望 | 2 / 1 | 越小越好越小越好 。 不妨設(shè)不妨設(shè) 1 2 n ，且，且 | 2 | | n |。 1 2 n Op

10、 = ( 2 + n ) / 2 思思 路路 令令 B = A pI ，則有，則有 | I A | = | I (B+pI) | = | ( p)I B | A p = B 。而而 ，所以求，所以求B的特征根的特征根 收斂快。收斂快。 | | | | 1 2 1 2 p p 第16頁/共30頁 反冪法反冪法 vvAvAv 1 1 所以，A和A1的特征值互為倒數(shù) n n A A 21 1 21 : : 1 ii 這樣，求A1的按模最大特征值，就可以求出A的按模最小特征值 )1()1()1( )(1)1( / kkk kk xxy yAx 為避免求逆的運算，可以解線性方程組 )()1(kk yAx

11、 第17頁/共30頁 若知道某一特征根若知道某一特征根 i 的大致位置的大致位置 p ，即對任意，即對任意 j i 有有| i p | | j p | ，并且如果，并且如果 (A pI) 1存在，存在， 則可以用反冪法求則可以用反冪法求(A pI) 1的主特征根的主特征根 1/( i p ) ， 收斂將非?？?。收斂將非?？?。 思思 路路 第18頁/共30頁 7.1 Jacobi方法對稱陣方法對稱陣 P為n階可逆陣，則A與P 1AP相似，相似陣有相同的特征值。 若A對稱，則存在正交陣Q(QTQ=I)，使得 n T AQQ 2 1 直接找Q不大可能。我們可以構(gòu)造一系列特殊形式的正交陣Q1,.,Qn

12、對A作正交變換 使得對角元素比重逐次增加，非對角元變小。當(dāng)非對角元已經(jīng)小得無足輕重時，可以近似 認(rèn)為對角元就是A的所有特征值。Jacobi方法就是這樣一類方法。 第19頁/共30頁 1、Givens旋轉(zhuǎn)變換 對稱陣),(qpQ為正交陣 1 cossin sincos 1 ),( qpQ p列q列 第20頁/共30頁 記： )(),(),( , )( ij T ij bqpAQqpQBaA 則： 2sin 2 2cos 2sincossin 2sinsincos ,cossin ,sincos 22 22 qqpp pqqppq pqqqpppp pqqqpppp qipiqiiq qipipi

13、ip aa abb aaab aaab qpiaabb qpiaabb 變換的目的是為了減少非對角元的分量，則 02sin 2 2cos qqpp pqqppq aa abb 第21頁/共30頁 tan, 2 t a aa s pq ppqq 記 則 1 , 0 012 , 0 2 s tsts t 的按模較小根 所以： d t t c t 2 2 1 sin 1 1 cos 第22頁/共30頁 0 , , qppq pqqqpp pqpppp qipiqiiq qipipiip bb taab taab qpicadabb qpidacabb 第23頁/共30頁 2、Jacobi迭代 取p,

14、q使 ij ji pq aa max ，則 ),(),( )()1( qpQAqpQA kTk 定理：若A對稱，則 , 1 )1( n k diagA 第24頁/共30頁 解解 記 A A(0)=A,A,取p=1,q=2,apq(0)=a12(0)=2,于是有 例例 用Jacobi 方法計算對稱矩陣的全部特征值. 612 152 224 A 25. 0 2 )0( 12 )0( 22 )0( 11 a aa 780776. 0)1|/(|)sgn(, 2 t 788206. 0)1 (cos 2 1 2 t 615412. 0cossin,t 從而有 第25頁/共30頁 所以 再取p=2,q=

15、3,apq(1)=a23(1)=2.020190,類似地可得 100 0788206. 0615412. 0 0615412. 0788206. 0 100 0cossin 0sincos )( 1 pq RR (1)(0) 11 2.43844800.961 06.5615522.020190 0.9612.0201906 T AR AR 241166. 40724794. 0 0320386. 8631026. 0 724794. 0631026. 0438448. 2 )2( A 第26頁/共30頁 496424. 4209614. 00 209614. 0320386. 8595192

16、. 0 0595192. 0183185. 2 )3( A 496424. 4208653. 0020048. 0 208653. 0377576. 80 020048. 00125995. 2 )4( A 485239. 40020019. 0 0388761. 8001073. 0 020019. 0001073. 0125995. 2 )5( A 第27頁/共30頁 485401. 4000009. 0001072. 0 000009. 0388761. 80 0001072. 0125825. 2 )6( A 485401. 4000009. 00 000009. 0388761. 80 00125825. 2 )7( A 從而A A的特征值可取為 1 2.125825, 2 8.388761, 3 4.485401 第28頁/共30頁 為了減少搜索非對角線絕對值最大元素時間, 對經(jīng)典的JacobiJacobi方法可作進(jìn)一步改進(jìn) . 1.1.循環(huán)循環(huán)Jaco