對幾節(jié)課的敘述與問題討論

1、對幾節(jié)課的敘述與問題討論 金成梁一、認識負數(shù) “負數(shù)”進入小學(xué)數(shù)學(xué)教材，2001年是第3次?！罢龜?shù)與負數(shù)”的概念，是在認識了“相反意義的量”的基礎(chǔ)上引進的。為了表示相反意義的量，用以往學(xué)習過的一種數(shù)是不夠的。需要另外用某種符號表示兩種相反的意義，用來取代日常生活中使用的形形色色的表示相反意義的詞語。如“零上5”用“+5”表示，“零下5”就用“5”表示。前面添上了正號“+”的數(shù)，如“+5”叫做“正數(shù)”；前面添上了負號“”的數(shù)，如“5”，就叫“負數(shù)”。因此，為了認識正、負數(shù)，形成“正數(shù)”與“負數(shù)”的概念，首先要認識“相反意義的量”。在兩種相反意義的量中，哪一種意義的量用正數(shù)表示？本來可以有不同的選

2、擇。我們可以隨意選擇一種意義的量，并用正數(shù)表示它，那么另一種相反意義的量就用負數(shù)表示，但有習慣用法。如收入和支出，總是用正數(shù)表示收入；盈利和虧損，總是用正數(shù)表示盈利。 “相反方向的量”是“相反意義的量”的一種特例。如第4頁例4，“向東2100米”與“向西2100米”是一對相反方向的量，“向南1500米”與“向北1500米”也是一對相反方向的量。對于每一對相反方向的量，我們都可以用正數(shù)表示其中一個方向的量，和它方向相反的量則可用負數(shù)表示。但例4在一幅圖中出示了兩對相反方向的量，事實上，像這樣的相反方向的量在同一平面內(nèi)還有很多對，要用數(shù)學(xué)概念和符號把它們同時、分別表示清楚，僅僅用正數(shù)和負數(shù)是遠遠不

3、夠的。這就是說，僅僅用正數(shù)和負數(shù)來表示同一平面內(nèi)不同方向的量是遠遠不夠的。高中數(shù)學(xué)將告訴我們，為了表示同一平面內(nèi)不同方向的量，可以用“平面向量”這樣的數(shù)學(xué)模型。解題時，先要弄清楚題目中有哪兩種“相反意義的量”，約定：哪種意義的量用正數(shù)表示，則相反的另一種意義的量就只能用負數(shù)表示。有教師在教學(xué)中說“生活中很多地方用到了正數(shù)與負數(shù)”，這不符合事實，只能說“生活中很多地方會遇到相反意義的量”。因為這些相反意義的量并沒有用正、負數(shù)表示，僅僅是在同一種數(shù)的前面添上了表示相反意義的詞語。為了使這種自然語言與符號語言的混合語言轉(zhuǎn)化為單一的數(shù)學(xué)符號語言，我們引入了正數(shù)與負數(shù)?？傊?，形成“相反意義的量”的概念，

4、是學(xué)習“正數(shù)與負數(shù)”的關(guān)鍵。二、長方體和正方體的認識小學(xué)生第一次直觀地認識長方體是在一年級（上冊）。教師讓學(xué)生看一些長方體形狀的物體，在他們的記憶中留下長方體的表象。這些表象就成了他們以后判斷一個物體的形狀是不是長方體的唯一依據(jù)。六年級學(xué)生認識長方體，將從感性認識向理性認識跨一大步。從根據(jù)表象儲備的對照來判斷改變?yōu)楦鶕?jù)一個圖形的特征來判斷是不是長方體。為了系統(tǒng)地、全面地認識長方體的特征，首先要弄清楚從哪幾方面去研究。當然，教師可以告訴學(xué)生應(yīng)該從面、棱和頂點三方面去研究長方體的特征，但也可以引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)應(yīng)該從這三方面去研究。為了幫助多數(shù)學(xué)生想到這一點，可以用類比的方法啟發(fā)：長方形有哪些特征

5、？長方形的特征，我們是從哪幾方面去研究的？那么，長方體的特征，我們可以從哪幾方面去研究呢？學(xué)生對長方體特征的研究和發(fā)現(xiàn)可能只是點滴的、不全面的。教師要不斷地把學(xué)生的思維引向“縱深”和被他們忽視的方面，以達到完整、準確的認識。還要告訴學(xué)生：長方體的諸多特征中，最基本（可由它引伸出其他特征）的是： 由六個面圍成的，每個面都是長方形。這可以作為判斷一個物體的形狀是不是長方體的依據(jù)。為了劃分出最基本的特征，首先要把握各項特征之間的邏輯聯(lián)系，以及該組特征與立體幾何長方體的定義中表述的概念內(nèi)涵的等價性。為了認識長方體的每一項特征，學(xué)生可能用到了思維水平不同的方法。教師要幫助學(xué)生弄清自己得出結(jié)論所用的方法，

6、并力求使他們學(xué)會和掌握思維水平更高的方法。如長方體有幾個頂點、幾條棱，除“逐個計數(shù)”和“分組計數(shù)”（即“按群計數(shù)”）外，還應(yīng)該教會學(xué)生“推算”的方法：因為長方體的每個面內(nèi)有4條棱；共有6個面；每條棱都為兩個相鄰的面所共有；所以，長方體共有462=12（條）棱。關(guān)于長方體中頂點的個數(shù)可用類似的方法推算。這樣，我們就引導(dǎo)學(xué)生從運用“數(shù)數(shù)”的方法提升到運用“推算”的方法。后者實質(zhì)上是根據(jù)長方體的諸多特征的內(nèi)在聯(lián)系，由長方體的基本特征推出其它特征，具有訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維的重大意義。為了使學(xué)生認識“長方體的對面全等”，教師們想了很多辦法：如制作一個長方形紙片，分別與兩個相對的面疊合；或者先弄清對面的形狀

7、（都是長方形），然后，對它們的長與寬分別量一量、比一比，以得出“分別相等”的結(jié)論，從而認定它們“完全一樣”（即全等）的長方形。諸如此類的方法實質(zhì)上都是“實驗的方法”。在數(shù)學(xué)探究中，實驗的方法只能用于得出猜想，不能作為獲得定論的依據(jù)。 因此，在得出“相對的面完全相同”這一結(jié)論時，首先要使學(xué)生明確“什么是相對的面”。長方體有6個面。對于某一個面來說，都有4個面分別和它有一條公共的邊。這些都是“和這個面相鄰的面”。另一個面和它沒有公共的邊，叫做這個面的“對面”。“相對的棱”也應(yīng)該首先明確它的意義，或者改為“互相平行的每一組棱”。討論問題時不首先明確討論的對象，不明確概念，往往是導(dǎo)致混亂或“無謂爭論”

8、的原因。其次，應(yīng)該承認部分學(xué)生所用的“憑觀察，運用直覺思維作出判斷”，或者“兩次疊合”，或者“量一量，比一比”都是正確的、合理的。但這種“觀察的方法”“實驗的方法”得出的只是“猜想”，不是“定論”。在數(shù)學(xué)中，為了得出正確的結(jié)論必須經(jīng)過嚴密的論證。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，從低年級到高年級，要逐漸增加論證的內(nèi)容，使學(xué)生得到越來越多的邏輯推理的訓(xùn)練，以減少升入中學(xué)后學(xué)習中學(xué)數(shù)學(xué)的困難，保證他們的“可持續(xù)發(fā)展”。在學(xué)生交流時，可以引導(dǎo)他們將“觀察（直覺）的方法”“實驗的方法”與“論證的方法”相結(jié)合：ABCD是長方形AB=CD AEFB與CGHDBFGC是長方形BF=CG 完全相同三、六年級（上冊）列方程解決

9、實際問題這是學(xué)生在五年級（下冊）的基礎(chǔ)上第二輪學(xué)習“列方程解決實際問題”，目的是鞏固“方程”的概念，提高“解方程”以及“列方程解決實際問題”的能力。如由簡單的“比多、比少關(guān)系”和“倍數(shù)關(guān)系”擴大到復(fù)合型關(guān)系“幾倍多幾”或“幾倍少幾”。教師要設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生適應(yīng)這種擴展。教學(xué)時，可以復(fù)習方程的意義、解方程的方法及其依據(jù)，以及列方程解實際問題的一般步驟，幫助學(xué)生“溫故知新”。進而運用變式訓(xùn)練，使學(xué)生學(xué)會解答更復(fù)雜的方程，并且進一步掌握列方程的分析法與綜合法。教學(xué)例1時，要幫助學(xué)生弄清題意，分清條件和問題：大雁塔高64m大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22 m 小雁塔高多少米？ 問題注意用兩種觀點看待已知條件所表述的數(shù)量關(guān)系：對于“大雁塔的高度”和“小雁塔的高度”來說，是“幾倍少幾”的復(fù)合型數(shù)量關(guān)系；對于“大雁塔的高度”和“小雁塔高度的2倍”來說，則是“多幾（少幾）”的簡單數(shù)量關(guān)系。通過復(fù)合型數(shù)量關(guān)系向簡單數(shù)量關(guān)系的化歸，訓(xùn)練學(xué)生辯證地看問題，感受化歸思想方法的運用，提高根據(jù)數(shù)量關(guān)系列方程的能力。讓學(xué)生注意：設(shè)“小雁塔的高度”是x米后，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列方