1-2第4課時等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

1、第4課時等比數(shù)列的綜合應(yīng)用知能目標解讀1.進一步鞏固等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì)及前n項和公式.2.掌握數(shù)列求和的常用方法錯位相減法.重點難點點撥重點：錯位相減法求和的理解及等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用.難點：錯位相減法求和的應(yīng)用.學習方法指導如果數(shù)列an是等差數(shù)列，公差為d;數(shù)列bn是等比數(shù)列，公比為q,求數(shù)列anbn的前n項和，可以運用錯位相減法.方法如下：設(shè)Sn=a1b1+a2b2+a3b3+anbn,當q=1時，bn是常數(shù)列，Sn=b1(a1+a2+a3+an)= ;當q1時，則qSn=qa1b1+qa2b2+qa3b3+qanbn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1,所以Sn-qSn=

2、(1-q)Sn=a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+bn(an-an-1)-anbn+1=a1b1+d-anbn+1,所以Sn=.知能自主梳理1.在等比數(shù)列的前n項和公式Sn=中，如果令A=，那么Sn=.2.若Sn表示數(shù)列an的前n項和，且Sn=Aqn-A(A0， q0且q1)，則數(shù)列an是.3.在等比數(shù)列an中，Sn為其前n項和.(1)當q=-1且k為偶數(shù)時，Sk,S2k-Sk，S3k-S2k (kN+);(2)當q-1或k為奇數(shù)時，數(shù)列Sk，S2k-Sk，S3k-S2k (kN+).答案1. Aqn-A2.等比數(shù)列3.不是等比數(shù)列是等比數(shù)列思路方法技巧命題方向等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)

3、用例1(1)等比數(shù)列an，已知a1=5，a9a10=100，求a18；(2)在等比數(shù)列bn中，b4=3，求該數(shù)列前七項之積；(3)在等比數(shù)列an中，a2=-2，a5=54，求a8.分析由等比數(shù)列的性質(zhì)可知：與首末兩項等距離的兩項積等于首末兩項的積，與某一項距離相等的兩項之積等于這一項的平方.解析(1)a1a18=a9a10,a18=20.(2)b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.b24=b1b7=b2b6=b3b5,前七項之積為(32) 33=37=2187.(3)解法一：a8=a5q3=a5=54=-1458.解法二：a5是a2與a8的等比中項，542=a

4、8(-2).a8=-1458.說明本題的求解，主要應(yīng)用了等比數(shù)列的性質(zhì)，若m,n,k,lN+且m+n=k+l，則aman=akal.由此可見，在等比數(shù)列問題中，合理應(yīng)用性質(zhì)，可使解法簡捷.變式應(yīng)用1已知an是等比數(shù)列，且a1a10=243,a4+a7=84,求a11.解析a4a7=a1a10,a4a7=243, a4=81 a4=3又a4+a7=84, ，或a7=3 a7=81q=或q=3.a11=3q4=3（）4=或a11=8134=6561.命題方向與前n項和有關(guān)的等比數(shù)列的性質(zhì)問題例2各項都是正實數(shù)的等比數(shù)列an，前n項的和記為Sn,若S10=10,S30=70,則S40等于（）A.15

5、0B.-200C.150或-200D.400或-50答案A分析本題思路較為廣泛，可以運用等比數(shù)列前n項和公式列方程，確定基本量a1,q后求解，也可以應(yīng)用等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)求解.解析解法一：設(shè)首項為a1,公比為q，由題意知q1. =10由 ，=70由以上兩式相除得q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3(舍去)，代入有=-10，S40=-10(-15)=150.解法二：易知q1，由S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成公比為q10的等比數(shù)列,則S30=S10+(S20-S10)+(S30-S20)=S10+q10S10+q20S10，即q20+q10-6=0，解

6、得q10=2或q10=-3（舍去），S40=S10+(S20-S10)+(S30-S20)+(S40-S30)=10(1+2+22+23)=150.解法三：運用性質(zhì)Sm+n=Sm+qmSn求解，S30=S20+q20S10=S10+q10S10+q20S10從而有q20+q10-6=0，解得q10=2或q10=-3(舍去).S40=S30+q30S10=70+810=150.解法四：易知q1,=，q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3(舍去).又=，所以S40=150.說明在與等比數(shù)列的和有關(guān)的問題中，合理應(yīng)用和的性質(zhì)，可以簡化運算，本題的解法二運用了當q-1時，數(shù)列Sm，S2m

7、-Sm,S3m-S2m,仍成等比數(shù)列，公比為qm，解法三運用了等比數(shù)列的性質(zhì)：Sm+n=Sm+qmSn，解法四運用了等比數(shù)列的性質(zhì)：當q1時，=.變式應(yīng)用2等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若S5=10,S10=20,則S15等于.答案30解析an為等比數(shù)列，S5，S10-S5，S15-S10成等比數(shù)列，（S10-S5）2=S5（S15-S10），即100=10（S15-20），解得S15=30.探索延拓創(chuàng)新命題方向錯位相減法求數(shù)列的和例3求數(shù)列1，3a,5a2,7a3,(2n-1)an-1的前n項和（a0）.分析由題設(shè)可知數(shù)列的通項公式為an=(2n-1)an-1,數(shù)列的每一項可分成兩個因式，前

8、一個因式可構(gòu)成等差數(shù)列，后一個因式可構(gòu)成等比數(shù)列，故可選用錯位相減法求和.解析當a=1時，Sn=1+3+5+(2n-1)= =n2.當a1時，有Sn=1+3a+5a2+7a3+(2n-1)an-1,aSn=a+3a2+5a2+7a4+(2n-1)an ,-得,Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+2an-1-(2n-1)an=1+-(2n-1)an,Sn=+.說明一般來說，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，公差為d;數(shù)列bn是等比數(shù)列，公比為q,則求數(shù)列anbn的前n項和就可以運用錯位相減法.變式應(yīng)用3求數(shù)列n2n的前n項和Sn.解析Sn=121+222+323+n2n2Sn=122+223+（n-1

9、）2n+n2n+1 -得-Sn=2+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1=2n+1-2-n2n+1,Sn=(n-1)2n+1+2.名師辨誤做答例4若數(shù)列an的前n項和為Sn=an-1（a0），則數(shù)列an是（）A.等比數(shù)列B.等差數(shù)列C.可能是等比數(shù)列，也可能是等差數(shù)列D.可能是等比數(shù)列，但不可能是等差數(shù)列誤解A由Sn=an-1，得an=(a-1)an-1，則有=a-1(常數(shù))，故選A.辨析錯誤的原因在于：當a=1時，an=0，an是等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列，這是沒有理解等比數(shù)列中an0而造成的.正解C由Sn=an-1,得an=(a-1)an-1.當a=1時，an=0,數(shù)列an為等差數(shù)列；

10、當a1時，=a-1,(不為零的常數(shù))，則數(shù)列an為等比數(shù)列，故選C.課堂鞏固訓練一、選擇題1.（2011遼寧文，5）若等比數(shù)列an滿足anan+116n，則公比為（）A.2B.4C.8D.16答案B解析本題考查了靈活利用數(shù)列的特點來解題的能力.anan+1=16n,an-1an=16n-1=q2=16q=4.2.在各項為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5-a4=576,a2-a1=9,則a1+a2+a3+a4+a5的值是（）A.1061B.1023C.1024D.268答案B解析由題意得a4(q-1)=576,a1(q-1)=9,=q3=64,q=4,a1=3,a1+a2+a3+a4+a5=1023.3

11、.在等比數(shù)列an中，a1=1,公比|q|1,若am=a1a2a3a4a5，則m=（）A.9B.10C.11D.12答案C解析a1=1,am=a1a2a3a4a5=a51q10=q10,又am=a1qm-1=qm-1,qm-1=q10,m-1=10,m=11.二、填空題4.若等比數(shù)列an的前n項和Sn=2n+1+r,則r的值為.答案-2解析解法一：a1=S1=4+r,a2=S2-S1=8+r-4-r=4,a3=S3-S2=16+r-8-r=8,又an為等比數(shù)列，a22=a1a3,16=8(4+r),r=-2.解法二：Sn=2n+1+r=22n+r,數(shù)列an為等比數(shù)列，Sn=Aqn-A=22n+r

12、,r=-2.5.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,前n項和為Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為.答案-2解析Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列，2Sn=Sn+1+Sn+2(Sn+1-Sn)+(Sn+2-Sn)=0,an+1+an+1+an+2=0,2an+1=-an+2,=-2,q=-2.三、解答題6.（2011重慶文，16）設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a1=2,a3=a2+4.(1)求an的通項公式;(2)設(shè)bn是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列an+bn的前n項和Sn.分析（1）問設(shè)出公比q，由已知建立有關(guān)q的方程，求出公比q，寫出通項公式.（2）甲分組求和，先求an的和

13、，再求bn的和，然后相加得Sn.解析（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍)，q=2an=a1qn-1=22n-1=2n（2）數(shù)列bn=1+2(n-1)=2n-1Sn=+n1+2=2n+1-2+n2-n+n=2n+1+n2-2.點評此題考查等差、等比數(shù)列的通項公式，及求和公式，考查方程的思想，注意等比數(shù)列的公比為正數(shù)，此題屬基礎(chǔ)保分題.課后強化作業(yè)一、選擇題1.已知等比數(shù)列an中，an=23n-1,則由此數(shù)列的偶數(shù)項所組成的新數(shù)列的前n項和為（）A.3n-1B.3(3n-1)C. (9n-1)D. (9n-1)答

14、案D解析a2=6,q=9,Sn= (9n-1).2.(2010遼寧文)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項和，已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,則公比q=（）A.3B.4C.5D.6答案B解析3S3=a4-2,3S2=a3-2,3S3-3S2=a4-a3,3a3=a4-a3,4a3=a4,=4,q=4.3.等比數(shù)列an的前n項和Sn=2n-1+a,則a的值為（）A.- B.- C. D. 答案B解析Sn=2n-1+a=2n+a,又Sn=Aqn-A,a=-.4.等比數(shù)列an的公比為，且S3=1,則S6等于（）A. B. C. D. 答案B解析q=,S3=2a1（1-）=a1=1,a1=.S6=（1

15、-）=.5.數(shù)列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，1+2+22+2n-1的前n項和Sn1020,那么n的最小值是（）A.7B.8C.9D.10答案D解析因為1+2+22+2n-1=2n-1,所以Sn=21-1+22-1+2n-1=2n+1-n-21020,所以n的最小值為10.6.已知等比數(shù)列an中，公比q=,且a1+a3+a5+a99=60,則a1+a2+a3+a100=（）A.100B.90C.120D.30答案B解析a2+a4+a6+a100=a1q+a3qa5q+a99q=q(a1+a3+a5+a99)=6030a1+a2+a3+a100=(a1+a3+a5+a99)+(a

16、2+a4+a6+a100)=60+30=90.7.已知2a=3,2b=6,2c=12,則a,b,c（）A.成等差數(shù)列不成等比數(shù)列B.成等比數(shù)列不成等差數(shù)列C.既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列D.既不成等差數(shù)列又不成等比數(shù)列答案A解析解法一：由已知得a=log23,b=log26=log23+log22,c=log212=log23+2log22.b-a=c-b.解法二：2a2c=36=(2b) 2,a+c=2b,故選A.8.（2011四川文，9）數(shù)列an的前n項和為Sn，若a1=1,an+1=3Sn(n1),則a6=（）A.344B.344+1C.45D.45+1答案A解析該題考查已知一個數(shù)列的前n項

17、和Sn與an+1的關(guān)系，求通項公式an.注意的問題是用an=Sn-Sn-1時(n2)的條件.an+1=3Snan=3Sn-1-得an+1-an=3Sn-3Sn-1=3an即an+1=4an=4.(n2)當n=2時，a2=3a1=3,=3=4an為從第2項起的等比數(shù)列，且公比q=4,a6=a2q4=344.二、填空題9.等比數(shù)列an的前n項和為Sn=3n+1+m,則a1=.答案6解析a1=S1=9+m,a2=S2-S1=27+m-9-m=18,a3=S3-S2=81+m-27-m=54,又an為等比數(shù)列，a22=a1a3,182=54(9+m)，解得m=-3.a1=9+m=6.10.實數(shù)，1，成

18、等差數(shù)列，實數(shù)a2,1,c2成等比數(shù)列，則=.答案1或- +=2 ac=1 ac=-1解析由條件 ，得 或 ，a2c2=1 a+c=2 a+c=-2=1或-.11.已知an是公比為q(q1)的等比數(shù)列，an0,m=a5+a6,k=a4+a7,則m與k的大小關(guān)系是.答案mk解析m-k=(a5+a6)-(a4+a7)=(a5-a4)-(a7-a6)=a4(q-1)-a6(q-1)=(q-1)(a4-a6)=(q-1)a4(1-q2)=-a4(1+q)(1-q) 20).mk.12.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn(nN+)，關(guān)于數(shù)列an有下列三個命題：若an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則an=an+1 (

19、nN+);若Sn=an2+bn(a、bR)，則an是等差數(shù)列；若Sn=1-(-1) n，則an是等比數(shù)列.這些命題中，正確命題的序號是.答案解析對于命題，易知它是各項不為零的常數(shù)數(shù)列，有an=an+1.對于命題，由Sn=an2+bn(a、bR)得an=b+a+(n-1)2a，當n=1時，也適合上式.an為等差數(shù)列.對于命題，由Sn=1- (-1) n得an=2(-1) n-1，當n=1時也適合上式.故an為等比數(shù)列.三、解答題13.(2011新課標文，17)已知等比數(shù)列an中，a1=，公比q=.(1)Sn為an的前n項和，證明：Sn=；(2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+log3an，求數(shù)列bn的通項公式.分析第一問先利用等比數(shù)列定義及前n項和公式求出an，Sn,再證明Sn=,第二問將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和.解析(1)因為an=（）n-1=,Sn=，所以Sn=.(2)bn=log3a1+log3a2