函數的單調性

1、生時何必久睡生時何必久睡 死后自會長眠死后自會長眠 函數的單調性函數的單調性 授課人：何立峰授課人：何立峰 230 367 1026 2075 某市年生產總值統(tǒng)計表某市年生產總值統(tǒng)計表 1990199620002002 500 1000 年份年份 生產總值生產總值 （億元）（億元） 1500 79.16 13.19 04.23 38.55 廣州市高等學校廣州市高等學校 在校學生數統(tǒng)計表在校學生數統(tǒng)計表 1990199419982002 20 25 年份 人數 （萬人） 15 423 359 209176 廣州市日平均廣州市日平均 出生人數統(tǒng)計表出生人數統(tǒng)計表 1990199419992002

2、450 150 年份 人數 （人） 250 350 96.33 32.32 78.30 80.29 東莞市耕地面積統(tǒng)計表東莞市耕地面積統(tǒng)計表 1988199419982002 28 30 年份 面積 （萬公頃） 32 34 Ox y 1xy 1 1 O x y 2x2y 2 1 O x y x2xy 2 21 y Ox x 1 y Ox y 1 x )x(f 1 2 xy Ox y 1 x )x(f 1 2 xy Ox y 1 x )x(f 1 2 xy Ox y 1 x )x(f 1 2 xy Ox y 1 x )x(f 1 2 xy Ox y 1 x )x(f 1 2 xy Ox y 1

3、x )x(f 1 2 xy Ox y 1 x )x(f 1 2 xy Ox )x(f 1 1 x y 2 xy 具體分析具體分析 , 21 xx在給定區(qū)間上任取 21 xx )f(x)f(x 21 函數f (x)在給定區(qū)間 上為增函數。 Ox y ) x( fy 如何用如何用x與與 f(x)來描述上升的圖象？來描述上升的圖象？ )x( f 1 1 x 如何用如何用x與與 f(x)來描述下降的圖象？來描述下降的圖象？ , 21 xx在給定區(qū)間上任取 21 xx 函數f (x)在給定區(qū)間 上為減函數。 )f(x)f(x 21 )x( f 1 )x ( f 2 ) x ( fy O x y 1 x

4、2 x )x ( f 2 2 x 函數單調性的概念：函數單調性的概念： 1. 如果對于屬于這個區(qū)間的自變量的任意如果對于屬于這個區(qū)間的自變量的任意 ) ), ,f f( (x x) )都都有有f f( (x x時時, ,x x當當x x, ,x x, ,兩兩個個值值x x 2 21 12 21 12 21 1 稱函數稱函數 f(x)在在這個區(qū)間上是增函數。這個區(qū)間上是增函數。 2. 如果對于屬于這個區(qū)間的自變量的任意如果對于屬于這個區(qū)間的自變量的任意 ),),f(xf(x) )都有f(x都有f(x時,時,x x當x當x, ,x x, ,兩個值x兩個值x 2 21 12 21 12 21 1 稱

5、函數稱函數 f(x)在在這個區(qū)間上是減函數。這個區(qū)間上是減函數。 一般地，設函數一般地，設函數f(x)的的定義域為定義域為I ）上是增函數。，（ 在區(qū)間證明函數 xxf12)( 例例1 1 內任意是區(qū)間設),(,x 21 x )x2(x) 1x2() 1x2()x( f)x( f 212121 0 xx ,xx 2121 0)x(f)x(f 21 )x(f)x(f 21 即 ),(1x2)x(f在區(qū)間則函數 證明：證明： 。兩個實數，且 x 21 x 是增函數。 （條件）（條件） （論證結果）（論證結果） （結論）（結論） 練一練練一練 證明證明：函數：函數f(x)= x2 +1在（在（，0）

6、 上是減函數上是減函數. 證明證明：函數：函數f(x)= x2 +1在（在（0，+） 上是增函數上是增函數. 單調性，并加以證明。 的判斷函數例 x2x)x(f 2 2 單調遞增區(qū)間：單調遞增區(qū)間： 單調遞減區(qū)間：單調遞減區(qū)間： (, 1） ), 1 x x2x) x( f 2 y 2 1 o 【練習】： 1、判斷函數判斷函數f(x)=1/x在在(，0)上上 是增函數還是減函數？并證明你的結論是增函數還是減函數？并證明你的結論. 【想一想想一想】：】：能否說函數能否說函數f(x)=1/x在在(，+) 上是減函數？上是減函數？ 答答：不能 不能. 因為因為x=0不屬于不屬于f(x)=1/x的的定

7、義域定義域. 減函數減函數 2、判斷函數判斷函數f(x)=1/x在在(0，+)上上 是增函數還是減函數？并證明你的結論是增函數還是減函數？并證明你的結論. 減函數減函數 課堂小結：課堂小結： （1）函數單調性的）函數單調性的 ； （2）判斷函數單調區(qū)間的方法：）判斷函數單調區(qū)間的方法： 概念概念 方法一方法一：分析函數值大小的變化：分析函數值大小的變化。 方法二方法二：分析函數的圖象：分析函數的圖象。 方法三方法三：比較大小過程中的數值分析：比較大小過程中的數值分析。 （3）判斷函數單調性的步驟：）判斷函數單調性的步驟： 任取任取x1,x2D,且且x1x2 ； 作差作差f(x1)-f(x2); 變形（通常是因式分解和配方）；變形（通