高考試卷中類比推廣題的解法

1、高考試卷中類比推廣題的解法著名數(shù)學(xué)教育家G波利亞說(shuō)過：“類比似乎在一切發(fā)現(xiàn)中有作用，而且在某些發(fā)現(xiàn)中有它最大的作用?！辈ɡ麃喌乃枷虢陙?lái)在處于高考改革前沿的上海高考卷中得到了廣泛的體現(xiàn)，試卷中出現(xiàn)了不少利用類比或推廣來(lái)解決問題的創(chuàng)新試題。這類問題涉及知識(shí)面廣、開放度高、靈活性強(qiáng)，本文略舉幾例，加以分析，希望能窺一斑而見全豹。1 等差數(shù)列與等比數(shù)列類比例1.在等差數(shù)列中，若，則有等式成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列中，若，則有等式： 。（2000上海高考題）分析：不妨設(shè)等差數(shù)列的公差為，則而故恰好關(guān)于成負(fù)對(duì)稱，所以有：。在等比數(shù)列中，相似地，設(shè)公比為，則有，且，易見，互為倒數(shù)，這樣不難得到

2、： 。等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩類特殊的數(shù)列，在很多地方有相同或相似的性質(zhì)，如：若；，在學(xué)習(xí)時(shí)把兩類的定義和性質(zhì)加以類比分析，就不難解決此類問題。2 平面圖形與空間圖形類比例2. 如圖1，若從O作的兩條射線OM、ON上分別有點(diǎn)M1、M2與點(diǎn)N1、N2，則三角形面積之比。如圖2示，若從點(diǎn)O所作的不在同一平面內(nèi)的三條射線OP、OQ和OR上分別有點(diǎn)P1、P2，點(diǎn)Q1、Q2，點(diǎn)R1、R2，則類似的結(jié)論為： 。（2002上海春季高考題）OOMNPQRN1M1M2N2R2Q2P2R1Q1P1圖1圖2分析：由于很多人不善于類比，思維面較窄，只能套用已知結(jié)論填寫，如：、。實(shí)際上，題目的本意是要求把二維的面積關(guān)系，

3、轉(zhuǎn)化推廣到三維的體積關(guān)系：。（證明略）再如：（2003年全國(guó)高考題）在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐ABCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則.”通過相似性的類比可以使所學(xué)知識(shí)產(chǎn)生遷移，這種類比方式在發(fā)現(xiàn)科學(xué)奧秘方面要?jiǎng)儆谶壿嬐评淼淖饔茫ㄟ^類比得到猜想后，再進(jìn)行檢驗(yàn)是不難的。在立體幾何問題中，一方面要善于把立體幾何轉(zhuǎn)化為平面幾何來(lái)解決，另一方面也要善于把平面幾何通過類比遷移到立體幾何中來(lái)，就能使掌握的知識(shí)成為一個(gè)有機(jī)

4、的整體。3 兩個(gè)參量到多個(gè)參量類比推廣例3.若記號(hào)“*”表示求兩個(gè)實(shí)數(shù)與的算術(shù)平均數(shù)的運(yùn)算，即，則兩邊均含有運(yùn)算符號(hào)“*”和“+”，且對(duì)于任意3個(gè)實(shí)數(shù)、都能成立的一個(gè)等式可以是_（2001年上海春季高考題）。分析：本題是探索性和開放性問題，問題解決需要經(jīng)過一定的探索過程，并且答案不止一個(gè)。本題如果能把握住，并注意到題目的要求不僅是推廣到三個(gè)數(shù)，而且等式兩邊均含有運(yùn)算符號(hào)“*”和“+”，則不難探索出這樣的一個(gè)等式，然后要通過驗(yàn)證：，這樣的結(jié)論還可以“湊”出：，等結(jié)果。事實(shí)上，我們課本中也有這種由兩個(gè)參量推廣到多個(gè)參量的情況，如：若均為正數(shù)，則由； 推廣到：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，不小于它們的幾何平

5、均數(shù)。 4 特殊情況到一般情況類比推廣例4.已知兩個(gè)圓：與，則由式減去式可得上述兩圓的對(duì)稱軸方程，將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，即要求得到一個(gè)更一般的命題，而已知命題應(yīng)成為推廣命題的一個(gè)特例，推廣的命題為： 。（2001上海高考試題）分析：本題學(xué)生的理解會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)誤區(qū)，一是認(rèn)為命題就是文字?jǐn)⑹?，所以很多人試圖用文字語(yǔ)言把答案說(shuō)清楚，這是比較困難的；另一個(gè)誤區(qū)是沒有把握住兩個(gè)圓對(duì)稱要求兩個(gè)圓半徑必須相等，任意取了兩個(gè)半徑，導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò)。實(shí)際上本題推廣后，只要兩圓半徑相等，和圓心位置無(wú)關(guān)。故可設(shè)：兩個(gè)圓方程：，則由式減去式，可得兩圓的對(duì)稱軸方程。值得注意的是，在由特殊推廣到一般的過程中，

6、要謹(jǐn)防出錯(cuò)。如一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是，容易驗(yàn)證，如果據(jù)此推廣到對(duì)于任意都成立，那就是錯(cuò)誤的。所以在推廣命題時(shí)，要抓住命題的不變特征，不可盲目下結(jié)論。5 數(shù)列求和與函數(shù)的求值類比例5.設(shè)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式的方法，可求得的值為： （2003上海春季高考題）分析：本題在題設(shè)中給出了提示，那就是利用等差數(shù)列的求和方法。我們知道，等差數(shù)列求和用的是倒序相加法，即：又。由兩式相加利用，這一性質(zhì)可求得等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。 相似地，令，又，將兩式相加。在本題中可以探索出：。而，。故此題可得答案。這種類型的試題在2002全國(guó)高考卷中也出現(xiàn)過：已知函數(shù)f(x)，那么 。解決的方法也是一樣的。 高考試題考查類比和推廣的問題正方興未艾，能夠很好地考核考生利用所學(xué)知識(shí)分析問題